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极点配置设计

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    语法

    K = (A、B、p)的地方
    [K, prec] = (A、B、p)的地方

    描述

    极点配置的方法计算最优增益矩阵用于指定闭环极点指定位置,从而确保系统的稳定性。闭环极点位置有直接影响的时间响应特性如上升时间、沉淀时间,瞬态振荡。有关更多信息,请参见杆位置。

    系统状态矩阵A,输入矩阵B,输出矩阵C,和引线矩阵D,全状态反馈矩阵K

    从图,考虑线性动态系统状态方程的形式

    x ˙ = 一个 x + B u

    y = C x + D u

    对于一个给定的向量p所需的自共轭的闭环极点位置,的地方计算一个增益矩阵K这样的状态反馈u= -Kx波兰人在位置的地方p。换句话说,特征值一个- - - - - -汉堡王将匹配的条目吗p(排序)。

    例子

    K= (一个,B,p)期望的闭环极点的地方p通过计算一个状态反馈增益矩阵K。所有植物的输入都假定为控制输入。的地方也适用于多输入系统和基于的算法[1]。该算法利用额外的自由度,找到一个解决方案,最大限度地减少扰动的闭环极点的敏感性一个或B。

    (K,前的]= (一个,B,p)同样的回报前的,一个紧密的特征值的估计精度一个- - - - - -汉堡王匹配指定的位置p(前的措施的数量准确实际的闭环极点的小数位数)。发出一个警告如果一些非零闭环极点超过10%从所需的位置。

    例子

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    对于这个示例,考虑一个简单的二阶系统状态矩阵如下:

    一个 = ( - - - - - - 1 - - - - - - 2 1 0 ] B = ( 2 0 ] C = ( 0 1 ] D = 0 Spate-space矩阵

    输入矩阵和创建系统状态方程。

    一个= [1、2、1、0];B = [2; 0];C = [0, 1];D = 0;sys = ss (A, B, C, D);

    计算出开环极点并检查开环系统的阶跃响应。

    波尔=杆(系统)
    波尔=2×1复杂我-0.5000 - 1.3229 -0.5000 + 1.3229
    图(1)步骤(系统)在;

    图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象包含一个类型的对象。这个对象表示系统。

    请注意,这里有一个不稳定的钢管,合成系统阻尼不足的。因此,选择真正的极点在复平面的左半部分消除振荡。

    p = [1, 2];

    找到增益矩阵K利用极点配置和检查的闭环极点syscl。

    K = (A、B、p);Acl = a - b * K;syscl = ss (Acl, B, C, D);Pcl =杆(syscl)
    Pcl =2×1-2.0000 - -1.0000

    现在,将闭环系统的阶跃响应进行比较。

    图(1)步骤(syscl)

    图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象包含2线类型的对象。这些对象代表sys, syscl。

    因此,使用获得的闭环系统极点位置是稳定的具有良好的稳态响应。

    注意,选择远离的波兰人虚轴实现更快的响应时间,但会降低系统的稳态增益。例如,考虑使用两极(2、3)上述系统。

    p = [2、3];K2 = (A、B、p)的地方;syscl2 = ss (a - B * K2, B, C, D);图(1);步骤(syscl2);

    图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象包含3线类型的对象。这些对象代表sys, syscl syscl2。

    stepinfo (syscl)
    ans =结构体字段:上升时间:2.5901 TransientTime: 4.6002 SettlingTime: 4.6002 SettlingMin: 0.9023 SettlingMax: 0.9992过度:0负脉冲信号:0峰:0.9992 PeakTime: 7.7827
    stepinfo (syscl2)
    ans =结构体字段:上升时间:1.4130 TransientTime: 2.4766 SettlingTime: 2.4766 SettlingMin: 0.3003 SettlingMax: 0.3331过度:0负脉冲信号:0峰:0.3331 PeakTime: 4.1216
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    对于这个示例,考虑到极点的位置(2 e-13, 3的军医,3 e - 3)。计算实际的波兰人的精度。

    = [4、2、1,0,1,2,0,1 e-8, 1];B = [1, 2, 3, 1; 1 e-6 0];p = (2 e-13, 3的军医,3 e - 3);[~,prec] = (A、B、p)的地方
    prec = 2

    得到精确值2表明实际的极点位置精确到小数点后2位。

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    对于这个示例,考虑下面的传递函数与复共轭极点 - - - - - - 2 ± 2 我 :

