我第一次调查塔的力量

$ $ z ^ {z ^ {z ^ z}} $ $

当我还在初中,14或15岁。我回到它每隔几十年。这是另一个事件。

内容

结合性

做

$ $ 2 ^ 3 ^ {4}$ $

的意思是

$ $ {(2 ^ 3)}^ 4 = 8 ^ 4 = 2 ^ {12},\ \ mbox{或}\ 2 ^ {(3 ^ 4)}= 2 ^ {81}$ $

它使一个很大的区别。

加法和乘法是关联的。我们的意思是

2 * 3 * 4

ans = 24

可以计算的吗

(2 * 3)* 4

ans = 24

或

2 * (3 * 4)

ans = 24

他们都是相同的。

但减法,除法和求幂不关联。MATLAB的同事从左到右。所以

格式老鼠2/3/4

ans = 1/6

计算了

(2/3)/ 4

ans = 1/6

而不是

2 / (3/4)

ans = 8/3

数学大会

通常的数学求幂公约是右结合性。

$ $ ^ {b c ^} = ^ {(b ^ c)} $ $

这是因为左可以取而代之的是乘法结合律。

$ $ {(^ b)} ^ c = ^{公元前}$ $

所以,我的权力是塔

$ $ z ^ {z ^ {z ^ z}} = z ^ {(z ^ {(z ^ z)})} $ $

我想让这个塔无限高。

WS算法

我一直伸展我的运气印刷标和括号。让我们安定下来。

对于一个给定的z美元的价值,让y表示美元的无限扩展塔年底的最后一段。然后,因为它是无限的,和相关的,

$ $ $ $ y = z ^ y

现在,至少容易排版。

有一个明显的方式来计算它。我把这称为WS或世界上最简单的算法。

$ $ $ $ y_1 = 1

$ $ \ mbox的{}\ n = 1,……,\ \ y_ z ^ {n + 1} ={推出}$ $

当然,这是更好的被称为不动点算法

$ $ y_ {n + 1} = f(最大)$ $

函数的

$ $ f (z) = y z ^ $ $。

两个实验

让我们尝试两种不同值的z,美元1.25美元和1.50美元。

格式长z = 1.25 y = 1为n = 1:30 y = z ^ y;disp (y)结束snapnow

z = 1.250000000000000 y = 1 1.250000000000000 1.321714079300705 1.343034993578008 1.349439873733169 1.351369882459350 1.351952000918108 1.352127625454628 1.352180615675240 1.352196604529415 1.352201428918186 1.352202884606055 1.352203323838621 1.352203456370664 1.352203496360284 1.352203508426572 1.352203512067399 1.352203513165966 1.352203513497443 1.352203513597461 1.352203513627640 1.352203513636746 1.352203513639493 1.352203513640323 1.352203513640573 1.352203513640648 1.352203513640671 1.352203513640678 1.352203513640680 1.352203513640681 1.352203513640681

格式长z = 1.5 y = 1为n = 1:15 y = z ^ y;disp (y)结束snapnow

z = 1.500000000000000 y = 1 1.500000000000000 1.837117307087384 2.106203352148880 2.349005318611934 2.592025704907509 2.860441497460648 3.189324761899238 3.644283987904574 4.382546732246116 5.911914873330858 10.990982932689437 86.181891743310985 1.499263005586202 e + 15正正无穷

这对z = 1.25美元是收敛的,但不是为z = 1.5美元。重要的事情是发生在1.25美元和1.5美元之间。

√6 (2)

让我们尝试z =美元\ sqrt {2} $

格式长z =√6 (2) y = 1为n = 1:30 y = z ^ y;disp (y)结束

z = 1.414213562373095 y = 1 1.414213562373095 1.632526919438153 1.760839555880029 1.840910869291011 1.892712696828511 1.926999701847101 1.950034773805818 1.965664886517319 1.976341754409703 1.983668399303822 1.988711773413954 1.992190882947058 1.994594450712102 1.996256666265859 1.997407001141337 1.998203477508703 1.998755133084593 1.999137310119392 1.999402118324998 1.999585622935682 1.999712796329641 1.999800935492971 1.999862023757784 1.999904364443337 1.999933711582101 1.999954052897822 1.999968152149245 1.999977924873871 1.999984698747096 1.999989394007813

