主要内容

连续和离散小波变换

本主题描述了连续小波变换（CWT）和离散小波变换（DWT）之间的主要差异 - 两个抽取和非分析版本。类是CWT的离散版本，以便它可以在计算环境中实现。该讨论侧重于1-D情况，但适用于更高的维度。

的类小波变换将信号与基本小波的移位和缩放(拉伸或收缩)副本进行比较。如果 ψ （ t ） 小波的中心是什么t = 0.随着时间的推移金宝app(- T / 2, T / 2)， 然后 1 年代 ψ （ t − u 年代 ） 以其为中心t = U.随着时间的推移金宝app[- / 2 + u, sT / 2 + u)．的类函数使用L1归一化，使所有频率振幅归一化为相同的值。如果0 ，小波被收缩（缩小），如果s> 1，小波被拉伸。这是膨胀的数学术语。看连续小波变换和基于比例的分析有关该操作如何通过与扩张和翻译的小波匹配来提取信号中的特征的示例。

连续小波变换与离散小波变换的主要区别在于dwt和modwt.，秤参数是如何离散化的。CWT比离散小波变换更精细地离散。在CWT中，您通常修复一些基础，例如，这是两个的分数力量， 2 1 / v 在哪里v整数大于1.v参数通常被称为“每个八度的声音”的数量。例如，通过将该基本刻度提高到正整数功率来获得不同的尺度 2 j / v j ＝ 1 ， 2 ， 3. ， ．.. ．CWT中的翻译参数被离散到整数值，在此表示米．用于CWT的由此产生的离散小波是

1 2 j / ν ψ （ n − 米 2 j / v ） ．

的原因v被称为每个八度的声音数量是因为八度（倍增）增加了规模需要v中间尺度。举个例子 2 v / v ＝ 2 然后在指数中增加分子，直到达到4，下一个八度音阶。你搬离了 2 v / v ＝ 2 来 2 2 v / v ＝ 4 ．有v中间步骤。常见价值v是10,12,14,16和32.值越大v，更精细的规模参数的离散化，年代．然而，这也增加了所需的计算量，因为CWT必须为每个尺度计算。在a日志2比例是1 / v．看CWT-Based时频分析和连续小波分析调制信号对于具有CWT的比例载体的示例。

在离散小波变换中，刻度参数总是离子化为2的整数功率，2j，j = 1,2,3，...，使每个八度音程的声音数量始终为1.尺度上的差异日志2对于离散小波变换，秤始终为1。请注意，这是缩放参数的一个较大的采样，年代而不是CWT的情况。此外，在抽取（下采样）离散小波变换（DWT）中，翻译参数总是与比例成比例。这意味着在比例下，2j，你总是用2j米在哪里米是非负整数。在非抽取离散小波变换中modwt.和swt，刻度参数仅限于两个电源，但翻译参数是CWT中的整数。DWT的离散小波采用以下形式

1 2 j ψ （ 1 2 j （ n − 2 j 米 ） ） ．

非分数离散小波变换的离散小波，如MODWT，是

1 2 j ψ （ n − 米 2 j ） ．

总结：

  • CWT和离散小波变换在它们如何离散化比例参数的不同之处。例如，CWT通常使用具有小于2的基部的指数尺度，例如21/12．的discrete wavelet transform always uses exponential scales with the base equal to 2. The scales in the discrete wavelet transform are powers of 2. Keep in mind that the physical interpretation of scales for both the CWT and discrete wavelet transforms requires the inclusion of the signal’s sampling interval if it is not equal to one. For example, assume you are using the CWT and you set your base to 年代 0 ＝ 2 1 / 12 ．要将物理意义附加到该规模，必须乘以采样间隔 δ. t ，则考虑采样间隔，覆盖约4个八度音阶的比例向量为 年代 0 j δ. t j ＝ 1 ， 2 ， ⋯ 48 ．注意，采样间隔乘以尺度，它不在指数中。对于离散小波变换，基尺度总是2。

  • 被抽取的和非传奇的离散小波变换在它们的方式不同于翻译参数。抽取的离散小波变换（DWT），始终通过刻度的整数倍数转换，2j米．非分离的离散小波变换通过整数偏移转换。

这些差异如何在离散化的情况下导致两类小波变换的优点和缺点。这些差异还确定了一种小波变换可能提供优异的结果的情况。规模和翻译参数离散化的一些重要后果是：

  • DWT为许多自然信号提供了稀疏表示。换句话说，许多自然信号的重要特征被DWT系数的子集捕获，所述DWT系数通常比原始信号小得多。这种“压缩”信号。使用DWT，您总是以与原始信号相同的系数数量，但是许多系数可以是靠近零的值。结果，您通常可以丢弃那些系数并仍然保持高质量的信号近似。使用CWT，您将N个样本从N个样本到N长信号到与m的M-by-n矩阵，M个与m个等于尺度的数量。CWT是一种高度冗余的变换。在每个刻度的小波之间以及尺度之间存在显着的重叠。计算CWT和存储系数所需的计算资源远大于DWT。不确定的离散小波变换也是冗余的，但冗余因子通常明显小于CWT，因为刻度参数不是如此精细地离散化。 For the nondecimated discrete wavelet transform, you go from N samples to an L+1-by-N matrix of coefficients wherel是变换的水平。

