什么是多分辨率分析?

信号通常由多个物理上有意义的组件组成。通常，您希望在与原始数据相同的时间尺度上单独研究这些组件中的一个或多个。多分辨率分析指的是将信号分解成不同的分量，当这些分量加在一起时，恰好产生原始信号。为了对数据分析有用，信号如何分解是很重要的。这些组件理想地将数据的可变性分解为物理上有意义和可解释的部分。这个词多分辨率分析通常与小波或小波包有关，但也有非小波技术也能产生有用的mra。

作为您可以从MRA中获得的见解的一个激励示例，考虑以下合成信号。信号以1000hz采样1秒。

Fs = 1e3;t = 0:1/Fs:1-1/Fs;Comp1 = cos(2*pi*200*t).*(t>0.7);Comp2 = cos(2*pi*60*t).*(t>=0.1 & t<0.3);趋势= sin(2*pi*1/2*t);rng默认的wgnNoise = 0.4*randn(size(t));x = comp1+comp2+trend+wgnNoise;情节(t, x)包含(“秒”) ylabel (“振幅”)标题(“合成信号”）

该信号明确地由三个主要部分组成:频率为60次/秒的时域振荡，频率为200次/秒的时域振荡和趋势项。这里的趋势项也是正弦的，但频率为每秒1/2个周期，所以它在1秒的间隔内只完成1/2个周期。60周期/秒或60 Hz振荡发生在0.1到0.3秒之间，而200 Hz振荡发生在0.7到1秒之间。

并非所有这些都能从原始数据的图表中立即体现出来，因为这些成分是混合的。

现在，从频率的角度画出信号。

XDFT = fft(x);N =数字(x);XDFT = XDFT(1:数字(XDFT)/2+1);freq = 0:Fs/N:Fs/2;情节(频率,20 * log10 (abs (xdft)))包含(“周期/秒”) ylabel (“数据库”网格)在

从频率分析中，我们更容易分辨出振荡分量的频率，但我们失去了它们的时间局域性。从这个角度来看，也很难将趋势形象化。

为了同时获得一些时间和频率信息，我们可以使用时频分析技术，如连续小波变换(类）.

类(x, Fs)

现在您可以看到60 Hz和200 Hz组件的时间范围。然而，我们仍然没有任何有用的趋势可视化。

时频视图提供了有用的信息，但在许多情况下，您希望及时分离出信号的组成部分并单独检查它们。理想情况下，您希望此信息与原始数据在同一时间尺度上可用。

多分辨率分析实现了这一点。事实上，考虑多分辨率分析的一个有用的方法是，它提供了一种避免需要时频分析的方法，同时允许您直接在时域中工作。

及时分离信号分量

真实世界的信号是不同成分的混合物。通常，您只对这些组件的一个子集感兴趣。多分辨率分析允许您通过将信号分离为不同的分量来缩小分析范围决议金宝搏官方网站．

在不同分辨率下提取信号成分相当于在不同时间尺度上分解数据的变化，或等价地在不同频段(不同金宝搏官方网站的振荡速率)。因此，您可以同时看到不同尺度或不同频带上的信号变异性。

利用小波MRA分析并绘制合成信号。信号以8个分辨率或级别进行分析。金宝搏官方网站

Mra = modwtmra(modwt(x,8));helperMRAPlot (x, mra t“小波”，小波多分辨的，[2 3 4 9])

不解释图上的符号意味着什么，让我们利用我们对信号的知识，试着理解这个小波MRA向我们展示了什么。如果从最上面的图开始，一直向下，直到到达原始数据的图，您会看到组件变得越来越平滑。如果您更喜欢从频率的角度考虑数据，则组件中包含的频率正在变得越来越低。回想一下，原始信号有三个主要组成部分，一个200 Hz的高频振荡，一个60 Hz的低频振荡和一个趋势项，所有这些都被附加噪声破坏了。

如果你看 $$\underset{}{\overset{\sim }{D}}2$$你可以看到时间局部化的高频分量是孤立的。基本上可以孤立地观察和研究这个重要的信号特征。接下来的两个图包含低频振荡。这是多分辨率分析的一个重要方面，即重要的信号成分可能不会被孤立在一个MRA成分中，但它们很少位于两个以上的MRA成分中。最后，我们看到 $$\mathrm{年代}8$$图中包含趋势项。为了方便起见，这些组件中的轴的颜色已被更改，以便在MRA中突出显示它们。如果您希望在不突出显示的情况下可视化此图形或后续图形，请省略最后的数字输入到helperMRAPlot．