收敛于y = 2美元,因为这是一个固定的点。

$ $ \√{2})^ 2 = 2 $ $

所以关键是1.4美元和1.5美元之间。

最高的塔

我记得有趣当我第一次了解到的最大可能值z是一个美元价值只是有点大于$ \ sqrt {2} $。这是惊人的数量

$ $ \酒吧{\ mbox {e}} = \ mbox {e} ^ {1 / \ mbox {e}} $ $

ebar = exp (1) ^ exp (1)

ebar = 1.444667861009766

这个作品,因为美元\酒吧{\ mbox {e}} $是另一个定点。

$ $ \酒吧{\ mbox {e}} ^ {\ mbox {e}} = (\ mbox {e} ^ {1 / {\ mbox {e}}}) ^ {\ mbox {e}} = \ mbox {e} $ $

让我们看看为什么美元\酒吧{\ mbox {e}}的最大可能值z美元美元。

分析

WS分析算法提供的中值定理。

$ $ f(最大)= f (y_ {n}) + f (\ xi_n) (y_n-y_ {n}) $ $

对于一些\ xi_n推出美元至美元美元y_ {n} $。

在我们的例子中,$ f ' (z) = \ ln {z} \ z ^ y,美元

$ $ y_ {n + 1} =最大+ (\ ln {z}) (z ^ {\ xi_n}) (y_n-y_ {n}) $ $

这告诉我们,

$ $ | y_ {n + 1}推出le C | | \ y_n-y_ {n} | $ $

的数量

$ $ C = \ mbox{马克斯}| \ ln {z} | | z ^ y | $ $

最大的接管了y和z美元年代美元地区包括迭代。如果C小于1美元,迭代靠拢在一起,所以迭代是一个收缩这是收敛的。

让我们做一个数值搜索通过美元的等高线图(\ ln {z}) (z ^ y)美元。使用绿色的区域C小于1美元,美元和红色和蓝色区域大于1。

[Z, Y] = ndgrid (. 01: .01:2.0 . 01: .01:4.0);R =日志(Z)。* Z ^ Y;contourf (Z, Y, R, [25:4: 1 1:20:21]);colormap([0 0炮;0。.25;1 0 0]);e = exp (1);线([ebar ebar], [e],“标记”,“。”,“markersize”,24岁,“颜色”,“黄色”甘氨胆酸)组(,“xtick”,(。011/e 1 e^(1/e) 2]) set(gca,“xticklabel”,{' 0 ',“1 / e”,' 1 ',“e ^ (1 / e)”,' 2 '})集(gca,“ytick”,(。0112e 4]) set(gca,“yticklabel”,{' 0 ',' 1 ',' 2 ',“e”,“4”})包含(“z”),ylabel (“y”)轴广场

稳定塔

如果我们保持在绿色区域,C小于1美元,WS迭代收敛,和塔是稳定的。包括所有值z美元的区间

$ $ 1 / \ mbox {e} \ le z \ le \ mbox {e} ^ {1 / \ mbox {e}} $ $

塔倒塌

我在初中遇到的关键值是黄点,z =美元\酒吧{\ mbox {e}} = \ mbox {e} ^ {1 / \ mbox {e}} $和$ y = \ mbox {e} $。当我们接近的点稳定的地区,美元f”(z)方法f '美元(\酒吧{\ mbox {e}}) = 1美元和WS算法收敛非常缓慢。

z =美元\栏的右边{\ mbox {e}} $,迭代遇到值y美元的红色危险区域C比1大,所以它迅速发散和塔迅速崩溃,我们看到在z = 1.5美元。

小z

值z不到1美元美元/ \ mbox {e} $,大约是0.37美元,更精致。我们可能会在蓝色区域,也可能不会。原来的值z大于$美元\ mbox {e} ^ {\ mbox {- e}} $,这大约是0.066美元,仍遇到值y美元更大的足以让迭代安全绿色地区,所以它是收敛的。

