主要内容gydF4y2Ba

小波包gydF4y2Ba

小波包方法是对小波分解的推广，提供了更丰富的信号分析方法。gydF4y2Ba

小波包原子是由三个自然解释的参数索引的波形:位置、比例(在小波分解中)和频率。gydF4y2Ba

对于给定的正交小波函数，我们生成一个名为gydF4y2Ba小波包基gydF4y2Ba．这些碱基中的每一个都提供了一种编码信号、保存全局能量和重建精确特征的特定方式。小波包可用于给定信号的多次扩展。然后，我们根据基于熵的准则选择给定信号的最合适的分解。gydF4y2Ba

小波包分解和最优分解选择都有简单有效的算法。然后，我们可以产生自适应滤波算法，直接应用于优化信号编码和数据压缩。gydF4y2Ba

从小波到小波包gydF4y2Ba

在正交小波分解过程中，一般步骤将近似系数分成两部分。在分裂之后，我们得到了一个近似系数的向量和一个细节系数的向量，两者都在一个较粗的尺度上。在两个连续近似值之间丢失的信息被捕捉在细节系数中。然后，下一步包括拆分新的近似系数向量;连续的细节永远不会被重新分析。gydF4y2Ba

在相应的小波包情况下，每个细节系数向量也采用近似向量分裂的方法分解为两个部分。这提供了最丰富的分析:完整的二叉树产生如下图所示。gydF4y2Ba

三级小波包分解树gydF4y2Ba

这种分解的思想是从面向尺度的分解开始，然后在频率子带上分析得到的信号。gydF4y2Ba

小波包的应用:简介gydF4y2Ba

下面的简单例子说明了小波分析和gydF4y2Ba小波包分析。gydF4y2Ba

小波包谱gydF4y2Ba

利用傅里叶变换对广义平稳信号进行频谱分析是一种行之有效的方法。对于非平稳信号，已有局部傅里叶方法，如短时傅里叶变换(STFT)。看到gydF4y2Ba短时傅里叶变换gydF4y2Ba简单介绍一下。gydF4y2Ba

由于小波在时间和频率上是局部化的，因此可以使用基于小波的STFT对口来进行非平稳信号的时频分析。例如，可以构造标量图(gydF4y2BawscalogramgydF4y2Ba)基于连续小波变换(CWT)。然而，使用CWT的一个潜在缺点是它的计算成本很高。gydF4y2Ba

离散小波变换(DWT)允许对输入信号进行时频分解，但DWT中的频率分辨率通常被认为太粗糙，无法进行实际的时频分析。gydF4y2Ba

作为基于DWT和基于cwt的技术之间的折衷，小波包提供了一种计算效率高且具有足够频率分辨率的替代方案。你可以使用gydF4y2BawpspectrumgydF4y2Ba使用小波包对信号进行时频分析。gydF4y2Ba

下面的例子说明了如何使用小波包进行局部光谱分析。下面的例子也使用gydF4y2Ba光谱图gydF4y2Ba(信号处理工具箱)gydF4y2Ba从信号处理工具箱™软件作为基准来比较小波包频谱。如果您没有信号处理工具箱软件，您可以简单地运行小波包频谱示例。gydF4y2Ba

正弦波的小波包谱。gydF4y2Ba

Fs = 1000;gydF4y2Ba%抽样率gydF4y2BaT = 0:1/fs:2;gydF4y2Ba% 2秒在1kHz采样率gydF4y2BaY = sin(256* *t);gydF4y2Ba% sin周期为128gydF4y2BaLevel = 6;WPT = wpdec(y,level，gydF4y2Ba“sym8”gydF4y2Ba）;[Spec,Time,Freq] = wpspectrum(wpt,fs，gydF4y2Ba“阴谋”gydF4y2Ba）;gydF4y2Ba

如果你有信号处理工具箱软件，你可以计算短时傅里叶变换。gydF4y2Ba

图;Windowsize = 128;Window = hanning(windowsize);NFFT =窗口大小;Noverlap = windowsize-1;[S,F,T] =谱图(y，窗口，重叠，nfft,fs);显示亮度图像(T、F log10 (abs (S)))集(gca,gydF4y2Ba“YDir”gydF4y2Ba，gydF4y2Ba“正常”gydF4y2Ba)包含(gydF4y2Ba的时间(秒)gydF4y2Ba) ylabel (gydF4y2Ba频率(赫兹)”gydF4y2Ba)标题(gydF4y2Ba短时傅里叶变换谱gydF4y2Ba）gydF4y2Ba