小波MRA使用固定的函数称为小波分离信号分量。的k第th小波MRA分量，表示为 $$\underset{}{\overset{\sim }{D}}k$$在前面的图中，可以看作是将信号滤波成频带的形式 $［\frac{1}{2^{k+1}\Delta t}，\frac{1}{2^k\Delta t}］$在哪里 $\Delta t$是采样周期或采样间隔。最后的平滑分量，在图中表示为 $$\mathrm{年代}l$$,在那里 $$l$$是MRA的水平，捕获频带 $［0，\frac{1}{2^{l+1}\Delta t}］$．这种近似的准确性取决于MRA中使用的小波。参见[5]以了解小波和小波包mra的详细描述。

然而，还有其他的MRA技术需要考虑。

的经验模态分解EMD是一种数据自适应多分辨率技术。EMD递归地从数据中提取不同的分辨率，而不使用固定的函数或过滤器。金宝搏官方网站EMD认为信号由快振荡叠加在a上慢一个。在提取快振荡后，该过程将剩余的慢振荡部分视为新信号，并再次将其视为叠加在慢振荡上的快振荡。该过程继续进行，直到达到某个停止标准。虽然EMD不使用像小波这样的固定函数来提取信息，但EMD方法在概念上非常类似于将信号分离成小波方法细节而且近似然后再把近似值分离成细节和近似值。EMD中的MRA组件被称为本征模态函数(货币基金组织)。参见[4]以详细治疗EMD。

绘制同一信号的EMD分析图。

[imf_emd,resid_emd] = emd(x);helperMRAPlot (x, imf_emd t“emd”，“经验模态分解”，[1 2 3 6])

虽然MRA分量的数量不同，但EMD和小波MRA产生的信号图像相似。这并非偶然。参见[2]描述了小波变换与EMD之间的相似性。

在EMD分解中，高频振荡局限于第一个本构模态函数(IMF 1)。低频振荡主要局限于IMF 2，但你也可以在IMF 3中看到一些影响。IMF 6的趋势分量与小波技术提取的趋势分量非常相似。

自适应多分辨率分析的另一种技术是变分模态分解(VMD)。与EMD一样，VMD试图从信号中提取本征模态函数或振荡模态，而不使用固定函数进行分析。但是EMD和VMD以非常不同的方式决定模式。EMD在时域信号上递归地工作，以提取逐步降低频率的IMFs。VMD首先在频域识别信号峰值，并同时提取所有模式。参见[1]用于治疗VMD。

[imf_vmd,resid_vmd] = vmd(x);helperMRAPlot (x, imf_vmd t“vmd”，变分模态分解，[2 4 5])

需要注意的关键是，与小波和EMD分解类似，VMD将感兴趣的三个组件分离为完全独立的模式或少量相邻的模式。所有这三种技术都允许您在与原始信号相同的时间尺度上可视化信号组件。

有一种数据自适应技术，它实际上是根据数据的频率内容构造小波滤波器。这个技巧是经验小波变换(易)3.］．对EMD的主要批评之一是它的定义纯粹是算法的。因此，它不容易接受数学分析。另一方面，EWT实际上是基于被分析信号的频率内容构建Meyer小波。因此，EWT的结果适合于数学分析，因为分析中使用的过滤器可供用户使用。使用EWT重复分析合成信号。

[mra_ewt,cfs,wfb,info] = ewt(x，“MaxNumPeaks”5);helperMRAPlot (x, mra_ewt t“易”，“经验小波变换”，[1 2 3 5])

与以往的EMD和小波MRA技术相似，EWT将振荡分量和趋势分离为几个本征模态函数。然而，与EMD相反，用于执行分析的滤波器及其通带信息对用户是可用的。

Nf =长度(x)/2+1;cf = mean(info.FilterBank.Passbands,2);f = 0:Fs/length(x):Fs-Fs/length(x);CLF ax = newplot;情节(ax, f (1: Nf), wfb (1: Nf,:)) ax。XTick = sort(cf.*Fs);斧子。XTickLabel = ax.XTick;包含(“赫兹”网格)在标题(“经验迈耶小波”）

EWT技术的另一个优点是分析系数保留了原始信号的能量。这是非自适应小波技术所具有的特性，而非小波自适应技术所没有的特性。

EWTEnergy = sum(vecnorm(cfs,2).^2)

