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卡尔曼

カルマンカルマンフィルター，カルマンカルマン器

构文

[KEST，L，P] =卡尔曼（SYS，QN，RN，NN） [KEST，L，P] =卡尔曼（SYS，QN，RN，NN，传感器，已知） [kest，l，p，m，z] =卡尔曼（sys，qn，rn，...，类型）

说明

卡尔曼は，与え与えられたプラントプラントの状态状态モデルとプロセス，および测定ノイズのプロセスデータデータカルマンまたはカルマン推定推定をしますますしします。な解を提供します。

连続时间の推定

次の连続プラントをますます。

$\begin{array}{l} \dot{X} = 一种 X + B. 你 + G W. \\ y = C X + D. 你 + H W. + V. \end{array}$

ここで，uは既知既知力，wはプロセスノイズ，vは観测ノイズで，次次満たします。

$E. （ W. ） = E. （ V. ） = 0. 那 E. （ W. {W.}^{T.} ） = 问：那 E. （ V. {V.}^{T.} ） = R. 那 E. （ W. {V.}^{T.} ） = N$

は，定常定常偏差のののの分享到をを小气する状态状态 $\hat{X} （ T. ）$ を作物成し。
$P. = \underset{T. \to \infty}{林}$ $E. （ {X - \hat{X}} {X - \hat{X}}^{T.} ）$

最适最适解は，次の方程式をもつフィルターフィルターです。

$\begin{array}{l} \frac{D. \hat{X}}{D. T.} = 一种 \hat{X} + B. 你 + L. （ y - C \hat{X} - D. 你） \\ [\begin{matrix} \hat{y} \\ \hat{X} \end{matrix}] = [\begin{matrix} C \\ 一世 \end{matrix}] \hat{X} + [\begin{matrix} D. \\ 0. \end{matrix}] 你 \end{array}$

フィルターゲインlは，次のようになるなるリカッチ式

$L. = （ P. C^{T.} + \bar{N} ） {\bar{R.}}^{- 1}$

ここで，

$\begin{array}{l} \bar{R.} = R. + H N + N^{T.} H^{T.} + H 问： H^{T.} \\ \bar{N} = G （问： H^{T.} + N ） \end{array}$

であり，pは対応するするリカッチ方向式をます。

推定器材は既知のの力Uとと値yををを使使使，出力 $\hat{y}$ と状态推定 $\hat{X}$ を生成します。 $\hat{y}$ は真のプラント出力量をすることことに注意してて。

$y = C X + D. 你 + H W. + V.$

离散时间の推定

次の离散プラントをますます。

$\begin{array}{l} X [N. + 1] = 一种 X [N.] + B. 你 [N.] + G W. [N.] \\ y [N.] = C X [N.] + D. 你 [N.] + H W. [N.] + V. [N.] \end{array}$

ノイズの共分类データは次のです。

$E. （ W. [N.] W. {[N.]}^{T.} ） = 问：那 E. （ V. [N.] V. {[N.]}^{T.} ） = R. 那 E. （ W. [N.] V. {[N.]}^{T.} ） = N$

推定器材に，次次状态方程式があり。

$\hat{X} [N. + 1 | N.] = 一种 \hat{X} [N. | N. - 1] + B. 你 [N.] + L. （ y [N.] - C \hat{X} [N. | N. - 1] - D. 你 [N.] ）。$

ゲイン行列lは，

$L. = （一种 P. C^{T.} + \bar{N} ） {（ C P. C^{T.} + \bar{R.} ）}^{- 1}$

となる离散（Ricatti）方程式を解くでされます。

$\begin{array}{l} \bar{R.} = R. + H N + N^{T.} H^{T.} + H 问： H^{T.} \\ \bar{N} = G （问： H^{T.} + N ） \end{array}$

离散时空器材に2つのの合。

在の推定器材， $y [N.]$ までまで使使用可能すべてのの测定値を使しの测定てて，出力推定 $\hat{y} [N. | N.]$ および状态推定 $\hat{X} [N. | N.]$ を生成します。この推定器材は，次次の力方程式があり。

$[\begin{matrix} \hat{y} [N. | N.] \\ \hat{X} [N. | N.] \end{matrix}] = [\begin{matrix} （一世 - m_{y} ） C \\ 一世 - m_{X} C \end{matrix}] \hat{X} [N. | N. - 1] + [\begin{matrix} （一世 - m_{y} ） D. & m_{y} \\ - m_{X} D. & m_{X} \end{matrix}] [\begin{matrix} 你 [N.] \\ y [N.] \end{matrix}] 。$

