当希尔伯特矩阵的非对称变体的许多奇异值几乎等于$\pi$时，我感到惊讶。解释涉及到方波的傅里叶级数。

内容

非对称希尔伯特矩阵

我在矩阵计算方面的第一个项目涉及到希尔伯特矩阵。它是由著名数学家大卫·希尔伯特在1894年提出的，就是我们今天所说的正则方程中的系数矩阵它是由具有单项基的多项式的最小二乘逼近。$n$ × - $n$希尔伯特矩阵的元素是

$$ a_{i,j} = \frac{1}{i+j-1}， \ \ i,j = 1，…n $ $

几年前我想要一个非对称测试矩阵，所以我把分母上的加号改成了负号，但是这些元素在对角线上膨胀了，所以我也把-1改成了+1/2。

$$ a_{i,j} = \frac{1}{i-j+1/2}， \ \ i,j = 1，…n $ $

我称之为非对称希尔伯特矩阵。这是5乘5的格式的老鼠．

格式老鼠N = 5;[I,J] = ndgrid(1:n);A = 1./(i-j +1/2)

A = 2 -2 -2/3 -2/3 -2/7 2/3 2 -2 -2/3 -2/5 2/5 2/3 2 -2/3 2/7 2/5 2/3 2 -2/ 9 2/7 2/5 2/3 2/3 2

奇异值

当我碰巧计算奇异值时，我很惊讶。这是所有30 × 30非对称希尔伯特矩阵的奇异值。

格式长N = 30;[I,J] = ndgrid(1:n);A = 1./(i-j +1/2);sigma = svd(A)

σ= 3.141592653589795 3.141592653589794 3.141592653589794 3.141592653589794 3.141592653589794 3.141592653589794 3.141592653589793 3.141592653589793 3.141592653589793 3.141592653589793 3.141592653589793 3.141592653589792 3.141592653589792 3.141592653589792 3.141592653589791 3.141592653589779 3.141592653589737 3.141592653588278 3.141592653559363 3.141592653039148 3.141592644613932 3.141592521935767 3.141590919627153 3.141572215205717 3.141378147613475 3.139604197477250 3.1255462894828843.032461817019588 2.564498174433655 1.105241141304968

令人难以置信的是，其中一半等于π长格式的长度，就是16位。除了最后几个，其他的都等于π至少有几个数字。这是怎么发生的?

高精度计算

让我们再做一次30x30的SVD，这次使用带有100位算术的Symbolic Toolbox。在我的机器上计算大约需要一分半钟。

Tic数字(100)n = 30;[I,J] = ndgrid(sym(1:n));A = 1./(i-j +1/2);sigma = svd(A);toc

运行时间为83.939032秒。

这是第一个奇异值，100位。

sigma1 = sigma(1)

Sigma1 = 3.141592653589793238462643383279502884197169352107009745551549597527462440105298598090594765999823398

这里是奇异值与$\pi$之间差值的对数图。

符号学(abs(pi - sigma)，“。”)包含(“n”) ylabel ('|\pi - \sigma|'）;

第一个奇异值等于$\pi$到44位，正如我们的双精度计算所预测的那样，30个奇异值中有15个等于$\pi$到至少15位。

西摩合作者

西摩·帕特是斯坦福大学的客座教授，那时我还是斯坦福大学的研究生。我在他的指导下参加了个人阅读课程。他从斯坦福大学来到威斯康星大学，在那里他作为数学和计算机科学教授度过了他的职业生涯。他在1981年和1982年担任SIAM主席。

1985年，第二届SIAM线性代数会议在北卡罗来纳州罗利市的州立大学举行。我在休息时间演示了MATLAB。我们没有摊位，只有一张桌子。我在演示中使用了这个例子，并询问与会者是否可以解释$\pi$的出现。西摩说他可以。他在二十年前写了两篇有关托普利兹矩阵特征值的论文。他很快又发表了另一篇论文，下面引用了这篇论文，解释了我的非对称希尔伯特矩阵奇异值的行为。这与1920年匈牙利著名数学家Gabor Szego的一个结果有关。

托普利兹矩阵

矩阵A在对角线上是常数，所以它是一个Toeplitz矩阵。由$A$由MATLAB数组运算构造的$2n$ by- $2n$矩阵$B$也是如此

Z = 0(大小(A));B = -i*[Z A;——“0);

矩阵B同时是厄米矩阵和托普利兹矩阵。它的特征值是实数，以正负成对出现。$B$的特征值的绝对值是$A$的奇异值，每个重复两次。

Szego的1920定理说Toeplitz矩阵的特征值由函数的傅里叶展开中的系数形成收敛于该函数的最大值和最小值。

帕特意识到两个重要的事实。首先，他可以分析非对称矩阵A的奇异值通过观察厄米矩阵B的特征值。第二，$A$和$B$的元素是奇数的倒数，它们是方波的傅里叶展开的系数。所以Szego的1920定理意味着B的最大特征值和A的最大奇异值收敛于方波的最大值。

方波

在一个旧的MATLAB演示中已经有了一些提示xfourier．第一行xfourier说

这个例子展示了方波的傅立叶级数展开式是如何由奇次谐波的和组成的。

的核心xfourier是类似于此的代码片段。

T = -pi:pi/256:pi;Y = 0(大小(t));为K = 1:2:99 y = y + sin(K *t)/ K;结束情节(t, y)

这个情节说明了两件事。首先，你会注意到间隔末端的超调现象，即吉布斯现象。但这里更重要的是在区间内收敛到±0.8附近的值。

让我们用更多的术语来仔细看看。

T = -pi:pi/256:pi;Y = 0(大小(t));为K = 1:2:599 y = y + sin(K *t)/ K;结束图(t,y)轴([0 PI .76 .81])

我们发现和是收敛点附近的值0.7854。片段代码近似于傅里叶正弦展开

$$ s(t) = \sum_{odd\ k}\frac{\sin{kt}}{k} $$

系数是奇数的倒数，它与非对称希尔伯特矩阵的元素相同。

傅里叶级数逐点收敛于$\pm\pi/4$。如果我们通过Parter的分析和Szego的定理来追溯这个事实，我们就可以解释非对称Hilbert矩阵的最大奇异值收敛到$\pi$。

E. E. Tyrtyshnikov

Evgenij E. Tyrtyshnikov是位于莫斯科的俄罗斯科学院数值数学研究所的教授和副所长。1991年，他研究了这个矩阵的小奇异值的行为。1992年，他考虑了1/2被任何非整数值取代的矩阵。

参考文献

关于Toeplitz矩阵奇异值的分布，线性代数及其应用80, 1986, 115-130，< http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0024379586902806>

Evgenij E. Tyrtyshnikov, Cauchy-Toeplitz矩阵及其应用，线性代数及其应用149, 1991,1 -18，< http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/002437959190321M>

柯西-托普利茨矩阵的奇异值，线性代数及其应用161,1992,99 -116，< http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/002437959290007W>

获取MATLAB代码

发布与MATLAB®R2014a

发布与MATLAB®R2014a