解决使用正方形线性系统bicg使用默认设置，然后调整解决方案流程中使用的容忍度和迭代次数。

创建一个随机稀疏矩阵一个密度为50％。还创建一个随机向量b右边的 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$．

RNG.违约5 = sprand (400400);=“*;b =兰德(400 1);

解决 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$使用bicg．输出显示包括相对剩余误差的值 $\frac{为\mathit{b}-\mathrm{斧头}为}{为\mathit{b}为}$．

x = bicg (A, b);

BICG停在迭代20而未收敛到所需的公差1E-06，因为达到迭代的最大数量。返回的迭代（数7）具有相对残留0.45。

默认情况下bicg使用20次迭代和一个公差1 e-6，并且该算法无法在此矩阵的20次迭代中收敛。由于残差仍然很大，这是一个很好的指标，表明需要更多的迭代（或预条件矩阵）。您还可以使用更大的容差，使算法更容易收敛。

用容差再次解系统1的军医和100次迭代。

x = bicg (A, b, 1 e - 4100);

Bicg在迭代100时停止，没有收敛到期望的公差0.0001，因为已经达到了最大的迭代次数。返回的迭代（数7）具有相对残留0.45。

即使有更宽松的公差和更多的迭代，残余误差也不会有太大的改善。当迭代算法以这种方式暂停时，很好地表明需要一个预条件矩阵。

计算的不完全Cholesky分解一个，并使用L'作为预处理输入的因子bicg．

L = ichol(一个);x = bicg (A, b, e - 4100 L ');

在第60次迭代时，Bicg收敛到一个相对残差为9.9e-05的解。

使用预条件子可以充分改善问题的数值性质，从而bicg能够收敛。

检查使用预条件矩阵的效果bicg求解线性系统。

加载west0479，一个实际的479×479非对称稀疏矩阵。

负载west0479一个= west0479;

定义b所以真正的解 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$是全部为一向量。

B =总和（A，2）;

设置容差和最大迭代次数。

托尔= 1 e-12;麦克斯特= 20;

用bicg在请求的容忍和迭代次数找到解决方案。指定五个输出以返回有关解决方案过程的信息：

[x, fl0 rr0, it0 rv0] = bicg (A, b,托尔,麦克斯特);fl0

fl0=1

rr0

rr0 = 1

it0

IT0 = 0

fl0是因为bicg不收敛到所需容限1 e-12中所要求的20次迭代。事实上，行为bicg这么差的初始猜测x0=零（尺寸（A，2），1）是最好的解决方案并被返回，如所示IT0 = 0．

与收敛速度慢的帮助，你可以指定一个预条件矩阵。自从一个非对称,使用ilu生成预处理器 $\mathit{米}＝\mathit{l}\mathit{U}$．指定一个drop tolerance以忽略值小于的非对角线项1 e-6．解预处理系统 ${\mathit{米}}^{-1}\mathit{一个}\mathit{x}＝{\mathit{米}}^{-1}\mathit{b}$通过指定l和U作为输入来bicg．

设置=结构('类型'，“ilutp”，'droptol'，1e-6）[五十、 U]=ilu（A，设置）[x1，fl1，rr1，it1，rv1]=bicg（A，b，tol，maxit，L，U）；fl1

FL1 = 0

rr1

RR1 = 4.1374E-14

it1

IT1 = 6

使用ilu预处理器产生一个相对残余小于规定公差1 e-12在第六次迭代。输出rv1 (1)是标准（b），以及输出rv1(结束)是范数（b-A*x1）．

你可以跟着进度bicg通过绘制每个迭代的相对残差。用指定的公差线绘制每个溶液的残留历史图。

semilogy(0:长度(rv0) 1, rv0 /规范(b),“o”） 抓住在符号学（0：长度（rv1）-1，rv1/范数（b），“o”) yline(托尔,“r——”）;传奇(“没有预调节器”，ILU预处理的，“宽容”，“位置”，'东'）xlabel（的迭代次数）ylabel（的相对剩余的)

检查供应的影响bicg带着对解决方案的初步猜测。

创建一个三对角稀疏矩阵。用每一行的和作为右边的向量 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$因此，对于期望的解决方案 $\mathit{x}$是一个1的向量。