ここで，イノベーションゲインm_XおよびM._yは次のように定义されます。

$\begin{matrix} m_{X} = P. C^{T.} {（ C P. C^{T.} + \bar{R.} ）}^{- 1} 那 \\ m_{y} = （ C P. C^{T.} + H 问： H^{T.} + H N ） {（ C P. C^{T.} + \bar{R.} ）}^{- 1} 。 \end{matrix}$

m_Xは新闻测定値 $y [N.]$ をを用して予测 $\hat{X} [N. | N. - 1]$ を新新します。

$\hat{X} [N. | N.] = \hat{X} [N. | N. - 1] + m_{X} （ y [N.] - C \hat{X} [N. | N. - 1] - D. 你 [N.] ）$

h = 0の场合， $m_{y} = C m_{X}$ および $\hat{y} [N. | N.] = C \hat{X} [N. | N.] + D. 你 [N.]$ ととます。
遅延器具は，y_V.[n-1]までの测定値のみをし，出力推定 $\hat{y} [N. | N. - 1]$ と状态推定 $\hat{X} [N. | N. - 1]$ 

$[\begin{matrix} \hat{y} [N. | N. - 1] \\ \hat{X} [N. | N. - 1] \end{matrix}] = [\begin{matrix} C \\ 一世 \end{matrix}] \hat{X} [N. | N. - 1] + [\begin{matrix} D. & 0. \\ 0. & 0. \end{matrix}] [\begin{matrix} 你 [N.] \\ y [N.] \end{matrix}]$

[KEST，L，P] =卡尔曼（SYS，QN，RN，NN）は，プラントモデルSYS.およびノイズ共分享データQN.那rn.那NN.（说明に记载の行q，r，n）に対して，カルマン推定器材の空空间モデル肯斯特を作物成し。SYS.は行列が $一种那 [B. G] 那 C 那 [D. H]$ のの空间モデルでばばません。

结果结果得られる仪器肯斯特には，入力 $[你; y]$ およびおよび力 $[\hat{y}; \hat{X}]$ （または离散时空のの等等等価ますます.n = 0の场合数，最后最后の力次数NN.を省略できます。

关节卡尔曼は连続，离散のの方のの问题处定理し，SYS.ががの综合は推定连続器材，それ疏户の合成は离散定を生成します。卡尔曼はカルマンゲインL.と定常偏差の共共分享行程P.ももます。P.は关键词しリカッチ（Riccati）方程式をます。

[KEST，L，P] =卡尔曼（SYS，QN，RN，NN，传感器，已知）は，次のようなより一般的なな状况を定理。

SYS.のすべてのの力が観测されない
外乱乱力WがSYS.のの最后の力ではない

インデックスベクトルの传感器と众所周知は，SYS.のどのどの力を测定（y），どのどの力を既知（u）（确定的）ににかを指定します。SYS.のその他すべてののは，确率的であるものと仮定されます。

[kest，l，p，m，z] =卡尔曼（sys，qn，rn，...，类型）は，离散时间プラントSYS.に対する推定器材のを指定します。类型引数は，'当前的'（既定値）または'延迟'のいずれかです。离散时间プラントプラントの合，卡尔曼は推定器材ゲインゲインゲインlとmのほか，定常偏差の以の共共をます。

$\begin{array}{l} P. = \underset{N. \to \infty}{林} E. （ E. [N. | N. - 1] E. [^{N. | N. - 1] T.} ）那 E. [N. | N. - 1] = X [N.] - X [N. | N. - 1] \\ Z. = \underset{N. \to \infty}{林} E. （ E. [N. | N.] E. [^{N. | N.] T.} ）那 E. [N. | N.] = X [N.] - X [N. | N.] \end{array}$

例

关节卡尔曼のの用例は，x轴に対するlqg设计およびカルマンカルマン经理を参照してください。

限制性

プラントとノイズデータは以の条件満たさなけれ以ばませませ

（c，a）検出可能
$\bar{R.} > 0.$ かつ $\bar{问：} - \bar{N} {\bar{R.}}^{- 1} {\bar{N}}^{T.} \geq 0.$
$（一种 - \bar{N} {\bar{R.}}^{- 1} C 那 \bar{问：} - \bar{N} {\bar{R.}}^{- 1} {\bar{N}}^{T.} ）$ は，次の表记のの合，虚轴（离散时间のの合は単位円に可制御モードがない

$\begin{array}{l} \bar{问：} = G 问： G^{T.} \\ \bar{R.} = R. + H N + N^{T.} H^{T.} + H 问： H^{T.} \\ \bar{N} = G （问： H^{T.} + N ） \end{array}$