连续小波系数解释

由于c小波变换是一种冗余变换，c小波系数依赖于小波，因此对结果的解释具有挑战性。

为了帮助您解释CWT系数，最好从简单的信号开始分析和分析小波，具有简单的结构。

小波非常擅长检测的信号特征是不连续或奇点。信号的突变导致小波系数具有较大的绝对值。

对于信号创建移位的脉冲。脉冲发生在点500点。

x = 0 (1000 1);x (500) = 1;

对于小波，选择哈尔小波。

[〜，psi，xval] =波发（'haar'，10）;绘图（XVAL，PSI）;轴（[0 1 -1.5 1.5]）;标题（'haar小波'）;

要使用Haar小波在1到128的尺度上计算CWT，输入:

CWTcoeffs = cwt (x, 1:128,“哈尔”);

CWTcoeffs是128×1000矩阵。矩阵的每一行包含一个比例的CWT系数。有128行，因为尺度输入到CWT.是1:128．矩阵的列尺寸匹配输入信号的长度。

回想一下，一维信号的CWT是尺度和位置参数的函数。为了得到CWT系数的图，沿着X- 轴，沿着y-轴，并将CWT系数的大小编码为每个点的颜色X-Y.或时间尺度平面。

您可以使用此图CWT.使用可选的输入参数“阴谋”．

类(x, 1:128,“哈雾”,“情节”);colormap喷射;colorbar;

使用文本标签进行修改前图以明确显示哪种颜色表示大而小的CWT系数。

你也可以用

CWT（x，1：64，'haar'，'3dplot'）;colormap喷射;

检查移位的脉冲信号的CWT，可以看到大的CWT系数集合集中在以点500为中心的小尺度的时间尺度平面的一个狭窄区域。随着尺度的增大，大CWT系数的集合变宽，但仍以点500为中心。如果跟踪该区域的边界，它类似于下图。

该区域被称为锥的影响点T.= 500为哈尔小波。对于一个给定的点，影响锥显示了哪个CWT系数受到该点的信号值的影响。

要了解影响的锥体，假设您有一个支持的小波金宝app(- - - - - -C那C]．换下小波B.和缩放一种结果在一个小波支持金宝app(- - - - - -CA + B.那CA + B.]．对于移位脉冲的简单情况， $$\delta （\mathrm{T.}-\tau ）$$，CWT系数仅在围绕τ的间隔中非零，等于每个比例的小波的支撑。金宝app通过考虑转移冲动的CWT的正式表达，您可以看到这一点。

对于脉冲，CWT系数等于作为换档参数的函数的共轭，时间反转和缩放的小波，B.．您可以通过绘制选择几个尺度的CWT系数来查看此功能。

子图（311）绘图（CWTCOEFFS（10，:)）;标题(“规模10”);子图（312）绘图（CWTCOEFFS（50，:)）;标题（'规模50'）;子图（313）绘图（CWTCOEFFS（90，:)）;标题（'尺度90'）;

影响的锥体取决于小波。您可以找到并绘制特定小波的影响conofinf．

下一个例子是两个移位冲动的叠加， $$\delta （\mathrm{T.}-300）+\delta （\mathrm{T.}-500.）$$．在这种情况下，使用Daubechies的极值相位小波，具有四个消失的时刻，db4．下图显示了使用该点300和500的影响的影响db4小波。

在第20刻度看点400.在这种规模中，您可以看到影响的锥体都没有重叠点400.因此，您可以期望CWT系数在该点和比例下将是零。该信号仅在两个值，300和500处是非零，并且对于这些值的影响锥体既不包括尺度20的点400.您可以通过输入确认这一点：

x = 0 (1000 1);X ([300 500]) = 1;CWTcoeffs = cwt (x, 1:128 db4);:情节(CWTcoeffs(20日));网格;

接下来，在刻度80处看点400.在比例80处，对点300和500的影响锥包括点400.即使信号在点400处为零，则在该比例处获得非零CWT系数。CWT系数是非零，因为小波的支撑在该刻度上已经足够大，以允许信号值100点以上和下方来金宝app影响CWT系数。您可以通过输入来确认：

绘图（CWTCOEFFS（80，:)）;网格;

在前面的例子中，CWT系数在信号突变附近变大。这种检测不连续的能力是小波变换的一个优点。前面的例子也证明了CWT系数在小尺度下对不连续的局部化效果最好。在小尺度上，小波的小支持保证奇异性只影响小波系数的小集金宝app合。

为了证明为什么小波变换如此擅长检测信号的突然变化，考虑偏移的沉重，或单位步长信号。

x = [0 (500 1);的(500 1)];1:64 CWTcoeffs = cwt (x,“哈雾”,“情节”);colormap喷射;

与移位的脉冲示例类似，移位步进功能中的突变转换导致不连续的大CWT系数。下图说明了为什么发生这种情况。

在前面的图中，红色函数是移位单元步进功能。标记为A，B和C的黑色功能描绘了在相同规模但不同位置的哈尔小波。您可以看到围绕位置A周围的CWT系数为零。该邻域中信号为零，因此小波变换也为零，因为任何小波集成到零。

注意Haar小波以位置b为中心，Haar小波的负部分与等于1的阶跃函数区域重叠。CWT系数是负的，因为Haar小波与单位阶跃的乘积是一个负常数。对这个面积积分得到一个负数。