两个频率为64和128赫兹的正弦波的和。gydF4y2Ba

Fs = 1000;T = 0:1/fs:2;Y = sin(128* t) + sin(256* t);gydF4y2Ba% sin(周期64和128)gydF4y2BaLevel = 6;WPT = wpdec(y,level，gydF4y2Ba“sym8”gydF4y2Ba）;[Spec,Time,Freq] = wpspectrum(wpt,fs，gydF4y2Ba“阴谋”gydF4y2Ba）;gydF4y2Ba

如果你有信号处理工具箱软件，你可以计算短时傅里叶变换。gydF4y2Ba

图;Windowsize = 128;Window = hanning(windowsize);NFFT =窗口大小;Noverlap = windowsize-1;[S,F,T] =谱图(y，窗口，重叠，nfft,fs);显示亮度图像(T、F log10 (abs (S)))集(gca,gydF4y2Ba“YDir”gydF4y2Ba，gydF4y2Ba“正常”gydF4y2Ba)包含(gydF4y2Ba的时间(秒)gydF4y2Ba) ylabel (gydF4y2Ba频率(赫兹)”gydF4y2Ba)标题(gydF4y2Ba短时傅里叶变换谱gydF4y2Ba）gydF4y2Ba

频率在两秒内从16赫兹突然变为64赫兹的信号。gydF4y2Ba

Fs = 500;T = 0:1/fs:4;Y = sin(32*pi*t).*(t<2) + sin(128*pi*t).*(t>=2);Level = 6;WPT = wpdec(y,level，gydF4y2Ba“sym8”gydF4y2Ba）;[Spec,Time,Freq] = wpspectrum(wpt,fs，gydF4y2Ba“阴谋”gydF4y2Ba）;gydF4y2Ba

如果你有信号处理工具箱软件，你可以计算短时傅里叶变换。gydF4y2Ba

图;Windowsize = 128;Window = hanning(windowsize);NFFT =窗口大小;Noverlap = windowsize-1;[S,F,T] =谱图(y，窗口，重叠，nfft,fs);显示亮度图像(T、F log10 (abs (S)))集(gca,gydF4y2Ba“YDir”gydF4y2Ba，gydF4y2Ba“正常”gydF4y2Ba)包含(gydF4y2Ba的时间(秒)gydF4y2Ba) ylabel (gydF4y2Ba频率(赫兹)”gydF4y2Ba)标题(gydF4y2Ba短时傅里叶变换谱gydF4y2Ba）gydF4y2Ba

小波包谱的线性啁啾。gydF4y2Ba

Fs = 1000;T = 0:1/fs:2;Y = sin(256* t.^2);Level = 6;WPT = wpdec(y,level，gydF4y2Ba“sym8”gydF4y2Ba）;[Spec,Time,Freq] = wpspectrum(wpt,fs，gydF4y2Ba“阴谋”gydF4y2Ba）;gydF4y2Ba

如果你有信号处理工具箱软件，你可以计算短时傅里叶变换。gydF4y2Ba

图;Windowsize = 128;Window = hanning(windowsize);NFFT =窗口大小;Noverlap = windowsize-1;[S,F,T] =谱图(y，窗口，重叠，nfft,fs);显示亮度图像(T、F log10 (abs (S)))集(gca,gydF4y2Ba“YDir”gydF4y2Ba，gydF4y2Ba“正常”gydF4y2Ba)包含(gydF4y2Ba的时间(秒)gydF4y2Ba) ylabel (gydF4y2Ba频率(赫兹)”gydF4y2Ba)标题(gydF4y2Ba短时傅里叶变换谱gydF4y2Ba）gydF4y2Ba

二次啁啾的小波包谱。gydF4y2Ba

Y = wnoise(gydF4y2Ba“quadchirp”gydF4y2Ba10);Len =长度(y);T = linspace(0,5,len);Fs = 1/t(2);Level = 6;WPT = wpdec(y,level，gydF4y2Ba“sym8”gydF4y2Ba）;[Spec,Time,Freq] = wpspectrum(wpt,fs，gydF4y2Ba“阴谋”gydF4y2Ba）;gydF4y2Ba

如果你有信号处理工具箱软件，你可以计算短时傅里叶变换。gydF4y2Ba

Windowsize = 128;Window = hanning(windowsize);NFFT =窗口大小;Noverlap = windowsize-1;显示亮度图像(T、F log10 (abs (S)))集(gca,gydF4y2Ba“YDir”gydF4y2Ba，gydF4y2Ba“正常”gydF4y2Ba)包含(gydF4y2Ba的时间(秒)gydF4y2Ba) ylabel (gydF4y2Ba频率(赫兹)”gydF4y2Ba)标题(gydF4y2Ba短时傅里叶变换谱gydF4y2Ba）gydF4y2Ba