EWTEnergy = 875.5768

sigEnergy = norm(x,2)^2

sigEnergy = 875.5768

对于一个真实世界中有用的分量分离的例子，考虑一个地震仪(垂直加速度， $$\text{纳米}/{\text{年代}}^2$$)，记录于1995年1月16日20:56:51(格林尼治标准时间)在澳大利亚霍巴特的塔斯马尼亚大学开始，每隔1秒持续51分钟。

负载KobeTimeTableT = KobeTimeTable.t;kobe =科比时间表。数字情节(T，科比)“神户地震地震仪”) ylabel (垂直加速度(nm/s^2))包含(“时间”)轴紧网格在

获得并绘制数据的小波MRA。

mraKobe = modwtmra(modwt(kobe,8));图helperMRAPlot(科比,mraKobe T“小波”，“小波MRA神户地震”[4 - 5])

该图显示了MRA分量中主次波和延迟次波分量的分离 $\underset{}{\overset{\sim }{D}}4$而且 $\underset{}{\overset{\sim }{D}}5$．地震波中的分量以不同的速度传播，主波(纵波)比次波(横波)传播得快。MRA技术可以使您在原始时间尺度上单独研究这些组件。

从MRA重构信号

将信号分离为组件的目的通常是去除某些组件或减轻它们对信号的影响。MRA技术的关键是重建原始信号的能力。

首先，让我们演示一下，所有这些多分辨率技术都允许您完美地重建来自组件的信号。

Sigrec_wavelet = sum(mra);Sigrec_emd = sum(imf_emd,2)+resid_emd;Sigrec_vmd = sum(imf_vmd,2)+resid_vmd;图subplot(3,1,1) plot(t,sigrec_wavelet);标题(“小波重建”）;集(gca),“XTickLabel”[]);ylabel (“振幅”）;次要情节(3、1、2);情节(t, sigrec_emd);标题(“EMD重建”）;集(gca),“XTickLabel”[]);ylabel (“振幅”）;次要情节(3、1,3)情节(t, sigrec_vmd);标题(“VMD重建”）;ylabel (“振幅”）;包含(“时间”）;

每种方法在逐个样本基础上的最大重建误差为 $10^{-12}$或者更小，说明它们是完美的重建方法。由于MRA分量的和可以重建原始信号，因此包括或不包括一个分量子集可以产生一个有用的近似值。

回到合成信号的原始小波MRA，假设你对趋势项不感兴趣。因为趋势项本地化在最后一个MRA组件中，所以只需将该组件从重建中排除。

sigWOtrend = sum(mra(1:end-1，:));figure plot(t,sigWOtrend)“时间(s)”) ylabel (“振幅”)标题(“趋势术语被移除”）

要删除其他组件，可以使用创建逻辑向量假不希望包含的组件中的值。在这里，我们删除了趋势和最高频率成分以及第一个MRA成分(看起来很大程度上是噪声)。绘制实际的第二个信号分量(60 Hz)以及重建进行比较。

包含= true(size(mra,1)，1);Include ([1 2 9]) = false;Ts = sum(mra(include，:));情节(t, comp2“b”)举行在情节(t, t,“r”)标题(“趋势项和最高频率成分被删除”)包含(“时间(s)”) ylabel (“振幅”)传说(《组件2》，“部分重建”xlim([0.0 0.4])

在前面的示例中，我们将趋势项视为需要删除的有害组件。在许多应用程序中，趋势可能是主要的关注点。让我们将三个示例mra提取的趋势项可视化。

图绘制(t)的趋势,“线宽”, 2)在情节(t, mra(最终,:)imf_vmd(:,结束)imf_emd(:,结束)mra_ewt(:,结束)])网格在传奇(“趋势”，“小波”，“VMD”，“EMD”，“易”) ylabel (“振幅”)包含(“时间(s)”)标题(“三个mra的趋势”）

请注意，小波技术可以更平滑、更准确地捕捉到趋势。EMD发现了一个平滑的趋势项，但它相对于真实的趋势振幅发生了移位，而VMD技术似乎本质上比小波和EMD技术更倾向于发现振荡。的含义，这将进一步讨论MRA技术-优点和缺点部分。

利用MRA检测瞬态变化

在前面的例子中，强调了多分辨率分析在检测数据中的振荡成分和总体趋势中的作用。然而，这些并不是唯一可以使用多分辨率分析来分析的信号特征。MRA还可以帮助定位和检测信号中的瞬态特征，如脉冲事件，或某些组件的可变性的减少或增加。特定尺度或频带范围内的可变性变化往往表明产生数据的过程发生了重大变化。这些更改通常在MRA组件中比在原始数据中更容易可视化。

