这是一个在会议上的总结我的演讲庆祝纪念詹姆斯·h·威尔金森的诞生曼彻斯特大学的,5月29日。

吉姆·威尔金森知道严重条件简单的矩阵特征值必须与多个接近一个矩阵特征值。你怎么能找到最近的矩阵特征值的一些发现配偶在哪里?

这个演讲是我的解释2011年的论文Rafikul Alam Shreemayee Bora,拉尔夫•拜尔和迈克尔Overton”特征和建筑最近的缺陷矩阵通过聚结pseudospectral组件,”线性代数及其应用卷,435年,页494 - 513。Overton附带的代码neardefmat超过1000的MATLAB®提供吗他的网页。

内容

3 x3的例子

在上周的博客文章,“一个特征值灵敏度的例子”复活,我这个例子从1980用户指南。一会儿,让我们忘记它是如何构建和开始

= (-64 82 21;144 -178 -46;-771 962 248)

21 = -64 82 144 -178 -46 -771 962 248

计算特征值是

格式长λ= eig (A)

λ= 3.000000000003868 0.999999999998212 1.999999999997978

的特征值都是1、2和3。我们已经失去了对四个人物。这是预测的数字特征值条件,

格式短kappa = condeig (A)

k = 833.1092 450.7228 383.7564

这些条件的数字来自正确的特征向量矩阵

[X, ~] = eig (A)

X = 0.0891 0.0735 -0.1089 -0.1782 -0.1923 0.1634 0.9800 0.9786 -0.9805

和左特征向量矩阵

Y =发票(X)

Y = -521.9612 628.5984 162.7621 265.1820 -353.5760 -88.3940 -257.0058 275.3634 73.4302

的行Y是左特征向量。他们是规范化,以便与右特征向量的点积是其中之一。

Y * X

ans = 1.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000

一个函数中引入2017 b,计算矩阵的列的2-norm方便。

kappa = (vecnorm (Y”)。* vecnorm (X))”

k = 833.1092 450.7228 383.7564

EigTool是开放的MATLAB软件分析特征值,pseudospectra和相关矩阵的谱特性。这是由托马斯·赖特1999年至2002年在牛津大学开发的指导下尼克Trefethen。现在由马克相关的维护。

这是我们的示例矩阵的pseudospectrum。

eigtool (A)

你可以看到三个特征值1、2和3。轮廓大纲的地区特征值矩阵摄动时可以移动指定的数量。

gif动画调整区域特征值在2和3到2.4附近的区域合并在一个鞍点。

更准确地说,他们合并,我们使用函数neardefmat,最近的有缺陷的矩阵,由迈克尔•Overton纽约大学教授。的输出neardefmat是B最近的有缺陷的矩阵,z,得到的特征值的两倍。默认情况下neardefmat打印一些有用的关于计算的细节。

格式长[B, z] = neardefmat (A)

neardefmat:下界距离是0.000299834,上限是0.00618718 neardefmat:结束,鞍发现最低是2.41449 + 0我dist = 0.000375171,μ= 0,| u ' v * | = 3.67335 e-06奇异向量残余e-13规范是1.8334,5.17298 e-14这个鞍点被发现在搜索# 3距离最近的缺陷矩阵B发现0.000375171 neardefmat:两个最亲密的B的计算特征值相差0.00269716和条件的这些特征值是272230,272669 B = 1.0 e + 2 * -0.639999774916363 0.819999582124016 0.210002343527353 1.439999736641696 -1.779999511065701 -0.460002742035793 -7.710000068576393 9.620000127314574 2.479999285995845 2.414492300748820 z =

B是由z圣言、等级的一个扰动一个。

我眼睛= (3);[U, V] =圣言(A - z *我);格式短σ= S (3、3) u = u (:, 3) v = v(:, 3)格式长B = u -σ* * v '

σ= 3.7517 e-04 u = v -0.6373 0.7457 0.1942 = 0.0941 -0.1748 0.9801 B = 1.0 e + 2 * -0.639999774916363 0.819999582124016 0.210002343527353 1.439999736641696 -1.779999511065701 -0.460002742035793 -7.710000068576393 9.620000127314574 2.479999285995845

这就是我用来构造相同的扰动一个在上周的博客文章。扰动的大小

σ= S(3、3)σ=规范(B - A)

σ= 3.751705175569800 e-04σ= 3.751705175556183 e-04

通过建设,B特征值的两倍,但特征值的条件是无限的,所以它不计算准确。

eig (B)

ans = 2.417189453582737 2.414492295643361 1.168318252152021

弗兰克(9)

威尔金森矩阵的弗兰克的家庭很感兴趣。当然,我们能找到他们画廊。

帮助私人/弗兰克

弗兰克·弗兰克矩阵。F =画廊(“弗兰克”,N, K)是秩序的弗兰克矩阵N与行列式上层Hessenberg 1。如果K = 1,元素反映关于反对角(1,N) - (N, 1)。F的特征值可以获得埃尔米特多项式的0。他们是积极的,发生在互惠双;因此如果N是奇数,1是一个特征值。F层(N / 2)坏心肠的特征值——较小的。

9 x9弗兰克矩阵在页面上很合适。

F =画廊(“弗兰克”,9)