构建小波包gydF4y2Ba

当使用正交小波时，小波包生成的计算方案很简单。我们从两个长度为2的滤波器开始gydF4y2BaNgydF4y2Ba,在那里gydF4y2BahgydF4y2Ba（gydF4y2BangydF4y2Ba）gydF4y2Ba而且gydF4y2BaggydF4y2Ba（gydF4y2BangydF4y2Ba）gydF4y2Ba，对应于小波。gydF4y2Ba

现在，通过归纳，让我们定义下列函数序列:gydF4y2Ba

（gydF4y2BaWgydF4y2BangydF4y2Ba（gydF4y2BaxgydF4y2Ba)，gydF4y2BangydF4y2Ba= 0,1,2，…)gydF4y2Ba

通过gydF4y2Ba

WgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ngydF4y2Ba （gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba kgydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba NgydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba hgydF4y2Ba （gydF4y2Ba kgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba WgydF4y2Ba ngydF4y2Ba （gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba xgydF4y2Ba −gydF4y2Ba kgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba

WgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ngydF4y2Ba +gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba （gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba kgydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba NgydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ggydF4y2Ba （gydF4y2Ba kgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba WgydF4y2Ba ngydF4y2Ba （gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba xgydF4y2Ba −gydF4y2Ba kgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2BaWgydF4y2Ba0gydF4y2Ba（gydF4y2BaxgydF4y2Ba）gydF4y2Ba=φgydF4y2Ba（gydF4y2BaxgydF4y2Ba）gydF4y2Ba标度函数是和吗gydF4y2BaWgydF4y2Ba1gydF4y2Ba（gydF4y2BaxgydF4y2Ba）gydF4y2Ba=ψgydF4y2Ba（gydF4y2BaxgydF4y2Ba）gydF4y2Ba是小波函数。gydF4y2Ba

例如，对于Haar小波gydF4y2Ba

NgydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba hgydF4y2Ba （gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba hgydF4y2Ba （gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba

而且gydF4y2Ba

ggydF4y2Ba （gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba −gydF4y2Ba ggydF4y2Ba （gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba

方程变成了gydF4y2Ba

WgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ngydF4y2Ba （gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba WgydF4y2Ba ngydF4y2Ba （gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba +gydF4y2Ba WgydF4y2Ba ngydF4y2Ba （gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba xgydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba

而且gydF4y2Ba

WgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ngydF4y2Ba +gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba （gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba WgydF4y2Ba ngydF4y2Ba （gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba −gydF4y2Ba WgydF4y2Ba ngydF4y2Ba （gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba xgydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba

WgydF4y2Ba0gydF4y2Ba（gydF4y2BaxgydF4y2Ba）gydF4y2Ba=φgydF4y2Ba（gydF4y2BaxgydF4y2Ba）gydF4y2Ba是gydF4y2Ba哈雾gydF4y2Ba标度函数和gydF4y2BaWgydF4y2Ba1gydF4y2Ba（gydF4y2BaxgydF4y2Ba）gydF4y2Ba=ψgydF4y2Ba（gydF4y2BaxgydF4y2Ba）gydF4y2Ba为Haar小波，均在[0,1]中得到支持。金宝app那么我们就可以得到gydF4y2BaWgydF4y2Ba2gydF4y2BangydF4y2Ba通过添加两个1/2比例的gydF4y2BaWgydF4y2BangydF4y2Ba与不同的支持[0,1/2]和金宝app[1/2,1]和获得gydF4y2BaWgydF4y2Ba2gydF4y2BangydF4y2Ba＋1gydF4y2Ba通过减去相同版本的gydF4y2BaWgydF4y2BangydF4y2Ba．gydF4y2Ba

为gydF4y2BangydF4y2Ba= 0到7，我们有gydF4y2BaWgydF4y2Ba-图中所示的函数gydF4y2BaHaar小波包gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

Haar小波包gydF4y2Ba

可以通过以下命令获取:gydF4y2Ba

[wfun,xgrid] = wpfun('db1'，7,5);gydF4y2Ba

它返回gydF4y2BawfungydF4y2Ba的近似值gydF4y2BaWgydF4y2BangydF4y2Ba为gydF4y2BangydF4y2Ba= 0到7，在1/2上计算gydF4y2Ba5gydF4y2Ba支架网格金宝appgydF4y2BaxgridgydF4y2Ba．gydF4y2Ba