为了说明这一点，考虑一下美国1947年第一季度至2011年第一季度的季度链加权实际国内生产总值(GDP)数据。季度样本对应4个样本/年的采样频率。垂直的黑线标志着“大缓和”的开始，标志着美国从20世纪80年代中期开始的宏观经济波动下降的时期。请注意，从原始数据中很难看出这一点。

负载GDPData图示(年，实际gdp)持有在地块([年(146)年(146)]，[-0.06 0.14]，“k”)标题(“GDP数据”)包含(“年”)举行从

得到GDP数据的小波MRA。画出分辨率最高的MRA分量，并标记出大缓和期。由于小波MRA是使用固定滤波器获得的，我们可以将最佳尺度的MRA分量与每年1个周期到每年2个周期的频率关联起来。一个以两个季度为周期振荡的部件的频率为每年2个周期。在这种情况下，分辨率最高的MRA组件捕获了发生在相邻两个季度间隔之间的GDP变化，以及发生在每个季度之间的变化。

Mra = modwtmra(modwt(realgdp，“db2”));图plot(year,mra(1，:))保持不变在地块([年(146)年(146)]，[-0.015 0.015]，“k”)标题(《小波MRA -季度环比变化》)包含(“年”)举行从

可变性的减少，或者在经济方面的波动率的减少，在分辨率最高的MRA组件中比在原始数据中更明显。检测方差变化的技术，比如MATLABfindchangepts(信号处理工具箱)通常在MRA组件上比在原始数据上工作得更好。

MRA技术-优点和缺点

在这个例子中，我们讨论了用于多分辨率分析的小波和数据自适应技术。各种技术的优点和缺点是什么?换句话说，对于哪些应用程序，我可以选择其中一个而不是另一个?让我们从小波开始。本例中的小波技术使用固定滤波器来获得MRA。这意味着小波MRA有一个定义良好的数学解释，我们可以预测MRA的行为。我们还能够将MRA中的事件与数据中的特定时间尺度联系起来，就像在GDP示例中所做的那样。缺点是小波变换将信号分成八度波段(每个分量的中心频率减少1/2)，因此在高中心频率的带宽比低频率的带宽大得多。这意味着两个紧密间隔的高频振荡可以很容易地用小波技术在相同的MRA分量中结束。

重复第一个合成示例，但将两个振荡分量彼此移动到一个八度以内。

Fs = 1e3;t = 0:1/Fs:1-1/Fs;Comp1 = cos(2*pi*150*t).*(t>=0.1 & t<0.3);Comp2 = cos(2*pi*200*t).*(t>0.7);趋势= sin(2*pi*1/2*t);rng默认的；wgnNoise = 0.4*randn(size(t));x = comp1+comp2+trend+wgnNoise;情节(t, x)包含(“秒”) ylabel (“振幅”）

重复并绘制小波MRA。

Mra = modwtmra(modwt(x,8));helperMRAPlot (x, mra t“小波”，小波多分辨的, 9 [2])

现在我们可以看到 $\underset{}{\overset{\sim }{D}}2$包含150hz和200hz分量。如果您使用EMD重复此分析，您将看到相同的结果。

现在让我们使用VMD。

[imf_vmd，~，info_vmd] = vmd(x);helperMRAPlot (x, imf_vmd t“vmd”，“VMD”，[1 2 3 5]);

VMD能够分离这两个组件。高频振荡局限于IMF 1，而第二分量则分布在两个相邻的IMF上。如果您查看VMD模式的估计中心频率，该技术将前两个组件定位在200和150 Hz左右。第三个IMF的中心频率接近150 Hz，这就是为什么我们在两个MRA分量中看到第二个分量。

info_vmd。CentralFrequencies * Fs

ans =5×1202.7204 153.3278 148.8022 84.2802 0.2667

VMD能够做到这一点，因为它首先通过查看数据的频域分析来确定imf的候选中心频率。

虽然小波MRA不能分离两个高频成分，但有一个额外的小波包MRA可以。

WPT = modwptdetails(x,3);helperMRAPlot (x,翻转(wpt), t,“小波”，“小波包MRA”，[5 6 8]);

现在你可以看到这两个振荡是分开的 $\underset{}{\overset{\sim }{D}}5$而且 $\underset{}{\overset{\sim }{D}}6$．从这个例子中我们可以提取出一条一般规则。如果初始小波或EMD分解显示同一分量中振荡速率明显不同的分量，则考虑VMD或小波包MRA。如果您怀疑您的数据具有频率接近的高频分量，VMD或小波包方法通常比小波或EMD方法更好。

