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使用拉普拉斯变换解决微分方程

通过使用Laplace Math Toolbox™与此工作流程中的Laplace变换来解决微分方程。对于Laplace变换的简单示例，请参阅拉普拉斯和ilaplace。

定义:拉普拉斯变换

Laplace变换的功能f(t)是

$F (年代) = \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- t 年代} d t 。$

概念:使用符号工作流

符号工作流程保持自然符号形式的计算而不是数字形式。此方法有助于您了解解决方案的属性并使用确切的符号值。只有当您需要数字结果时，才会替换数字代替符号变量，否则您无法符号。有关详细信息，请参阅选择数字或符号运算。通常，步骤是：

宣布方程式。
解决方程。
替代的价值观。
情节结果。
分析结果。

工作流程：使用Laplace变换解决RLC电路

申报的方程

你可以用拉普拉斯变换来解具有初始条件的微分方程。例如，你可以解决电阻-电感-电容(RLC)电路，如这个电路。

欧姆的电阻：R₁,R₂,R_3.
在安培电流:我₁,我₂,我_3.
电感在亨利:l
法拉电容:C
伏特中的电动势：E(t)
在库仑收费:问(t)

应用Kirchhoff的电压和当前定律，以获得RLC电路的微分方程。

$\frac{d 我_{1}}{d t} + \frac{R_{2}}{l} \frac{d 问}{d t} = \frac{R_{2} - R_{1}}{l} 我_{1} 。$

$\frac{d 问}{d t} = \frac{1}{R_{3.} + R_{2}} (E (t) - \frac{1}{C} 问 (t)) + \frac{R_{2}}{R_{3.} + R_{2}} 我_{1} 。$

声明变量。因为物理量具有正值，因此在变量上设置相应的假设。让E(t)是1 V的交流电压。

syms L C I1(t) Q(t) s R = sym('R%d'，[1 3]);假设([t L C R] > 0) E(t) = 1*sin(t);%电压= 1v

声明微分方程。

dI1 = diff (I1, t);dQ = diff (Q, t);eqn1 = dI1 + (R (2) / L) * dQ = = (R - R (1) (2)) / L * I1 eqn2 = dQ = = (1 / R (R (2) + (3)) * (q / C)) + R (2) / (R (2) + (3)) * I1

eqn1 (t) = diff (I1 (t), t) + (R2 * diff (Q (t), t) / L = = - - - - - - (I1 (t) * (R1, R2)) / L eqn2 (t) = diff (Q (t), t) = =(罪(t) - Q (t) / C) / (R2 + R3) + (R2 * I1 (t)) / (R2 + R3)

假设初始电流和充电，我₀和问₀，都是0。声明这些初始条件。

cond1 = I1(0) == 0 cond2 = Q(0) == 0

cond1 = I1(0) == 0 cond2 = Q(0) == 0

解决方程

计算拉普拉斯变换EQN1.和EQN2.。

拉普拉斯(eqn1,t,s) =拉普拉斯(eqn2,t,s)

eqn1LT = s *拉普拉斯(I1 (t), t, s) - I1 (0) (R2 * (Q (0) - s *拉普拉斯(Q (t), t, s))) / L = =…- ((R1, R2) *拉普拉斯(I1 (t), t, s)) / L eqn2LT = s *拉普拉斯(Q (t), t, s) - Q (0) = = (R2 *拉普拉斯(I1 (t), t, s)) / (R2 + R3) +…(C/(s²+ 1)-拉普拉斯(Q(t) t, s))/(C*(R2 + R3))

功能解决只解决符号变量。因此,使用解决,第一个替代拉普拉斯（I1（T），T，S）和拉普拉斯(Q (t), t, s)与变量I1_LT和Q_LT。

syms i1_lt q_lt eqn1lt = subs（eqn1lt，[laplace（i1，t，s）laplace（q，t，s）]，[i1_lt q_lt]）

eqn1LT = I1_LT * s - I1 (0) - (R2 * (Q (0) - Q_LT * s)) / L = = - - - - - - (I1_LT * (R1, R2)) / L

eqn2lt = subs（eqn2lt，[laplace（i1，t，s）laplace（q，t，s）]，[i1_lt q_lt]）

eqn2LT = Q_LT * s - Q (0) = = (I1_LT * R2) / (R2 + R3)——(Q_LT - C / s ^ 2 + 1) / (C * (R2 + R3))

解方程I1_LT和Q_LT。

eqns = [eqn1LT];vars = [I1_LT Q_LT]; / /[I1_LT, Q_LT] = solve(eqns,vars)