从更规则的原始小波开始，使用类似的结构，我们得到了这个系统的平滑版本gydF4y2BaWgydF4y2Ba-函数，所有函数都支持在区间[0,2金宝appgydF4y2BaNgydF4y2Ba1]。这个数字gydF4y2Badb2小波包gydF4y2Ba介绍了gydF4y2BaWgydF4y2Ba-原函数gydF4y2Badb2gydF4y2Ba小波。gydF4y2Ba

dbgydF4y2Ba2小波包gydF4y2Ba

小波包原子gydF4y2Ba

从函数开始gydF4y2Ba （gydF4y2Ba WgydF4y2Ba ngydF4y2Ba （gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba ngydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba NgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba 沿着导致正交小波的同一条线，我们考虑了三索引的分析函数族(波形):gydF4y2Ba

（gydF4y2Ba WgydF4y2Ba jgydF4y2Ba ，gydF4y2Ba ngydF4y2Ba ，gydF4y2Ba kgydF4y2Ba （gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba −gydF4y2Ba jgydF4y2Ba /gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba WgydF4y2Ba ngydF4y2Ba （gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba −gydF4y2Ba jgydF4y2Ba xgydF4y2Ba −gydF4y2Ba kgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2BangydF4y2Ba∊gydF4y2BaNgydF4y2Ba和(gydF4y2BajgydF4y2Ba，gydF4y2BakgydF4y2Ba)∊gydF4y2BaZgydF4y2Ba2gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

在小波框架中，gydF4y2BakgydF4y2Ba可以解释为时间局部化参数和gydF4y2BajgydF4y2Ba作为一个比例参数。那么怎么解释呢gydF4y2BangydF4y2Ba?gydF4y2Ba

小波包的基本思想是对的固定值gydF4y2BajgydF4y2Ba而且gydF4y2BakgydF4y2Ba，gydF4y2BaWgydF4y2Baj, n, kgydF4y2Ba大致分析信号在位置2附近的波动gydF4y2BajgydF4y2Ba·gydF4y2BakgydF4y2Ba，在刻度2gydF4y2BajgydF4y2Ba以及在不同频率下最后一个参数的不同容许值gydF4y2BangydF4y2Ba．gydF4y2Ba

事实上，仔细检查小波包显示在gydF4y2BaHaar小波包gydF4y2Ba而且gydF4y2Badb2小波包gydF4y2Ba，自然有序gydF4y2BaWgydF4y2BangydF4y2Ba为gydF4y2BangydF4y2Ba= 0, 1，…，7，doe年代notmatch exactly the order defined by the number of oscillations. More precisely, counting the number of zero crossings (up-crossings and down-crossings) for thedb1gydF4y2Ba小波包，我们有以下几种。gydF4y2Ba

自然秩序gydF4y2BangydF4y2Ba

0gydF4y2Ba

1gydF4y2Ba

2gydF4y2Ba

3.gydF4y2Ba

4gydF4y2Ba

5gydF4y2Ba

6gydF4y2Ba

7gydF4y2Ba

的零交叉数gydF4y2BadbgydF4y2Ba1gydF4y2BaWgydF4y2BangydF4y2Ba

2gydF4y2Ba

3.gydF4y2Ba

5gydF4y2Ba

4gydF4y2Ba

9gydF4y2Ba

8gydF4y2Ba

6gydF4y2Ba

7gydF4y2Ba

所以，要恢复主属性gydF4y2Ba频率随顺序单调增加，便于定义gydF4y2Ba频率顺序gydF4y2Ba由自然的递归得到。gydF4y2Ba

自然秩序gydF4y2BangydF4y2Ba

0gydF4y2Ba

1gydF4y2Ba

2gydF4y2Ba

3.gydF4y2Ba

4gydF4y2Ba

5gydF4y2Ba

6gydF4y2Ba

7gydF4y2Ba

频率阶r(gydF4y2BangydF4y2Ba）gydF4y2Ba

0gydF4y2Ba

1gydF4y2Ba

3.gydF4y2Ba

2gydF4y2Ba

6gydF4y2Ba

7gydF4y2Ba

5gydF4y2Ba

4gydF4y2Ba

从前面的图中可以看出，gydF4y2BaWgydF4y2BargydF4y2Ba（gydF4y2BangydF4y2Ba）gydF4y2Ba（gydF4y2BaxgydF4y2Ba）gydF4y2Ba“震荡”大约gydF4y2BangydF4y2Ba次了。gydF4y2Ba