回想一下提取平滑趋势的问题。重复小波MRA和EMD。

Mra = modwtmra(modwt(x,8));helperMRAPlot (x, mra t“小波”，小波多分辨的, 9 [2])

Imf_emd = emd(x);helperMRAPlot (x, imf_emd t“EMD”，“经验模态分解”，[1 2 6])

小波和EMD技术提取的趋势比VMD和小波包技术提取的趋势更接近真实趋势。VMD本质上偏向于寻找窄带振荡分量。这是VMD在检测紧密间隔的振荡时的一个优点，但在提取数据中的平滑趋势时是一个缺点。当分解超过几个级别时，小波包mra也是如此。这就引出了第二条一般性建议。如果您对识别或删除数据中的平滑趋势感兴趣，可以尝试小波或EMD技术。

如果像我们在GDP数据中看到的那样，检测短暂的变化呢?让我们使用VMD重复GDP分析。

[imf_vmd，~，vmd_info] = vmd(realgdp);图subplot(2,1,1) plot(年，实际gdp)实际国内生产总值的）;持有在地块([年(146)年(146)]，[-0.1 0.15]，“k”)举行从次要情节(2,1,2)情节(一年,imf_vmd (: 1));标题(“首个VMD IMF”）;包含(“年”)举行在地块([年(146)年(146)]，[-0.02 0.02]，“k”)举行从

虽然从20世纪80年代中期开始，最高频率的VMD分量似乎也显示出一些变异性的减少，但它不像小波MRA中那么明显。由于VMD技术偏向于寻找振荡，在第一个VMD IMF中有大量的振铃，这掩盖了波动率的变化。

使用EMD重复此分析。

Imf_emd = emd(realgdp);图subplot(2,1,1) plot(年，实际gdp)实际国内生产总值的）;持有在地块([年(146)年(146)]，[-0.1 0.15]，“k”)举行从次要情节(2,1,2)情节(一年,imf_emd (: 1));标题(“首个EMD IMF”)包含(“年”)举行在地块([年(146)年(146)]，[-0.06 0.05]，“k”)举行从

EMD技术在发现波动率(方差)变化方面用处不大。在这种情况下，在小波MRA中使用固定函数比数据自适应技术更有优势。

这就引出了我们最后的一般规则。如果您对检测信号中的瞬时变化感兴趣，例如脉冲事件是可变性的减少和增加，可以尝试小波技术。

结论

这个示例展示了多分辨率分解技术(如小波、小波包、经验模态分解、经验小波和变分模态分解)如何允许您在与原始数据相同的时间尺度上相对隔离地研究信号成分。每种技术都在许多应用中证明了自己的强大功能。这个例子给出了一些经验法则来帮助您入门，但这些法则不应该被视为绝对的。下表概述了这里提出的MRA技术的属性以及一些一般的经验规则。两个加号表示特定的强度，一个加号表示技术是适用的，但不是特定的强度。对于二进制属性，如分析中的能量保存，选中标记表示该技术具有此属性，而“x”表示该属性不存在。

与信号多分辨率分析仪，您可以对信号执行多分辨率分析，获得各种MRA组件的度量，进行部分重建实验，并生成MATLAB脚本以在命令行上再现分析。

参考文献

[1] Dragomiretskiy, Konstantin和Dominique Zosso。变分模态分解。IEEE信号处理汇刊62年,没有。3(2014年2月):531-44。https://doi.org/10.1109/TSP.2013.2288675．

[2]弗兰德林，P.， G.里林，P.冈卡尔维斯。经验模式分解作为一个滤波器组IEEE信号处理规程11日,没有。2 (feb 2004): 112-14。https://doi.org/10.1109/LSP.2003.821662．

[3]贾尔斯，J。经验小波变换，IEEE信号处理汇刊，第61卷，没有。16(2013年5月):3999 - 4010。

[4]黄诺登·E，沈政，龙瑞文，吴曼丽·C.，施兴辉，郑全安，颜乃春，董志超，刘英华。非线性和非平稳时间序列分析的经验模态分解和希尔伯特谱伦敦皇家学会学报。系列A:数学、物理和工程科学454年,没有。1971(1998年3月8日):903-95。https://doi.org/10.1098/rspa.1998.0193．

[5]珀西瓦尔，唐纳德·B和安德鲁·t·沃顿。时间序列分析的小波方法．剑桥统计与概率数学系列。剑桥 ;纽约:剑桥大学出版社，2000年。