I1_LT Q = (R2 * * I1 (0) (0) + L - C * R2 * s + L * s ^ 2 * I1 (0) + R2 * s ^ 2 * Q L (0) + C * * R2 * s ^ 3 * I1(0) +…L C * * R3 * s ^ 3 * I1 (0) + C * L * R2 * * I1 (0) + C * L * R3 * * I1 (0)) / ((s ^ 2 + 1) * (R1, R2 + L * s +……C * L * R2 * s ^ 2 + C * L * R3 * s ^ 2 + C * R1 * R2 * s + C * R1 * R3 * s - C * R2 * R3 * s)) Q_LT = (C * (R1, R2 + L * s + L * R2 * I1 (0) + R1 * R2 * Q (0) + R1 * R3 * Q (0) - R2 * R3 * Q(0) +…L * R2 * s ^ 2 * I1 (0) + L * R2 * s ^ 3 * Q (0) + L * R3 * s ^ 3 * Q (0) + R1 * R2 * s ^ 2 * Q (0) + R1 * R3 * s ^ 2 * Q(0) -…R2*R3*s²*Q(0) + L*R2*s(0) +…L * R3 * * Q (0))) / ((s ^ 2 + 1) * (R1, R2 + L * s + L C * * R2 * s ^ 2 + C * L * R3 * s ^ 2 +…(C*R1*R2*s + C*R1*R3*s - C*R2*R3*s))

计算我₁和问通过计算的拉普拉斯逆变换I1_LT和Q_LT。简化的结果。抑制输出，因为它很长。

I1sol = ilaplace (I1_LT、s、t);Qsol = ilaplace (Q_LT、s、t);I1sol =简化(I1sol);Qsol =简化(Qsol);

替代值

在绘制结果之前，通过电路元件的数值替换符号变量。让R1=4Ω，R2=2Ω，R3=3Ω，C= 1/4 f，l= 1.6 H,我₁(0)= 15a，和问(0)= 2 C.

vars = [r l c i1（0）q（0）];值= [4 2 3 1.6 1/4 15 2];i1sol = summ（i1sol，var，值）qsol = subs（qsol，vars，值）

i1sol = 15 * exp（ - （51 * t）/ 40）*（cosh（（1001 ^（1/2）* t）/ 40） -  ...（293 * 1001 ^（1/2）* sinh（（1001 ^（1/2）* t）/ 40））/ 21879） - （5 * sin（t））/ 51 qsol =（4 * sin（t））/ 51  - （5 * cos（t））/ 51 +（107 * EXP（ - （51 * T）/ 40）*（Cash（（1001 ^（1/2）* t）/ 40）+ ...（2039 * 1001 ^（1/2）*SINH（（1001 ^（1/2）* t）/ 40））/ 15301）/ 51

阴谋的结果

当前的情节I1SOL.和费用QSOL.。通过使用两种不同的时间间隔来显示瞬态和稳态行为：0≤t≤10.和5≤.t≤25。

次要情节(2、2、1)fplot (I1sol 10[0])标题(当前的)ylabel (I1 (t))包含(t)次要情节(2 2 2)fplot (Qsol 10[0])标题(“费用”)ylabel (Q (t))包含(t)次要情节(2,2,3)fplot (I1sol 25[5])标题(当前的)ylabel (I1 (t))包含(t)文本(7,0.25,“瞬时”)文本(16个,0.125,“稳态”)次要情节(2,2,4)fplot (Qsol 25[5])标题(“费用”)ylabel (Q (t))包含(t)文本(7,0.25,“瞬时”)文本(15,0.16,“稳态”)

分析结果

最初，电流和电荷呈指数递减。然而，从长期来看，它们是振荡的。这些行为分别被称为“瞬态”和“稳态”。对于符号结果，您可以分析结果的属性，而对于数值结果则不可能这样做。

视觉检查I1SOL.和QSOL.。它们是条款的总和。通过使用找到术语孩子们。然后，通过画出这些项的贡献来找到它们[0 15]。该地块显示了瞬态和稳定的州术语。

I1terms =孩子(I1sol);Qterms =孩子(Qsol);subplot(1,2,1) fplot(I1terms，[0 15]) ylim([-2 2]) title('Current terms')

这些图表明I1SOL.有一个瞬态和稳定的州术语，而且QSOL.有一个暂态和两个稳定的国家条款。从目视检查，通知I1SOL.和QSOL.有一个术语包含经验值功能。假设该术语导致瞬态指数衰减。分开瞬态和稳定的州术语I1SOL.和QSOL.通过检查术语经验值使用有。

i1transient = i1terms（具有（i1terms，'exp'））i1steadystate = i1terms（〜具有（i1terms，'exp'））

I1transient = 15 * exp (- (51 * t) / 40) * (cosh ((1001 ^ (1/2) * t) / 40) - (293 * 1001 ^ (1/2) * sinh ((1001 ^ (1/2) * t) / 40)) / 21879) I1steadystate = - (5 * sin (t)) / 51

同样的,单独的QSOL.转化为瞬态和稳态项。这个结果演示了符号计算如何帮助您分析问题。

Qtransient = Qterms(has(Qterms，'exp')) Qsteadystate = Qterms(~has(Qterms，'exp'))

qtraneient =（107 * exp（ - （51 * t）/ 40）*（cosh（（1001 ^（1/2）* t）/ 40）+（2039 * 1001 ^（1/2）* sinh（（1001^（1/2）* t）/ 40））/ 15301））/ 51 qsteadystate = [ - （5 * cos（t））/ 51，（4 * sin（t））/ 51]