要分析一个信号(例如例2中的啁啾)，最好是按照从底部的低频到顶部的高频的频率顺序绘制小波包系数，而不是自然有序的系数。gydF4y2Ba

在绘制系数时，可以使用小波分析仪应用程序提供与“频率”或“自然”顺序选择相关的各种选项。gydF4y2Ba

属性时，这些选项也可从命令行模式获得gydF4y2BawpviewcfgydF4y2Ba函数。gydF4y2Ba

组织小波包gydF4y2Ba

函数集gydF4y2BaWgydF4y2BajgydF4y2Ba，gydF4y2BangydF4y2Ba＝gydF4y2Ba（gydF4y2BaWgydF4y2BajgydF4y2Ba，gydF4y2BangydF4y2Ba，gydF4y2BakgydF4y2Ba（gydF4y2BaxgydF4y2Ba)，gydF4y2BakgydF4y2Ba∊gydF4y2BaZgydF4y2Ba）gydF4y2Ba是(gydF4y2BajgydF4y2Ba，gydF4y2BangydF4y2Ba)小波包。对于整数的正数值gydF4y2BajgydF4y2Ba而且gydF4y2BangydF4y2Ba，小波包以树的形式组织。图中的树gydF4y2Ba树状组织的小波包尺度j定义深度，频率n定义树中的位置gydF4y2Ba创建的目的是给出等于3的最大级别分解。对于每个量表gydF4y2BajgydF4y2Ba，则参数n的可能值为0,1，…, 2gydF4y2BajgydF4y2Ba1。gydF4y2Ba

小波包gydF4y2Ba树;规模gydF4y2BajgydF4y2Ba定义深度和频率n定义树中的位置gydF4y2Ba

符号WgydF4y2Baj ngydF4y2Ba,在那里gydF4y2BajgydF4y2Ba表示比例参数和gydF4y2BangydF4y2Ba频率参数，与通常的深度-位置树标记一致。gydF4y2Ba

我们有gydF4y2Ba WgydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba （gydF4y2Ba ϕgydF4y2Ba （gydF4y2Ba xgydF4y2Ba −gydF4y2Ba kgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba kgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba ZgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba WgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba （gydF4y2Ba ψgydF4y2Ba （gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba −gydF4y2Ba kgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba kgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba ZgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ．gydF4y2Ba

原来小波包的库gydF4y2Ba基包括小波基和其他几个基。让我们来看看这些碱基。更准确地说，让gydF4y2BaVgydF4y2Ba0gydF4y2Ba表示由族所跨越的空间gydF4y2BaWgydF4y2Ba0，0gydF4y2Ba)所要分析的信号所在的位置;然后(gydF4y2BaWgydF4y2BadgydF4y2Ba，1gydF4y2Ba；gydF4y2BadgydF4y2Ba≥1)是的正交基gydF4y2BaVgydF4y2Ba0gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

对于每一个严格的正整数gydF4y2BaDgydF4y2Ba， (gydF4y2BaWgydF4y2BaDgydF4y2Ba，0gydF4y2Ba， (gydF4y2BaWgydF4y2BadgydF4y2Ba，1gydF4y2Ba；1≤gydF4y2BadgydF4y2Ba≤gydF4y2BaDgydF4y2Ba)的正交基gydF4y2BaVgydF4y2Ba0gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

我们还知道函数族{(gydF4y2BaWgydF4y2BajgydF4y2Ba+ 1, 2gydF4y2BangydF4y2Ba), (gydF4y2BaWgydF4y2BajgydF4y2Ba+ 1, 2gydF4y2BangydF4y2Ba＋1gydF4y2Ba)}是由张成的空间的正交基gydF4y2BaWgydF4y2Baj ngydF4y2Ba，分为两个子空间:gydF4y2BaWgydF4y2BajgydF4y2Ba+ 1, 2gydF4y2BangydF4y2Ba张成第一个子空间，然后gydF4y2BaWgydF4y2BajgydF4y2Ba+ 1, 2gydF4y2BangydF4y2Ba＋1gydF4y2Ba第二个。gydF4y2Ba

最后一个性质给出了小波包组织树中分裂的精确解释，因为所有展开的节点都是如图所示的形式gydF4y2Ba小波包树:分裂与合并gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

小波包树:gydF4y2Ba拆分和合并gydF4y2Ba

由此可见，完整树的每个连通二叉子树的叶子对应于初始空间的正交基。gydF4y2Ba

对于一个有限能量的信号，属于gydF4y2BaVgydF4y2Ba0gydF4y2Ba，任何小波包基都将提供精确的重构，并提供一种特定的编码方式，使用频率尺度子带中的信息分配。gydF4y2Ba

选择最优分解gydF4y2Ba

根据小波包库的结构，计算给定正交小波的分解次数是很自然的。gydF4y2Ba

长度的信号gydF4y2BaNgydF4y2Ba= 2gydF4y2BalgydF4y2Ba可以以α不同的方式展开，其中α是深度完全二叉树的二叉子树的数量gydF4y2BalgydF4y2Ba．结果，gydF4y2Ba αgydF4y2Ba ≥gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba NgydF4y2Ba /gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba (见[Mal98]第323页)。gydF4y2Ba

