在一个未公开发表的1972年技术报告“保护融合会抑制病态,”创造了Velvel卡亨描述性术语贬义的廖。如果你不使用它在日常交谈中,贬义的意思是“表达轻蔑或反对”。

Velvel的报告问题多项式与多个根,这通常被认为与蔑视,因为他们是如此严重的条件。但Velvel观测的关键是,尽管多个根任意扰动很敏感,他们对perburbations保持多样性。同样的观察可以应用于矩阵逆特征值。

内容

管汇的

在这个例子中,贬义的管汇美元\ mathcal {M} $是所有第六度多项式的多样性三个零在x = 3。这些都是严重的限制,当然,和$ \ mathcal {M}美元是一个小的子集组所有多项式。但是如果我们留在美元\ mathcal {M} $,生活不是那么严厉。

两个多项式

第一对多项式与多个根。我们所有的多项式的根multplicity三x = 3以及其他多个根。这一个二重根x = 1和一个简单的根x = 2。

x =符号(“x”);p1 = (- 3) ^ 3 * (x - 2) * (x - 1) ^ 2;

左(x - 1 $ $ p1 ={\ \右)}^ 2 \ \左(x - 2 \) \{\左(- 3 \右)}^ 3 $ $

下一个具有二重根x = 2和一个简单的根在x = 1。

p2 = (- 3) ^ 3 * (x - 2) ^ 2 * (x - 1);

$ $ p2 =左(x - 1 \) \ \{\左(x - 2 \右)}^ 2 \{\左(- 3 \右)}^ 3 $ $

总而言之,我们有两个多项式,p1和p2。都有学位六,三根x = 3。此外,pk有两根x =k。

确认

让我们看看系数。

p1 =扩大(p1);

$ $ p1 = x ^ 6-13 \, x ^ 5 + 68 \, x ^ 4 - 182 \, x ^ 3 + 261 \, x ^ 2 - 189 \ x + 54 $ $

p2 =扩大(p2);

$ $ p2 = x ^ 6日至14日\,x ^ 5 + 80 \, x ^ 4 - 238 \, x ^ 3 + 387 \, x ^ 2 - 324 \ x + 108美元美元

我们完全可以解决这些问题,并验证他们所需的根源。

z1 =解决(p1) ' z2 =解决(p2) '

z1 = [1, 1, 2, 3, 3, 3] z2 = [1、2、2、3、3、3]

凸组合

现在让我们来一个凸线性组合。我用1/3和2/3,但是我可以用其他任何重量,只要它们的和是1。任何此类凸线性组合仍在美元\ mathcal {M} $。

p3 = * p1 + 2/3 * p2 1/3;

$ $ p3 = x ^ 6 - \压裂{41 \,x ^ 5} {3} + 76 \, x ^ 4 - \压裂{658 \,x ^ 3} {3} + 345 \, x ^ 2 - 279 \ x + 90 $ $

这仍有三根x = 3。根x = 1, x = 2现在简单和根x = 5/3是1和2的凸线性组合系数相同,5/3 = 1/3 * 1 + 2/3 * 2。

z =解决(p3) '

5/3 z = [1, 2, 3, 3, 3]

看情节的三个多项式,可以意识到三根在3比蓝色更敏感的二重根在1或绿色二重根2,反过来,更敏感,任何简单的根源。

plot_polys (p1, p2, p3)

浮点阴霾

现在一个小perburbation。带一个凸线性组合一种非理性的重量和使用vpa,变量精度浮点运算。我们处在一个浮点霾与厚度10美元^{-32}围绕美元\ mathcal {M} $。

数字(32)w = 2 / (1 +√(vpa (5))) q = w * p1 + (1 w) * p2;z = w * (1 + (1 w) * 2

w = 0.61803398874989484820458683436564 z = 1.3819660112501051517954131656344

这是系数。

disp(多项式系数(q)”)

74.626164607505678196952310944256 -240.56541151876419549238077736064 309.12771741751324912622205886993 -203.39009663000588850054313727552 72.583592135001261821544957987612 -13.381966011250105151795413165634 1.0

找到根源。

z =解决(q)

z = 1.0000000000000000000000000000003 1.3819660112501051517954131656331 - 2.0000000000000000000000000000026 3.0000000000990590107064189257617 - 2.9999999999504704946467905371184 2.9999999999504704946467905371184 - 0.000000000085787619734391393745538952850968 + 0.000000000085787619734391393745538952850968我