  • 小波变换中尺度和平移的严格离散化保证了小波变换是正交变换(当使用正交小波时)。正交变换在信号分析中有许多优点。许多信号模型是由一些确定性信号加上高斯白噪声组成的。一个标准正交变换取这类信号，输出变换应用于信号加上白噪声。换句话说，一个正交变换接收高斯白噪声并输出高斯白噪声。噪声在输入和输出处是不相关的。这在许多统计信号处理设置中是重要的。在DWT的情况下，感兴趣的信号通常被几个大幅度的DWT系数捕获，而噪声导致许多小的DWT系数，你可以扔掉。如果你学过线性代数，你肯定学过在分析和表示向量时使用标准正交基的许多优点。DWT中的小波就像标准正交向量。 Neither the CWT nor the nondecimated discrete wavelet transform are orthonormal transforms. The wavelets in the CWT and nondecimated discrete wavelet transform are technically called frames, they are linearly-dependent sets.

  • DWT不是不变的。因为DWT下坡，所以输入信号中的偏移不会表现为所有级别的DWT系数中的简单等效移位。信号中的简单偏移可以通过比例造成DWT系数中的信号能量的显着重新调整。CWT和非线性离散小波变换是换档不变的。DWT的一些修改，如双树复杂离散小波变换，减轻了DWT中缺乏换档行为，参见批判性采样和过采样的小波滤波器银行对于这个主题的一些概念材料双树复杂小波变换例如，

  • 离散小波变换相当于离散滤波器组。具体地，它们是树结构的离散滤波器组，其中首先由低通和高通滤波器过滤，以产生低通和高通亚带。随后，通过相同的方案迭代地过滤低通亚带以产生较窄的八度频带低通和高通副带。在DWT中，滤波器输出在每个连续阶段下采样。在非分析的离散小波变换中，输出不会下采样。定义离散小波变换的滤波器通常仅具有少量系数，因此可以非常有效地实现变换。对于DWT和非分离的离散小波变换，您实际上并不需要对小波的表达式。过滤器足够了。这不是CWT的情况。CWT最常见的实现需要明确定义的小波。 Even though the nondecimated discrete wavelet transform does not downsample the signal, the filter bank implementation still allows for good computational performance, but not as good as the DWT.

  • 离散小波变换在反转时提供了对信号的完美重建。这意味着您可以采用信号的离散小波变换，然后使用系数在数值精度内合成信号的精确再现。您可以实现反向CWT，但通常是重建不完美的情况。从CWT系数重建信号是一个更稳定的数值操作。

  • 连续小波变换中更精细的尺度采样通常会导致更高保真度的信号分析。你可以局部化信号中的瞬态，或者用连续小波变换比用离散小波变换更好地描述振荡行为。

有关小波变换和应用的其他信息，请参阅

连续小波变换与离散小波变换的指南

基于上一节，以下是决定是否使用离散或连续小波变换的一些基本指南。

  • 如果您的应用是为了获得压缩，去噪或信号传输的稀疏性可能的信号表示，请使用DWT波东．

  • 如果您的应用程序需要正常变换，请使用DWT与一个正交小波滤波器之一。小波工具箱™中的正交系列被指定为小波管理器中的1型小波，Wavemngr.．有效的内置正交小波家庭是'哈尔'，'dbn'，'fkn'，'coifn',或'symn'除了除了所有家庭之外的消失的时刻“颗”．为了“颗”，n是滤波器系数的数量。看WaveInfo.有关详细信息。

  • 如果您的应用程序需要换档不变的变换，但您仍然需要完美的重建和一些计算效率的衡量标准，请尝试一个非线性离散小波变换如modwt.或者双树变换如Dualtree.．

  • 如果您的主要目标是详细的时频（比例）分析或信号瞬变的精确定位，请使用类．有关连续小波变换时频分析的例子，请参阅CWT-Based时频分析．

  • 通过阈值平衡小波系数去找信号，使用Wddoise.功能或者小波信号丹机应用程序。Wddoise.和小波信号丹机提供默认设置，可以应用于您的数据，以及一个简单的接口，以各种去噪方法。有了这个应用程序，你可以将信号可视化，去噪，并比较结果。关于去噪信号的例子，请参阅使用默认值代求信号和使用小波信号置位器表示信号．对于去噪图像，使用wddoise2.．例如，看到去噪信号和图像．

  • 如果您的应用程序要求您对小波系数的统计特性有一个扎实的理解，那么使用离散小波变换。在理解连续小波变换的统计特性方面，有很多积极的工作，但目前有更多的离散小波变换的分布结果。DWT去噪的成功很大程度上取决于我们对其统计特性的理解。有关使用非抽取离散小波变换进行估计和假设检验的示例，请参阅金融数据小波分析．

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