F = 9 8 7 6 5 4 3 2 1 8 8 7 6 5 4 3 2 1 0 7 7 6 5 4 3 2 1 0 0 6 6 5 4 3 2 1 0 0 0 5 5 4 3 2 1 0 0 0 0 4 4 3 2 1 0 0 0 0 0 3 3 2 1 0 0 0 0 0 0 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1

矩阵显然是对称的。因为它几乎是上三角你可能认为附近的特征值都是对角线的元素,但他们不是。在这里,排序。

格式长(λp) =排序(eig (F));λ

λ= 0.044802721845067 0.082015890201792 0.162582729486328 0.374121140912600 0.999999999999966 2.672931012564413 6.150714797051293 12.192759202150013 22.320072505788492

这是数字对应的条件。

格式短ekappa = condeig (F);= kappa (p)

k = 1.4762 e + 04 2.5134 e + 04 1.1907 e + 04 1.5996 6.8615 e + e + 03 01 3.6210 1.5268 e + e + 00 00 2.3903 e + e + 00 00 1.9916

三个最小的数字特征值有最大的条件。我们预计最近的有缺陷的矩阵将他们两个在一起。

Eigtool弗兰克的矩阵。

eigtool (F)

关注三个最小的特征值。红色线显示了包含两个区域合并。

找到最近的有缺陷的矩阵。

格式长[B, z] = neardefmat (F);

neardefmat:距离是3.4791 e-07下界和上界是8.76938 e-05 neardefmat:结束,鞍发现最低是0.06104 + 0我和dist = 5.01214 e-07,μ= 0,| u ' v * | = 6.09133平台以及奇异向量残余规范e15汽油是3.6435,6.12511 e-16这个鞍点被发现在搜索# 1距离最近的缺陷矩阵B发现5.01214 e-07 neardefmat:两个最亲密的B的计算特征值相差1.7808 e-06数量和条件的这些特征值3.62946 e + 08年3.62937 e + 08年

合并两个最小的特征值,但他们过于敏感。

排序(eig (B))

ans = 0.061039353359070 0.061041134158948 0.168054858422710 0.373370423277969 1.000016557229929 2.672931171283966 6.150714794349185 12.192759202129578 22.320072505788680

如果我们不太严格的公差,特征向量矩阵X是等级不足,暗示矩阵B是有缺陷的。

[X, ~] = eig (B);等级(1. X, e-8)

ans = 8

我们可以得到的微扰的照片显示亮度图像函数。首先,矩阵本身。你可以看到它的上层Hessenberg(近上三角)结构。

显示亮度图像(F)

现在,微扰的图片显示,这是集中在右上角。

显示亮度图像(F-B)

威尔金森(9)

对称矩阵的扰动使其特征值合并?一个很好的例子是由威尔金森自己提供。

帮助威尔金森W =威尔金森(9)

威尔金森威尔金森的测试矩阵特征值。W =威尔金森(n)是j·h·威尔金森的测试矩阵特征值,Wn +。它是对称的,与对近三对角矩阵,但不完全是,平等的特征值。最常用的是威尔金森(21)。W =威尔金森(n,类名)返回一个矩阵的类名称,也可以是“单”或“双”(默认)。例子:威尔金森(7)是3 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 1 3参考页面文档中心医生威尔金森W = 4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0 1 4

W是对称的和三对角的非对角的。为了这样的多个特征值矩阵必须有一对零子任务和super-diagonal某处。但这个矩阵没有任何小的非对角元素。然而,最大的两个特征值非常接近对方。

λ= eig (W)

λ= -1.125422415673319 0.254718759825861 0.952584219075215 1.822717080887109 2.178284739549981 3.177282919112892 3.247396472578982 4.745281240174140 4.747156984469142

由于矩阵是对称的,左和右特征向量正交和转置。所有的特征值都是完美的条件。我们应该寻找合并特征值在哪里?

kappa = condeig (W)

k = 1.000000000000000 1.000000000000000 1.000000000000000 1.000000000000000 1.000000000000000 1.000000000000000 1.000000000000000 1.000000000000000 1.000000000000000

Eigtool威尔金森(9)。只有七圈9 x9矩阵,右边的两个圆都包含两个特征值。

eigtool (W)

让我们放大的方式在最右边的圆。

-3.04轮廓几乎只是接吻。这是一种不同的鞍点——一个非光滑。你必须学习阿拉姆等纸看到为什么这是如此的重要。

让我们看看neardefmat威尔金森说的矩阵。

[B, z] = neardefmat (W);

neardefmat:一个是正常的公差内距离最近的缺陷矩阵B 0.000937872 neardefmat:两个最亲密的B的计算特征值相差2.01677 e-09数量和条件的这些特征值是465036,465036

果然,W是对称的,因此正常。一个相当不同的算法是必需的。

摄动特征值小的虚部。

eig (B)

答我0.254718759825861 + 0.000000000000000 = -1.125422415673318 + 0.000000000000000 0.952584219075214 1.822717080887109 + 0.000000000000000 + 0.000000000000000我2.178284739549983 + 0.000000000000000我3.177282919112890 + 0.000000000000000 3.247396472578982 + 0.000000000000000 4.746219112321641 4.746219112321641 - 0.000000001008386 + 0.000000001008386我

最后,下面是对称的图像,三对角矩阵W和非对称扰动W-B一起带来的两个特征值。

得到了MATLAB代码

发表与MATLAB®R2018b