由于这个数字可能非常大，而且显式枚举通常是无法管理的，因此找到一个关于方便的标准的最优分解是有趣的，可以用有效的算法计算。我们正在寻找标准的最小值。gydF4y2Ba

验证加性类型属性的函数非常适合于有效搜索二叉树结构和基本分割。经典gydF4y2Ba基于熵的标准匹配这些条件，并描述与信息相关的属性，以准确表示给定信号。熵在许多领域都是一个常见的概念，主要是在信号处理中。让我们列出四种不同的熵标准(参见[CoiW92]);还有许多其他可用的，并且可以轻松集成(typegydF4y2Ba帮助gydF4y2BawentropygydF4y2Ba)．在以下表达式中gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba信号和(gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba我gydF4y2Ba的系数gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba在标准正交基上。gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba熵gydF4y2BaEgydF4y2Ba必须是一个附加成本函数，这样gydF4y2BaEgydF4y2Ba(0) = 0和gydF4y2Ba

EgydF4y2Ba （gydF4y2Ba 年代gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba EgydF4y2Ba （gydF4y2Ba 年代gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba

  • (非标准化)香农熵gydF4y2Ba

    EgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba （gydF4y2Ba 年代gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 年代gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 日志gydF4y2Ba （gydF4y2Ba 年代gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba

    所以gydF4y2Ba

    EgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba （gydF4y2Ba 年代gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba −gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba 年代gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 日志gydF4y2Ba （gydF4y2Ba 年代gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba

    约定0log(0) = 0。gydF4y2Ba

  • 浓度在gydF4y2BalgydF4y2BapgydF4y2Ba范数为1ℜ≤gydF4y2BapgydF4y2Ba

    EgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba （gydF4y2Ba 年代gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba |gydF4y2Ba 年代gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba |gydF4y2Ba pgydF4y2Ba

    所以gydF4y2Ba

    EgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba （gydF4y2Ba 年代gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba |gydF4y2Ba 年代gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba |gydF4y2Ba pgydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba |gydF4y2Ba 年代gydF4y2Ba |gydF4y2Ba pgydF4y2Ba pgydF4y2Ba

  • “能量”熵的对数gydF4y2Ba

    EgydF4y2Ba 3.gydF4y2Ba （gydF4y2Ba 年代gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 日志gydF4y2Ba （gydF4y2Ba 年代gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba

    所以gydF4y2Ba

    EgydF4y2Ba 3.gydF4y2Ba （gydF4y2Ba 年代gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba 日志gydF4y2Ba （gydF4y2Ba 年代gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba

    约定日志(0)= 0。gydF4y2Ba

  • 阈值熵gydF4y2Ba

    EgydF4y2Ba 4gydF4y2Ba （gydF4y2Ba 年代gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 如果gydF4y2Ba |gydF4y2Ba 年代gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba |gydF4y2Ba >gydF4y2Ba εgydF4y2Ba 其他地方是0，所以gydF4y2BaEgydF4y2Ba4（gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba= # {gydF4y2Ba我gydF4y2Ba这样gydF4y2Ba |gydF4y2Ba 年代gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba |gydF4y2Ba >gydF4y2Ba εgydF4y2Ba }是信号大于阈值ε的时间瞬间数。gydF4y2Ba

这些熵函数可用gydF4y2BawentropygydF4y2Ba文件。gydF4y2Ba

例1:计算各种熵gydF4y2Ba

  1. 产生一个能量等于1的信号。gydF4y2Ba

    年代gydF4y2Ba= 1 (16) * 0.25;gydF4y2Ba

  2. 计算的香农熵gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

    E1 = wentropy(s，'shannon') E1 = 2.7726gydF4y2Ba

  3. 计算gydF4y2BalgydF4y2Ba1．5gydF4y2Ba熵gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba，相当于gydF4y2Ba规范(年代,1.5)gydF4y2Ba1．5gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

    E2 = wentropy(s，'norm'，1.5) E2 = 2gydF4y2Ba

  4. 计算的“对数能量”熵gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

    E3 = wentropy(s，'log energy') E3 = -44.3614gydF4y2Ba

  5. 的阈值熵gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba使用阈值0.24。gydF4y2Ba