但是现在尝试z = 0.05美元几个迭代。

z = 0.05 y = 1为k = 1:20, y = z ^ y;disp (y),结束

z = y = 1 0.050000000000000 0.050000000000000 0.860891659331735 0.075849745545982 0.796741072475616 0.091921259400909 0.759290007184149 0.102834993569945 0.734866735033395 0.110641061786732 0.717881331845427 0.116416584607138 0.705567440560545 0.120791283462031 0.696381005849372 0.124161635028397 0.689385252311344 0.126791198828070 0.683975974940914 0.128862555680671 0.679744887323325

它看起来不像它想收敛。跑了300没有任何输出更多的迭代。

为k =施用,y = z ^ y;结束

现在看看我们是如何做的总共320次迭代之后。

为k = 1:10, y = z ^ y;disp (y),结束

0.137359395737956 0.662660838900549 0.137359395737956 0.662660838900549 0.137359395737956 0.662660838900549 0.137359395737956 0.662660838900549 0.137359395737956 0.662660838900549

它已经形成了一个模式,两个值之间来回摆动。这是一个简单的例子期翻倍分岔。

这是所有z不到美元美元的行为\ mbox {e} ^ {\ mbox {- e}} $。的值y遇到美元让我们在蓝色区域。不动点迭代收缩。它落定成一个稳定的二冲程。两个极限点之间的距离随z美元变小。

塔基于z美元的价值小于$ \ mbox {e} ^ {\ mbox {- e}} $将奇数楼层高度和一个甚至地板另一个编号。

进入兰伯特W

这是另一种方式看塔的力量。它涉及到兰伯特W函数我以前的博客。

$ $ y = z ^ y = \ mbox {e} ^ {y \ ln {z}} $ $

$ $ y \ mbox {e} ^ {- y \ ln {z}} = 1 $ $

$ $ - y \ ln {z} \ \ mbox {e} ^ {- y \ ln {z}} = - \ ln {z} $ $

$ $ - y \ ln {z} = W (- \ ln {z}) $ $

$ $ y = \压裂{W (- \ ln {z})} {- \ ln {z}} $ $

兰伯特W函数提供了一个无限塔的价值对于任何z美元的价值。我不知道我在初中的时候。

塔的功能

让我们试试这个配方的几个值z美元,包括一些小于$ \ mbox {e} ^ {\ mbox {- e}} $。

T = @ (z) Lambert_W(日志(z))。/(日志(z)) z =[1.25倍根号(2)ebar 1.5 e ^ (- e) 0.05 10 ^ (- (3:3:15))) ';disp (“z T (z)”)disp (T (z) [z])

T = @ (z) Lambert_W(日志(z))。/(日志(z)) z T (z) 1.250000000000000 1.352203513640681 1.414213562373095 2.000000000000000 1.444667861009766 2.718281787975775 1.500000000000000南0.065988035845313 0.367879441171442 0.050000000000000 0.350224852743194 0.001000000000000 0.219513151627722 0.000001000000000 0.141526856553182 0.000000001000000 0.107583717152717 0.000000000001000 0.087971500166559 0.000000000000001 0.074997053328098

情节

现在的阴谋。

ezplot (T) [0 ebar])轴([0 ebar 0 e])标题(“权力的塔”)

不稳定

y获得的美元价值的兰伯特W配方是一个固定的f (z)美元,但可能不稳定。如果我们有一个z美元的价值小于$ \ mbox {e} ^ {\ mbox {- e}} $,我们开始不动点算法在y的兰伯特W美元价值公式,它会呆在那里。但是如果我们从任何其他值y美元,迭代最终会找到一双分叉流动。

得到了MATLAB代码

发表与MATLAB®R2013b

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