指数增长到底是什么?是什么e它和指数增长有什么关系?一个简单的MATLAB交互图形介绍了这些概念。

内容

指数增长。

对大多数人来说，“指数增长”仅仅意味着“非常快速的增长”。但是，更准确地说，如果增长速度与数量本身的大小成正比，则时变数量呈指数增长。这个速率甚至可以是负的，在这种情况下，它是“指数衰减”。我认为在高中或大学学过微积分的学生应该理解指数增长中涉及的数学思想，但恐怕他们中的大多数人都没有。当我让学生们告诉我t^3的导数时，他们通常会回答$3t^2。当我问他们“为什么”时，他们说“把3美元放在前面，然后从指数中减去1美元”。求导数是一个纯粹的机械过程，就像加分数或解二次方程一样。当我要求$3^t$的导数时，有些人甚至会用同样的方法得到$3^ {t-1}$。人们对分化和变化率之间的关系没有理解。函数f(t)呈指数增长如果它的增长率，它的导数，与函数本身成正比。 Perhaps the most important function in all of mathematics is the one where this proportionality constant is equal to one, so the function is its own derivative. Let's discover that function.

近似导数。

我们可以得到导数的数值和图形而不需要微分。出于我们的目的，基于变化率概念的近似导数在某些方面甚至比实际导数更可取。我们只需要选择一个小的步长h，比如h = 0.0001。那么$f(t)$的近似导数是$$ \dot{f}(t) = \frac{f(t+h)-f(t)}{h} $$

2 ^ t

函数f(t) = 2^t是什么意思如果t是一个正整数，那么2^t就是2乘以它本身。$$ 2^0 = 1， \ \ 2^1 = 2， \ \ 2^2 = 4，…如果t是一个负整数，那么2^t等于1/2乘以它本身。$$ 2^{-1} = 1/2， \ \ 2^{-2} = 1/4，…$$如果$t = p/q$是有理数，两个整数之比$2^{p/q}$是$q$- $p$的根号- $2$的次幂。2 $ $ ^ {5} = \ sqrt {2} = 1.4142, \ \ 2 ^ {355/113} = \ sqrt[113]{2 ^{355}} = 8.8250,……理论上，对于浮点运算，这是我们所需要知道的。所有浮点数都是两个整数的比率。我们现在还不用关心无理数t的2^t的定义。如果MATLAB可以计算幂和根，我们可以画出$2^t$的图。

交互界面。

这个函数expgui是包含在书的软件里的吗MATLAB实验．我邀请你下载功能然后运行它。它画出了a^t的图像和它的近似导数。下面是生成初始图的代码，其中$a = 2$。可以看到，绿色的导数，与蓝色的函数形状相同。这是指数增长。

T = 0:1/64:2;H = 0.0001;计算y = a^t及其近似导数A = 2.0;Y = a.^t;y导= (a.^(t+h) - a.^t)/h;%的阴谋情节(t) [y;ydot])%的标签坐标轴([0 2 0 9])fs = get(0，“defaulttextfontsize”) + 2;文本(0.3,6.0,'a = 2.000'，“字形大小”fs,“fontweight”，“大胆”)标题('y = a^t'，“字形大小”fs,“fontweight”，“大胆”)传说(“y”，“dy / dt”，“位置”，“西北”)包含(“t”) ylabel (“y”）

动画。

此时，如果你真的在跑步expgui，您可以用鼠标移动蓝线，改变$a$的值。如果你没有MATLAB，或者还没有下载expgui，你可以点击这个电影观看模拟动画。我希望你能自己移动线expgui．这种触觉体验比看电影更令人满意。

π^ t

以防你跑不动expgui或者看电影，这是$\pi^t$及其近似导数的图。

A = pi;Y = a.^t;y导= (a.^(t+h) - a.^t)/h;P = get(gca，“孩子”);集(p (3),“ydata”, y)组(p (2),“ydata”ydot)组(p (1),“字符串”，'a = 3.142'）

发现e。

你很快就会发现a^t的导数的图形总是和a^t本身的图形形状相同。如果$a$小于$2.7$，则导数低于函数，而如果$a$大于$2.8$，则导数高于函数。通过小心移动鼠标，你可以在曲线之间找到一个值，即$a$的临界值为2.718。你已经发现了e和e^t，这是世界上唯一一个等于自己导数的函数。你不需要微分任何东西。这是最后的图表。

Y = exp(t);P = get(gca，“孩子”);集(p (3),“ydata”, y)组(p (2),“ydata”, y)组(p (1),“字符串”，'a = 2.718'）

e t ^

与它同样著名的表兄弟$\pi$相比，$e$的实际数值并不那么重要。它是函数e^t，或者exp (t)在MATLAB中，这是最基本的。如果需要知道$e$的值，可以使用

格式长E = exp(1)

E = 2.718281828459046

记住前十位有效数字是很容易的。

流('e = %12.9f\n', e)

E = 2.718281828

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