注意Haar小波以位置c为中心，这里CWT系数为零。阶跃函数等于1。小波与阶跃函数的乘积等于小波。对任何小波在其支持度上积分都是零。金宝app这就是小波的零矩性质。

在位置B，HAAR小波已经通过其支撑的1/2转换成阶梯函数的非零部分。金宝app一旦与步进函数的单位部分相交，金宝app就一旦对小波的支持相交，则CWT系数是非零的。事实上，前图中所示的情况与实现其最大绝对值的CWT系数一致。这是因为小波振荡的整个负偏转与单位步骤的单位部分重叠，而小波的正偏转没有。一旦小波转移到正偏转与单位步骤重叠的点，就会有一些积极的贡献。小波系数仍然是否定的（面积中积分的负部分更大），但绝对值的绝对值小于B的绝对值较小。

下图说明了小波与单位步骤的单位部分相交的其他两个位置。

在上图中，小波刚刚开始与单位阶跃的单位部分重叠。在这种情况下，CWT系数是负的，但绝对值没有在B位置得到的那么大。在下图中，小波已经移到了B位置，并且小波的正偏移开始对积分有贡献。CWT系数仍然是负的，但绝对值没有在位置B得到的那么大。

您现在可以可视化小波变换如何检测不连续性。您还可以在这个简单的示例中显示在使用HAAR小波的移位单元步骤的CWT中，为什么CWT系数为负。请注意，其他小波的行为不同。

x = [0 (500 1);的(500 1)];1:64 CWTcoeffs = cwt (x,“哈雾”,“情节”);colormap喷射;%绘制可视化子图的几个比例尺(311);:情节(CWTcoeffs (5));标题(等级5);次要情节(312);:情节(CWTcoeffs(10日));标题(“规模10”); subplot(313); plot(CWTcoeffs(50,:)); title('Scale 50');

接下来考虑CWT如何表示平滑信号。由于正弦振荡是一种常见的现象，本节将探讨信号中的正弦振荡如何影响CWT系数。首先，考虑符号4.在叠加在正弦波上的特定规模的小波。

回顾CWT系数是通过用偏移和缩放分析小波计算信号的乘积来获得的CWT系数并集成结果。下图显示了从前图中的小波和正弦素的产物。

您可以看到整合本产品产生正CWT系数。结果是因为小波中的振荡大致匹配正弦波的时段。小波是在阶段正弦波。小波的负偏转与正弦波的负偏转近似匹配。小波和正弦信号的正偏转也是如此。

下图移位了正弦波时段的小波1/2。

检查移位小波和正弦波的产物。

您可以看到整合本产品产生负CWT系数。结果是因为小波与正弦波超出了1/2周期。小波的负偏转大致匹配正弦波的正偏转。小波的正偏转大致匹配正弦曲线的负偏转。

最后，将小波变换约为正弦波的1 / 4个周期。

下图是移位小波和正弦信号的乘积。

对这个乘积进行积分得到的CWT系数的绝对值要比前面两个例子中的任何一个小得多。这是因为小波的负偏移近似与正弦波的正偏移对齐。同时，小波的主要正偏转近似与正弦波的正偏转对齐。得到的乘积看起来比其他两个乘积更像小波。下载188bet金宝搏如果它和小波完全一样，积分就是零。

在小波振荡发生在比正弦波周期更大或更小的尺度上时，你会得到接近于零的CWT系数。下图说明了小波在比正弦信号小得多的尺度上振荡的情况。

底部窗格中所示的产品非常类似于分析小波。集成本产品导致CWT系数接近零。

以下示例构造了一个60-Hz正弦波并使用该60 Hz Sine Wave获得CWT符号小波。

t = linspace（0,1,1000）;X = COS（2 * PI * 60 * T）;cwtcoeffs = cwt（x，1：64，'sym8'，'plot'）;colormap喷射;

注意，CWT系数在9到21范围内的绝对值很大。你可以使用以下命令找到与这些尺度对应的伪频率:

频率= Scal2FRQ（9：21，'sym8'，1/1000）;

注意，CWT系数在正弦波频率附近的尺度较大。您可以清楚地看到这些比例的CWT系数中的正弦模式，并使用以下代码。

冲浪（CWTCOEFFS）;colormap喷射;阴影（'Interp'）;查看（-60,12）;

最后一个例子构造了一个既有突变又有平滑振荡的信号。这个信号是一个2-Hz的正弦信号，有两个引入的不连续点。

N = 1024;t = linspace (0, 1, 1024);x = 4 *罪(4 *π* t);X = X - (t - 3) -(。72 - t);情节(t, x);包含(' t ');ylabel(“x”);网格;

注意T = 0.3和T = 0.7附近的不连续性。

获取CWT并使用符号4.小波。

cwtcoeffs = cwt（x，1：180，'sym4'）;ImagesC（T，1：180，ABS（CWTCOEFFS））;colormap喷射;轴XY;包含(' t ');ylabel（'秤'）;

请注意，CWT检测信号中的突变转换和振荡。突然的转换会影响所有尺度的CWT系数，并且清楚地将自己与小刻度的更光滑的信号特征分开。另一方面，2-Hz正弦骨的最大值和最小值在大尺度的CWT系数中是明显的，并且在小尺度上不明显。

在解释CWT系数时，以下一般原则很重要。

连续小波变换（CWT）的基本算法是：