简单的根幸存下来完全准确性。但是三根x = 3分裂的扰动为三个复数在x = 3为中心的圆半径大致立方根的工作精度。

圆(双(z (4:6) 3))

精密的立方根是从哪里来的?我们正在努力解决方程

$ ${\左(- 3 \右)}^ 3 \ \σ(x) = 0 $ $

在\σ(x)不为零美元附近$ x = 3美元。用浮点运算精度\ε美元,我们不是解决类似

$ ${\左(- 3 \右)}^ 3 \ \σ(x) = \ε$ $

解决方案是

左($ $ x = 3 + \ \压裂{\ε}{\σ(x)} \右)^ {1/3}$ $

的立方根在三个不同的复杂的值。

双精度

让我们离开这个符号工具箱。在我们的凸组合系数转换为双精度和使用传统的MATLAB函数根。

q = fliplr(双(多项式系数(p3))) ';disp (“q = ')流(“% 25.15 f \ n”,q)格式长z =根(q)

q = 1.000000000000000 -13.666666666666666 76.000000000000000 -219.333333333333343 345.000000000000000 -279.000000000000000 90.000000000000000 z = 3.000044739105571 + 0.000077484446947我3.000044739105571 - 0.000077484446947 2.999910521787618 1.666666666665676 2.000000000002179 + 0.000000000000000 + 0.000000000000000我我1.000000000000047 + 0.000000000000000 + 0.000000000000000

这是与32-digit相同的行为vpa。简单的根x = 1 5/3和2几乎完整的双精度计算的准确性,而三根精度约eps ^ (1/3),这是大约五位数。

圆(z (1:3) 3)

合资公司的廖

减去少量常数项的多项式。这个动作我们摆脱美元\ mathcal {M} $。

p = p1 -信谊(1.)的军医

p = x ^ 6 - 13 * x ^ 5 + 68 * x ^ 4 - 182 * x ^ 3 + 261 * x ^ 2 - 189 * x + 539999/10000

我们可以试着找到根到底,但是修改后的多项式不理性的因素。

解决(p)

ans =根(z z ^ ^ 6 - 13 * 5 + 68 * z z ^ ^ 4 - 182 * 3 + 261 * z ^ 2 - 189 * z + 539999/10000, z, 1)根(z z ^ ^ 6 - 13 * 5 + 68 * z z ^ ^ 4 - 182 * 3 + 261 * z ^ 2 - 189 * z + 539999/10000, z, 2)根(z z ^ ^ 6 - 13 * 5 + 68 * z z ^ ^ 4 - 182 * 3 + 261 * z ^ 2 - 189 * z + 539999/10000, z, 3)根(z z ^ ^ 6 - 13 * 5 + 68 * z z ^ ^ 4 - 182 * 3 + 261 * z ^ 2 - 189 * z + 539999/10000, z, 4)根(z z ^ ^ 6 - 13 * 5 + 68 * z z ^ ^ 4 - 182 * 3 + 261 * z ^ 2 - 189 * z + 539999/10000, z, 5)根(z z ^ ^ 6 - 13 * 5 + 68 * z z ^ ^ 4 - 182 * 3 + 261 * z ^ 2 - 189 * z + 539999/10000, z, 6)

所以找到根数值vpa。这一次所有的根,即使是简单的,都会受到影响。

数字(20)z = vpa(解决(p))

z = 0.99647996935769229447 1.0035512830254182854 1.9999000099960012995 3.0286919986579391324 2.9856883694814744941 - 0.025815296081878984073 2.9856883694814744941 + 0.025815296081878984073我

我们建造p1二重根x = 1,一个简单的根在x = 2,三根x = 3。他们的perburbation multiplicty决定了影响他们。

e = abs(双(z - z1 '))

e = 0.003520030642308 0.003551283025418 0.000099990003999 0.029516982906352 0.029516982906352 - 0.028691998657939

未完待续

我使这两部分。的在下一篇文章是关于矩阵特征值。

关闭

引用

中港曾庆红,多项式的故事,演示文稿。< http://homepages.neiu.edu/ ~ zzeng / neiu.ppt>,2003。

w·卡亨保护融合限制病态。计算机科学技术报告6日,加州大学伯克利分校,1972年。

得到了MATLAB代码

发表与MATLAB®R2019b

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