The answer:一种\A是一种lways一世，除非不是。

内容

Why A\A ?<一种n一种me="ae338b95-f89b-4634-bbe2-add19f0fa92f">

我已经解释了我们的Backslash操作员已有近50年了，但是我不得不承认，今天的博客文章的标题看起来有些奇怪。你永远不会看到3\3为了numbers. So, what is一种\A？

一种\A求解方程

| a*x = a |

如果一种是square and nonsingular, thenX=一世。But what if一种是rectangular, or singular, or not known exactly? These are all nontrivial questions.

This post is my response to a recent internal discussion at MathWorks about backslash generating NaNs.

单元素矩阵<一种n一种me="44882ad7-ebee-4871-946c-baab21cc1e31">

任何关于矩阵的通用声明应该应用licable to 1-by-1 matrices in particular. For 1-by-1 matrices, there is an easy answer to our question.

My colleague Pete Stewart likes to use "mono-elemental" for this important class of matrices.

Nonsingular matrices<一种n一种me="d6de032f-e1da-47b9-8f08-4bf7acd2eeaa">

当1 by-1的情况概括为较大n的n-n，它变成：

This is not the end of the story, of course. It's our job to investigate approximately nonsingular and approximately equals.

再次单元素<一种n一种me="0152d18e-8c8d-4aa0-802c-1fe3807f3033">

当我的女儿五年级时，她的数学老师告诉她，数学家还没有发现如何除以零。但是IEEE 754浮点算术标准的作者已经弄清楚了，并向我们保证了0\0是not equal to1，，，，but rather

一种nd, for a diagonal matrix of any order, this scalar case is applicable to each diagonal element.

等级缺陷矩阵<一种n一种me="38c52489-7db2-4ba0-ad0c-156111d7643f">

如果一种是一种r一种nk deficient矩阵与等级r<n， 然后一种\Acannot possibly be一世。The rank of the product of two matrices cannot be larger than rank of either matrix. So一种\A无法胜任一种本身和

碰巧的是，最近的一期暹罗评论包括有关我的同事吉尔·斯特朗（Gil Strang）和我本人的关于矩阵等级“ lu和cr消除”的论文。该论文可从<一种href="https://epubs.siam.org/doi/epdf/10.1137/20M1358694">暹罗网站或吉尔<一种href="https://math.mit.edu/~gs/linearalgebra/lucr.pdf">麻省理工学院网站。另一个指针是<一种href="//www.tatmou.com/blogs/cleve/2020/10/23/">Cleve's Corner。

Lots of NaNs<一种n一种me="2e31bb2c-7c65-45ae-8d75-a1fecebbf576">

这是三个例子一种\A生成南。

一种=0B = [1 0; 0 0] C = [1 2; 4 8] X = A\A Y = B\B Z = C\C

a = 0 b = 1 0 0 0 c = 1 2 4 8 x = nan y = 1 0 nan nan z = nan nan nan nan nan nan

魔法正方形<一种n一种me="c49fe7ce-b9fb-45da-8af6-e6842166dd89">

我一直喜欢通过检查魔法正方形来调查矩阵的任何属性。

small_fig warning离开nmax = 50; r = zeros(nmax,1); e = zeros(nmax,1);为了n = 1：nmax a =魔术（n）;x = a \ a;i =眼（n）;r（n）=等级（a）;e（n）= norm（x-i）;结尾

奇怪的<一种n一种me="09b5c1de-53f5-47ed-b21b-270fe66f6aea">

MATLAB uses three different algorithms for computing magic squares, odd, singly even and doubly even. If the ordern很奇怪，那a =魔术（n）是非语言的一种是n和the elements of the computed一种\A一种re within roundoff error of the elements of一世。请注意，错误图的比例因子为3.0E-15。

n=3:2:nmax; plots(n,r,60,e,[],“奇怪的”）

偶数<一种n一种me="fee1eea4-2f6d-4eac-aad6-c4941db49733">

如果the ordern可以分开2，但不是4， 然后魔术（n）是r一种nk deficient. Its rank is about half its order. The error plot reflects the fact that一种\A是not一世。

n=2:4:nmax; plots(n,r,60,e,200,"Singly even"）

偶尔<一种n一种me="91e4c282-d92b-4198-9b30-0120fb80694a">

如果the ordern可以分开4， 然后魔术（n）排名不足。等级总是3。错误图无处不在。订单8和40have errors that are larger than my plot scale. Orders16和32完全因为计算而缺少一种\A相遇0\0导致南。

n=4:4:nmax; plots(n,r,12,e,750,“偶尔”）

伪为<一种n一种me="ba1706d3-0349-427a-bdec-9a4c6b6a59f9">

是pinv（a）*bmore "robust" than一种\b？

你不应该使用pinv只是为没有解决方案的问题创建解金宝搏官方网站决方案。伪源旨在表征特定技术问题的解决方案：如果线性方程系统具有许多解决方案，哪个是最短的解决方案？金宝搏官方网站如果您更换一种\b经过pinv（a）*b，确保这就是您想要的。

使用PINV代替后斜线不会消除排名不足。这些困难已经存在于单元素矩阵中。唯一缺陷1 by-1矩阵的等级是0和PINV（0）=0。这比您的脸部少于南，但是你没有办法PINV（0）*0等于1。

当我重做上面的示例时，我得到了

一种=0B = [1 0; 0 0] C = [1 2; 4 8] X = pinv(A)*A Y = pinv(B)*B Z = pinv(C)*C

一种=0B = 1 0 0 0 C = 1 2 4 8 X = 0 Y = 1 0 0 0 Z = 0.2000 0.4000 0.4000 0.8000

The NaNs are gone, but is this really "more robust" than backslash? If you still think so, explain wherez来自。

我的底线<一种n一种me="5d730b9c-864f-4f18-8aac-f7fb5c2cd06b">

这是大约是正方形的，密集的，非对称矩阵一种。For such matrices:

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