    E4 = wentropy(s，'threshold'， 0.24) E4 = 16gydF4y2Ba

例2:最小熵分解gydF4y2Ba

这个简单的例子说明了如何使用熵来确定新的拆分是否对获得最小熵分解感兴趣。gydF4y2Ba

  1. 我们从一个不变的原始信号开始。两段信息足以定义和恢复信号(即长度和常值)。gydF4y2Ba

    W00 = ones(1,16)*0.25;gydF4y2Ba

  2. 计算原始信号的熵。gydF4y2Ba

    E00 = wentropy(w00，'shannon') E00 = 2.7726gydF4y2Ba

  3. 然后分手gydF4y2Baw00gydF4y2Ba利用haar小波。gydF4y2Ba

    [w10,w11] = dwt(w00，'db1');gydF4y2Ba

  4. 计算一级近似熵。gydF4y2Ba

    E10 = w熵(w10，'shannon') E10 = 2.0794gydF4y2Ba

    第一级的细节，gydF4y2Baw11gydF4y2Ba，为零;熵gydF4y2Bae11gydF4y2Ba是零。根据可加性，分解熵由gydF4y2Bae10 + e11 = 2.0794gydF4y2Ba．它必须和初始熵相比较gydF4y2Bae00 = 2.7726gydF4y2Ba．我们有gydF4y2BaE10 + e11 < e00gydF4y2Ba，所以分裂是有趣的。gydF4y2Ba

  5. 现在分手gydF4y2Baw10gydF4y2Ba(不gydF4y2Baw11gydF4y2Ba因为零向量的分裂是没有意义的，因为熵是零)。gydF4y2Ba

    [w20,w21] = dwt(w10，'db1');gydF4y2Ba

  6. 我们有gydF4y2Baw20 = 0.5 *(1、4)gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba21gydF4y2Ba是零。2级近似的熵是gydF4y2Ba

    E20 = w熵(w20，'shannon') E20 = 1.3863gydF4y2Ba

    我们还有gydF4y2BaE20 + 0 < e10gydF4y2Ba，所以分裂使熵减小。gydF4y2Ba

  7. 然后gydF4y2Ba

    [w30,w31] = dwt(w20，'db1');E30 = w熵(w30，'shannon') E30 = 0.6931 [w40,w41] = dwt(w30，'db1') w40 = 1.0000 w41 = 0 e40 = w熵(w40，'shannon') e40 = 0gydF4y2Ba

    在最后的分割操作中，我们发现重构原始信号只需要一条信息。第4级的小波基是根据香农熵的最佳基(自香农熵为零)gydF4y2BaE40 +e41+e31+e21+e11 = 0gydF4y2Ba)．gydF4y2Ba

  8. 对信号进行小波包分解gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba在例1中定义。gydF4y2Ba

    T = wpdec(s,4，'haar'，'shannon');gydF4y2Ba

    小波包树gydF4y2Ba熵值gydF4y2Ba显示用原始熵数标记的节点。gydF4y2Ba

    熵值gydF4y2Ba

  9. 计算最佳树。gydF4y2Ba

    Bt = besttree(t);gydF4y2Ba

    最佳树如下图所示。在这种情况下，最佳树对应于小波树。节点被标记为最优熵。gydF4y2Ba

    最佳熵值gydF4y2Ba

一些有趣的子树gydF4y2Ba

使用小波包需要与树相关的操作和标记。用户界面的实现就是围绕这个考虑来构建的。有关技术细节的更多信息，请参阅参考页。gydF4y2Ba

深度的完整二叉树gydF4y2BaDgydF4y2Ba对应一个小波包分解gydF4y2Ba树水平发育gydF4y2BaDgydF4y2Ba用WPT表示。gydF4y2Ba

我们有以下有趣的子树。gydF4y2Ba

分解树gydF4y2Ba

使得叶子的集合是基的子树gydF4y2Ba

小波包分解树gydF4y2Ba

完全二叉树:深度的WPTgydF4y2BaDgydF4y2Ba

小波包最优分解树gydF4y2Ba

WPT的二叉子树gydF4y2Ba

小波包最佳级树gydF4y2Ba

WPT的完整二叉子树gydF4y2Ba

小波分解树gydF4y2Ba

深度WPT的左单侧二叉子树gydF4y2BaDgydF4y2Ba

小波最佳基树gydF4y2Ba

WPT的左单边二叉子树gydF4y2Ba

我们根据熵的准则推导出最优分解的下列定义gydF4y2BaEgydF4y2Ba．gydF4y2Ba

分解gydF4y2Ba

最优分解gydF4y2Ba

最好水平gydF4y2Ba分解gydF4y2Ba

小波包分解gydF4y2Ba

在2之间搜索gydF4y2BaDgydF4y2Ba树gydF4y2Ba

搜索中gydF4y2BaDgydF4y2Ba树gydF4y2Ba

小波分解gydF4y2Ba

搜索中gydF4y2BaDgydF4y2Ba树gydF4y2Ba

搜索中gydF4y2BaDgydF4y2Ba树gydF4y2Ba

对于任何非终端节点，我们使用以下基本步骤来查找关于给定熵准则的最优子树gydF4y2BaEgydF4y2Ba(gydF4y2BaEoptgydF4y2Ba表示最优熵值)。gydF4y2Ba

