离散小波和离散小波包变换

下图显示了1-D输入信号的DWT树。

图1：DWT树向下1级，为1 D输入信号。

$$\underset{}{\overset{〜}{G}}（F）$$是缩放（低通）分析过滤器和 $$\underset{}{\overset{〜}{H}}（F）$$表示小波（高通）分析滤波器。底部的标签将频率轴的分区显示为子带中的频率轴[0,1 / 2]。

由图可见，该DWT的后续级别仅在低通（缩放）滤波器的输出进行操作。在每个级别，DWT将信号划分为Octave带。在批判性的DWT中，带通滤波器的输出在每个级别下都是两个。在未定义的离散小波变换中，输出不会下采样。

将DWT树与全小波包树进行比较。

图2：全小波包树下降到3级。

在小波包变换中，也对小波系数或细节系数进行滤波操作。结果是，小波包为输入信号提供了一种子带滤波，逐步细化等宽区间。在每一个层面上, $$j$$，频率轴[0,1 / 2]分为 $$2^j$$子带。j级j的子带大约是

$$[\frac{NF\mathrm{S.}}{2^{j+1}}那\frac{（N+1）F\mathrm{S.}}{2^{j+1}}）N=0.那1那......2^j-1$$其中fs是采样频率。

这种带通近似值的良好取决于滤波器的频率如何定位。对于Fejér-Korovkin过滤器喜欢'fk18'(18个系数)，近似相当好。对于像Haar ('哈尔'），近似不准确。

在批判式上采样的小波包变换中，带通滤波器的输出将由两个缩小采样。在未传定的小波包变换中，输出不会下采样。

用小波包的时频分析

因为小波包将频率轴除以比DWT的更精细的间隔，所以小波包在时频分析中优越。例如，考虑具有150和200 Hz的两个间歇性正弦波，在加性噪声中。数据以1 kHz采样。为了防止时间分辨率的危重采样小波包变换固有的损失，使用抽样转换。

dt = 0.001;T = 0：DT：1-DT;X =......cos（2 * pi * 150 * t）。*（t> = 0.2＆t <0.4）+ sin（2 * pi * 200 * t）。*（t> 0.6＆t <0.9）;y = x + 0.05 * randn（尺寸（t））;[wpt，〜，f] = modwpt（x，'timealign'，真的）;轮廓（t，f。*（1 / dt），abs（wpt）。^ 2）网格在包含('时间（秒）'）ylabel（'赫兹')标题('时频分析 - 未定义的小波包变换'）

注意，小波包变换能够分离150和200 Hz组件。DWT的不是真的，因为150和200 Hz落在同一个八度音频频段。四级DWT的八度音频乐队（在Hz）

证明这两个组分是由DWT的时间定位但在频率上不分开。

mra = modwtmra（modwt（y，'fk18'，4），'fk18'）;j = 5：-1：1;freq = 1/2 *（1000./2.^j）;轮廓（t，freq，flipud（abs（mra）。^ 2））网格在ylim（[0 500]）xlabel（'时间（秒）'）ylabel（'赫兹')标题('时频分析 - 未传定的小波变换'）

当然，连续小波变换(CWT)提供了比小波包变换更高的时频分析分辨率，但是小波包具有作为正交变换的额外优势(当使用正交小波时)。正交变换意味着信号中的能量被保留下来，并在下一节演示的系数之间进行分割。

小波包变换中的能量保存

小波包变换除了在每一层将信号过滤成等宽的子带外，还将信号的能量在子带之间进行分割。这对于抽取小波包变换和未抽取小波包变换都是正确的。要演示这一点，请加载包含地震记录的数据集。这个数据类似于下面信号分类示例中使用的时间序列。

加载科比绘图（神户）网格在包含('秒')标题('科比地震数据'）轴紧

获取数据的抽取和未抽取小波包变换，直到第3级。为保证抽取小波包变换结果的一致性，将边界扩展模式设为'定期'。

wptreedecimated = dwpt（科比，'等级'3,'边界'那'定期'）;wptundecimated = modwpt（神户，3）;

计算被抽取和未抽取小波包三级系数中的总能量，并与原始信号中的能量进行比较。

decimatedEnergy = sum(cell2mat(cellfun(@(x) sum(abs(x).²))，wptreeDecimated，'统一输出'，错误的）））

decimatedEnergy = 2.0189 e + 11

Undecimatedenergy = sum（sum（abs（wptundecimated）。^ 2,2））

Undecimatedenergy = 2.0189e + 11

signalEnergy =规范(科比,2)^ 2

signalEnergy = 2.0189 e + 11

DWT与小波包变换共享这一重要属性。

wt = modwt（科比，'fk18'，3）;Undecimatedwtenergy = sum（sum（abs（wt）。^ 2,2））

Undecimatedwtenergy = 2.0189e + 11

由于每一层的小波包变换将频率轴分成等宽的区间，并将信号能量在这些区间中进行分割，因此通常只需保留每个小波包中的相对能量，就可以构造有用的特征向量进行分类。下一个示例演示了这一点。

小波包分类 - 地震或爆炸？

地震记录从许多来源捕捉到活动。能够根据活动的起源对其进行分类是很重要的。例如，地震和爆炸可能呈现相似的时域特征，但区分这两个事件是非常重要的。数据集地震xplosiondata.包含具有2048个样品的16条记录。前8个录音（柱）是地震的地震记录，最后8次录音（专栏）是爆炸的地震记录。加载数据并绘制地震和爆炸记录以进行比较。数据从R包Astsa Stoffer取出[4]，补充Shumway和Stoffer[3]。作者在此示例中允许使用它。