    年代 y 年代 t f ( 年代 ) = 8 年代 2 + 4 年代 + 8 系统的传递函数

    输入传递函数模型。然后,将它转换成状态空间形式的地方使用一个和B矩阵作为输入参数。

    s =特遣部队(“年代”);systf = 8 / (s ^ 2 + 4 * s + 2);sys = ss (systf);

    接下来,计算增益矩阵K使用复共轭极点。

    p =[2 + 2我2-2i];K =地方(sys.A sys.B p)
    K =1×20 1.5000

    增益矩阵的值是真实的两极是自共轭。的值K将复杂的如果p不包含自共轭极点。

    现在,验证闭环系统的阶跃响应。

    syscl = ss (sys.A-sys.B * K sys.B sys.C, sys.D);步骤(syscl)

    图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象包含一个类型的对象。该对象代表syscl。

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    对于这个示例,考虑以下输出:状态空间模型

    一个 = ( - - - - - - 1 - - - - - - 0 。 7 5 1 0 ] B = ( 1 0 ] C = ( 1 1 ] D = 0 状态空间模型的输出

    创建定义的状态空间模型的输出状态空间矩阵如下:

    一个= [1,-0.75;1,0];B = (1, 0);C = [1];D = 0;工厂= ss (A, B, C, D);

    现在,为植物提供一个脉冲和模拟使用lsim。策划的输出。

    N = 250;t = linspace (0、25、N);u = [(N / 2,1);0 (N / 2,1)];x0 = [1, 2];(y, t, x) = lsim(植物,u, t, x0);图绘制(t、y);标题(“输出”);

    图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象与标题输出包含一个类型的对象。

    对于这个示例,假设所有状态变量不能被衡量,只有输出测量。因此,设计一个观察者测量。使用的地方计算估计获得通过置换一个矩阵和替换C '对矩阵B。对于本实例,选择所需的磁极位置2和3。

    L =(一个“C”, [2、3]) ';

    使用估计获得替代状态矩阵使用对偶原理/分离和建立状态空间模型的估计。

    在C = l *;Bt = [B, L];Ct = [C;眼(2)];sysObserver = ss (Bt, Ct, 0);

    模拟系统的时间响应使用相同的脉冲输入。

    [observerOutput t] = lsim (sysObserver (u, y), t);yHat = observerOutput (: 1);xHat = observerOutput (: 3 [2]);

    比较实际的反应系统和估计系统。

    图;情节(t, x);持有在;情节(t, xHat“——”);传奇(“x_1”,“x_2”,“xHat_1”,“xHat_2”)标题(“比较实际与估计”);

    图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象与标题比较实际与估计包含4线类型的对象。这些对象代表x_1、x_2 xHat_1 xHat_2。

    输入参数

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    状态矩阵,作为指定Nx——- - - - - -Nx矩阵,Nx的状态数。

    Input-to-state矩阵,作为指定Nx——- - - - - -ν矩阵,Nx的状态和数量吗ν输入的数量。

    闭环极点位置,指定为一个向量的长度Nx在那里,Nx的状态数。换句话说,的长度p必须匹配的行大小一个。闭环极点位置有直接影响的时间响应特性如上升时间、沉淀时间,瞬态振荡。例如选择波兰人,明白了为二阶系统极点配置设计。

    的地方如果一些波兰人在返回一个错误p有多重性大于排名(B)。

    在高阶问题,一些极位置的选择导致非常大的收益。敏感性问题上的巨大收益建议谨慎使用极点配置技术。看到[2]从数值结果测试。

    输出参数

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    最优增益或全状态反馈增益,作为一个返回纽约——- - - - - -Nx矩阵,Nx的状态和数量吗纽约是输出的数量。的地方计算一个增益矩阵K这样的状态反馈u= -Kx地方的闭环极点位置p。

    当矩阵一个和B是真实的,K是

    • 真正的时p自共轭。

    • 复杂的极点位置不共轭复数。

    精度估计的分配的两极,作为一个标量返回。前的措施准确数量的小数位数在实际中指定闭环极点与杆的位置p。

    提示

    • 您可以使用的地方估计收益选择通过置换一个矩阵和替换C '对矩阵B如下所示杆位置观测器设计。您可以使用合成估计得到状态估计量工作流使用estim。

    引用

    [1]考茨基,J。,N.K. Nichols, and P. Van Dooren, "Robust Pole Assignment in Linear State Feedback,"国际期刊的控制,41(1985),页1129 - 1155。

    [2]到来,抗干扰和m . Wette算法和软件为极点配置和观察员ucrl - 15646启1,EE部门,加州大学的圣芭芭拉分校,1984年9月。

    版本历史

    之前介绍过的R2006a

    另请参阅

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