熵条件gydF4y2Ba

关于树和熵标记的行动gydF4y2Ba

EgydF4y2Ba （gydF4y2Ba ngydF4y2Ba ogydF4y2Ba dgydF4y2Ba egydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ≤gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba cgydF4y2Ba 节点的子节点gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ogydF4y2Ba pgydF4y2Ba tgydF4y2Ba （gydF4y2Ba cgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba


如果(gydF4y2Ba节点≠根gydF4y2Ba)，合并和设置gydF4y2BaEoptgydF4y2Ba（gydF4y2Ba节点gydF4y2Ba) =gydF4y2BaEgydF4y2Ba（gydF4y2Ba节点gydF4y2Ba）gydF4y2Ba
EgydF4y2Ba （gydF4y2Ba ngydF4y2Ba ogydF4y2Ba dgydF4y2Ba egydF4y2Ba ）gydF4y2Ba >gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba cgydF4y2Ba 节点的子节点gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ogydF4y2Ba pgydF4y2Ba tgydF4y2Ba （gydF4y2Ba cgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba

拆分和设置gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ogydF4y2Ba pgydF4y2Ba tgydF4y2Ba （gydF4y2Ba ngydF4y2Ba ogydF4y2Ba dgydF4y2Ba egydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba cgydF4y2Ba 节点的子节点gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ogydF4y2Ba pgydF4y2Ba tgydF4y2Ba （gydF4y2Ba cgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba

在参考树的自然初始条件下，gydF4y2BaEoptgydF4y2Ba（gydF4y2BatgydF4y2Ba）gydF4y2Ba＝gydF4y2BaEgydF4y2Ba（gydF4y2BatgydF4y2Ba）gydF4y2Ba对于每个终端节点gydF4y2BatgydF4y2Ba．gydF4y2Ba

从节点重建信号逼近gydF4y2Ba

你可以使用这个函数gydF4y2BawprcoefgydF4y2Ba从小波包树中的任意节点重建信号的近似值。无论你处理的是完整的小波包树，还是由最优性准则决定的子树，这都是正确的。使用gydF4y2BawpcoefgydF4y2Ba如果你想从一个节点中提取小波包系数而不重建信号的近似值。gydF4y2Ba

加载噪声多普勒信号。gydF4y2Ba

负载noisdoppgydF4y2Ba

计算小波包分解到第5级使用gydF4y2Basym4gydF4y2Ba小波。使用周期模式。gydF4y2Ba

dwtmode(“/”);T = wpdec(noisdopp,5，'sym4');情节(T)gydF4y2Ba

绘制二叉小波包树并单击(4,1)双态(节点16)。gydF4y2Ba

从节点16中提取小波包系数。gydF4y2Ba

wpc = wpcoef(T,16);% WPC长度为64gydF4y2Ba

获得节点16信号的近似值。gydF4y2Ba

rwpc = wprcoef(T,16);% RWPC长度为1024 plot(noisdopp，'k');抓住;情节(rwpc,“b”,“线宽”,2);轴紧;gydF4y2Ba

确定最优二叉小波包树。gydF4y2Ba

Topt =最佳树(T);%图最佳树图(Topt)gydF4y2Ba

从(3,0)双态(节点7)重构信号的近似值。gydF4y2Ba

rsig = wprcoef(Topt,7);% rsig是长度1024 plot(noisdopp，'k');抓住;情节(rsig,“b”,“线宽”,2);轴紧;gydF4y2Ba

如果知道要提取二进制小波包树中的哪个双态，就可以用它来确定与该双态对应的节点gydF4y2Badepo2indgydF4y2Ba．gydF4y2Ba

例如，要确定双态(3,0)对应的节点，输入:gydF4y2Ba

Node = depo2ind(2，[3 0]);gydF4y2Ba

小波包二维分解结构gydF4y2Ba

与小波分解一样，上述一维框架也可以推广到图像分析中。微小的直接修改导致了与第四纪树相关的定义。深度为2的示例如下图所示。gydF4y2Ba

深度第四纪树gydF4y2Ba

小波包压缩与去噪gydF4y2Ba

在小波包框架中，压缩和去噪的思想与小波框架中发展的思想是相同的。唯一的新特性是提供更大灵活性的更完整的分析。使用小波包进行一次分解会产生大量的基。方法，可以查找与设计目标相关的最佳表示gydF4y2BabesttreegydF4y2Ba用熵函数。gydF4y2Ba

小波工具箱文档gydF4y2Ba

金宝app

试试MATLAB、Sim金宝appulink和其他产品下载188bet金宝搏gydF4y2Ba

现在就去审判吧gydF4y2Ba