绘制来自每个组的时间序列进行比较。

加载地震xplosiondata.子图（2,1,1）绘图（地震explosiondata（:,3））xlabel（'时间')标题('地震录音'） 网格在轴紧子图（2,1,2）绘图（地震explosiondata（:,9））xlabel（'时间')标题('爆炸录音'） 网格在轴紧

将每个时间序列分解到第三级，形成小波包特征向量'fk6'小波带未定义的小波包变换。这导致8个子带，近似宽度为1/16周期/样本。使用每个子带中的相对能量来创建特征向量。作为示例，获得用于第一地震记录的小波分组相对能量传感器。

[WPT，〜，F，E，Re] = Modwpt（地震explosiondata（：，1），3，'fk6'）;

RE包含8个子带中的每一个中的相对能量。如果您将所有元素括在RE中，则等于1.注意，这是数据的显着减少。长度2048的时间序列减少到具有8个元素的向量，每个元素表示在3级的小波包节点中的相对能量。辅助功能Helperearearthquakeexplosionclassifier使用级别3的16个录制中的每一个的相对能量'fk6'小波。这导致16×8矩阵，并使用这些特征向量作为输入到kmeans分类器的输入。分类器使用间隙统计标准来确定1和6之间的特征向量的最佳数量，并对每个向量进行分类。另外，分类器对使用的3级的未发送小波变换系数执行完全相同的分类'fk6'每个时间序列的小波和功率谱。未传定的小波变换导致16×4矩阵（3个小波子带和1个缩放子带）。功率谱产生16×1025矩阵。源代码Helperearearthquakeexplosionclassifier列在附录中。要运行分类器，必须有统计学和机器学习工具箱™和信号处理工具箱™。

水平= 3;[WavPacketCluster, WtCluster PspecCluster] =......helperEarthQuakeExplosionClassifier (EarthQuakeExplosionData级别)

WavPacketCluster =带有物业的GapEvaluation：NumObservations：16检测结果：[1 2 3 4 5 6]标准值：[-0.0039 0.0779 0.1314 0.0862 0.0296 -0.0096] Optimalk：2

WTCLUSTER =具有属性的GAPEVALUATUATION：NUMOBSERECATIONS：16检测结果：[1 2 3 4 5 6]标准值：[-0.0095 0.0474 0.0706 0.0260 -0.0280 -0.0346] Optimalk：1

pspeccluster = GapEvaluation具有属性：NumObServations：16检验：[11/2 3 4 5 6]标准值：[0.3804 0.3574 0.3466 0.2879 0.3256 0.3326 0.3256 0.3326] Optimalk：1

WavPacketCluster是未发送的小波包功能向量的聚类输出。wtcluster.是使用未发送的DWT功能向量的聚类输出，以及pspeccluster.是基于功率谱的群集的输出。小波包分类已识别两个群集（优化术：2）作为最佳数字。检查小波包聚类的结果。

res = [wavpacketcluster.optimaly（1：8）';Wavpacketcluster.optimaly（9：结束）']

res =2×81 2 2 2 2 2 2 2 2 11 1 1 1 1 1 1 2

你看到只做了两个错误。在八个地震录音中，七个被分类在一起（第2组），一个被错误地归类为属于第1组。对于8爆炸记录相同，7分属于分类，1个被分类，1个被错误分类。基于第三级未定义的DWT和功率谱的分类将一个集群作为最佳解决方案返回。

如果你重复上面的水平等于4，非抽取小波变换和小波包变换执行相同。两者都将两个聚类定义为最优，都将第一个和最后一个时间序列错误地归为另一个组。

结论

在这个例子中，您学习了小波包变换与离散小波变换的区别。具体来说，小波包树还过滤小波(细节)系数，而小波变换只迭代缩放(近似)系数。

您了解到，小波包变换分享DWT的重要节能，同时提供卓越的频率分辨率。在一些应用中，这种卓越的频率分辨率使小波包变换了DWT的有吸引力的替代方案。

附录

Helperearearthquakeexplosionclassifier

函数[WavPacketCluster，WTCluster，PSPeccluster] = HelperearearthquakeExplosionClassifier（数据，级别）％此功能仅提供支持特色示例金宝app％waveletpacketsdemo.mlx。％此功能可以在将来的释放中更改或删除。％数据 - 具有单个时间序列的数据矩阵作为列向量。％级别 - 小波包和小波变换的级别np = 2 ^级别;nw = level + 1;wpmatrix =零（16，np）;wtmatrix =零（16，nw）;为了JJ = 1：8 [〜，〜，〜，〜，RE] = MODWPT（数据（：，JJ），级别，'fk6'）;wt = modwt(数据(:,jj)水平,'fk6'）;WTMATRIX（JJ，:) = SUM（ABS（WT）。^ 2,2）./常规（数据（：，jj），2）^ 2;WPMATRIX（JJ，:) = RE;结尾为了kk = 9:16 [〜，〜，〜，〜，ref] = modwpt（数据（：，kk），级别，'fk6'）;wt = modwt（数据（：，kk），级别，'fk6'）;wtmatrix（kk，:) = sum（abs（wt）。^ 2,2）./ norm（数据（：，kk），2）^ 2;wpmatrix（kk，:) = re;结尾可重复性的％RNG（'默认'）;WavPacketCluster = Evallusters（WPMatrix，'kmeans'那'差距'那'klist'，1：6，......'距离'那'城市街区'）;wtcluster = semblusters（wtmatrix，'kmeans'那'差距'那'klist'，1：6，......'距离'那'城市街区'）;pxx =期间图（数据，汉敏（numel（data（：，1））），[]，1，'力量'）;PspecCluster = evalclusters (Pxx ','kmeans'那'差距'那'klist'，1：6，......'距离'那'城市街区'）;结尾