主要内容

什么是状态空间模型?

定义

状态空间模型

一个状态空间模型是一个离散时间随机模型，包含两组方程:

  • 一种描述潜在过程如何随时间变化的方法状态方程）

  • 另一个描述了观察者如何测量每个时期的潜在过程观测方程）

象征性地，你可以写一个线性，多元，时变，高斯状态空间模型使用以下方程组

x t ＝ 一个 t x t − 1 + B t u t y t − （ Z t β ） ” ＝ C t x t + D t ε t ，

为t= 1,…,T．

  • x t ＝ ［ x t 1 ， ．.. ， x t 米 t ］ ” 是一个米t描述周期内某些可能无法观测到的现象的动力学的维状态向量t．初始状态分布(x0)是带有均值的高斯分布μ0和协方差矩阵Σ0．

  • y t ＝ ［ y t 1 ， ．.. ， y t n t ］ ” 是一个nt-描述观察者在周期内如何测量状态的维观测向量t．

  • 一个t是米t——- - - - - -米t- 1状态转移矩阵描述状态在某一时刻的状态t过渡到某个时期的状态t- 1。

  • Bt是米t——- - - - - -kt状态-扰动-负载矩阵，描述在周期内的状态t结合同期的创新t．

  • Ct是nt——- - - - - -米t测量灵敏度矩阵，描述观测值在某一时期的变化情况t与时期的状态相关t．

  • Dt是nt——- - - - - -ht观察-创新矩阵描述了观察在某一时期是如何进行的t结合同期观测误差t．

  • 的矩阵一个t，Bt，Ct,Dt被称为系数矩阵，可能包含未知参数。

  • u t ＝ ［ u t 1 ， ．.. ， u t k t ］ ” 是一个kt-维、高斯、白噪声、周期状态扰动的单位方差向量t．

  • ε t ＝ ［ ε t 1 ， ．.. ， ε t h t ］ ” 是一个ht-维、高斯、白噪声、周期观测创新的单位方差向量t．

  • εt和ut是不相关的。

  • 为定常状态空间模型，

    • Z t ＝ ［ z t 1 z t 2 ⋯ z t d ］ 是行t的T——- - - - - -d矩阵的预测Z．每一列的Z对应于一个预测器，每个连续的行对应一个连续的周期。如果观察结果是多元的，那么所有的预测因子都会缩小每个观察结果。

    • β是一个d——- - - - - -n的回归系数矩阵Zt．

要编写定常状态空间模型，请删除t所有系数矩阵和维数的下标。

状态空间模型扩散

扩散状态空间模型是状态空间模型它至少包含一个初始方差为无穷大的状态，称为a分散状态．除了具有无限的初始方差，所有扩散状态都与模型中的所有其他状态不相关。使用扩散状态空间模型有几个动机:

  • 摘要对一些非平稳系统(如随机漫步过程)的很早就开始点的研究，导致初始分布方差趋近于无穷。

  • 初始状态分布的无限方差说明完全不知道，或没有先验知识，扩散状态。该规范的优点是对这些状态的分析更加客观。也就是说，观测结果，而不是额外的分布假设，有助于理解扩散状态。其缺点是状态的后验分布可能不合理，似然函数是无界的。然而，有了足够的数据和一个可识别的高斯状态空间模型，滤波和平滑的状态，以及基于它们的可能性，可以使用分散卡尔曼滤波器．

  • 将静态初始状态表示为未知参数，使其具有无限方差。

定常状态空间模型

在一个定常:状态空间模型

  • 系数矩阵对所有周期都是等价的。

  • 所有周期的状态、状态扰动、观测和观测创新的数量都是相同的。

例如，对所有人来说t，下面的方程组

［ x 1 ， t x 2 ， t ］ ＝ ［ ϕ 1 0 0 ϕ 2 ］ ［ x 1 ， t − 1 x 2 ， t − 1 ］ + ［ 0．5 0 0 2 ］ ［ u 1 ， t u 2 ， t ］ y t ＝ ［ ϕ 3. 1 ］ ［ x 1 ， t x 2 ， t ］ + 0．2 ε t

表示一个时不变的状态空间模型。

状态空间模型时变

在一个时变:状态空间模型

  • 系数矩阵可能会随着时间的不同而变化。

  • 状态数、状态扰动、观测值和观测创新值可能会随周期而变化dimension-varying模型．例如，如果在采样时间范围内存在状态转移或某个状态或观测无法测量，就可能发生这种情况。此外，您可以使用时变模型建模季节性。

为了说明政权的转变，假设t= 1,…,10

［ x 1 ， t x 2 ， t ］ ＝ ［ ϕ 1 0 0 ϕ 2 ］ ［ x 1 ， t − 1 x 2 ， t − 1 ］ + ［ 0．5 0 0 2 ］ ［ u 1 ， t u 2 ， t ］ y t ＝ ［ ϕ 3. 1 ］ ［ x 1 ， t x 2 ， t ］ + 0．2 ε t ，

为t= 11

x 1 ， t ＝ ［ ϕ 4 0 ］ ［ x 1 ， t − 1 x 2 ， t − 1 ］ + 0．5 u 1 ， t y t ＝ ϕ 5 x 1 ， t + 0．2 ε t ，

和t= 12 . .T

x 1 ， t ＝ ϕ 4 + 0．5 u 1 ， t y t ＝ ϕ 5 x 1 ， t + 0．2 ε t ．

有三组状态转移矩阵，而其他系数矩阵只有两组。

建立状态空间模型

要创建一个标准的或扩散的状态空间模型，请使用舰导弹或dssm,分别。对于时不变模型，通过提供系数矩阵显式地指定状态空间模型的参数形式。对于时变的、复杂的模型或需要约束的模型，提供一个参数到矩阵的映射函数。软件可以推断状态的类型(静态的、常量的或非静态的)，但是最好的实践是使用StateType名称-值对的论点。

过滤和平滑指定的状态舰导弹或dssm模型，软件使用标准卡尔曼滤波器或者是分散卡尔曼滤波器．为了实现这两种情况，软件需要初始状态分布的参数(x0）.

  • 对于定态(StateType是0)，初始均值、方差和协方差是有限的，软件可以推断它们。但是，您可以使用属性指定其他值Mean0和Cov0和点表示法。

  • 对于所有周期都是常数的状态(StateType是1)，初始状态均值为1，协方差为0。

  • 对于非平稳或扩散状态(StateType是2)：

    • 对于标准状态空间模型，初始状态均值为0，初始状态方差为1 e7默认情况下。的初始状态协方差正,创建一个dssm模型对象。

    • 对于扩散状态空间模型，初始状态均值为0，初始状态方差为正．

参考文献

杜宾J.和S. J.库普曼。基于状态空间方法的时间序列分析．2版。牛津:牛津大学出版社，2012。

另请参阅

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