N = 900;E =酮（N，1）;A = spdiags（[E 2 * E E]， -  1：1，N，N）;B =总和（A，2）;

用bicg来解决 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$两次:一次是默认的初始猜测，另一次是正确的初始猜测。对这两种解决方案使用200次迭代和默认容忍。金宝搏官方网站指定第二个解中的初始猜想为一个所有元素都等于的向量0.99．

麦克斯特= 200;x1 = bicg (A, b,[],麦克斯特);

在第35次迭代时，Bicg收敛到一个相对残差为9.5e-07的解。

x0=0.99*e；x2=bicg（A，b，[]，maxit，[]，[]，x0）；

在第7次迭代时，Bicg收敛到一个相对残差为8.7e-07的解。

在这种情况下供给的初始猜测使bicg加快收敛速度。

x0 =零（尺寸（a，2），1）;tol = 1e-8;maxit = 100;为k=1:4[x，flag，relres]=bicg（A，b，tol，maxit，[]，[]和x0）；X（：，k）=X；R（k）=relres；x0=x；结束

通过提供bicg具有计算斧头和‘* x代替系数矩阵一个．

创建一个非对称的三对角矩阵。预览矩阵。

一个=画廊('威尔克'，21）+diag（一（20,1），1）

一个=21日×2110 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 9 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 8 2 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0⋮

因为这个三对角矩阵有一个特殊的结构，所以可以表示操作斧头有一个函数句柄。什么时候一个乘一个向量，得到的向量中的大多数元素都是零。结果中的非零元素对应于的非零三对角元素一个．

表达方式 $\mathit{一个}\mathit{x}$就变成:

$\mathit{一个}\mathit{x}＝［\begin{array}{ccccccc}10& 2& 0& \cdots & & \cdots & 0\\ 1& 9& 2& 0& & & ⋮\\ 0& 1& \ddots & 2& 0& & \\ ⋮& 0& 1& 0& \ddots & \ddots & ⋮\\ & & 0& \ddots & 1& \ddots & 0\\ ⋮& & & \ddots & \ddots & \ddots & 2\\ 0& \cdots & & \cdots & 0& 1& 10\end{array}］［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21}\end{array}］＝［\begin{array}{c}{10\mathit{x}}_1+2{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+2{\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20}+2{\mathit{x}}_{21}\\ {\mathit{x}}_{20}+10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］$．

得到的向量可以写成三个向量的和:

$\mathit{一个}\mathit{x}＝［\begin{array}{c}{10\mathit{x}}_1+2{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+2{\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20}+2{\mathit{x}}_{21}\\ {\mathit{x}}_{20}+10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］$＝ $［\begin{array}{c}0\\ {\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20}\end{array}］+［\begin{array}{c}{10\mathit{x}}_1\\ {9\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ 9{\mathit{x}}_{20}\\ 10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］+2\cdot ［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21}\\ 0\end{array}］$．

同样，表示 ${\mathit{一个}}^{\mathit{T}}\mathit{x}$就变成:

${\mathit{一个}}^{\mathit{T}}\mathit{x}＝［\begin{array}{ccccccc}10& 1& 0& \cdots & & \cdots & 0\\ 2& 9& 1& 0& & & ⋮\\ 0& 2& \ddots & 1& 0& & \\ ⋮& 0& 2& 0& \ddots & \ddots & ⋮\\ & & 0& \ddots & 1& \ddots & 0\\ ⋮& & & \ddots & \ddots & \ddots & 1\\ 0& \cdots & & \cdots & 0& 2& 10\end{array}］［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21}\end{array}］＝［\begin{array}{c}{10\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {2\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {2\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20}+{\mathit{x}}_{21}\\ {2\mathit{x}}_{20}+10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］$．

${\mathit{一个}}^{\mathit{T}}\mathit{x}＝［\begin{array}{c}{10\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {2\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {2\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20}+{\mathit{x}}_{21}\\ {2\mathit{x}}_{20}+10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］＝2\cdot ［\begin{array}{c}0\\ {\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20}\end{array}］+［\begin{array}{c}{10\mathit{x}}_1\\ {9\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ 9{\mathit{x}}_{20}\\ 10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］+［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21}\\ 0\end{array}］$．

在MATLAB®中，编写一个函数，创建这些向量并将它们相加，给出斧头或者‘* x取决于标志输入：

功能y = afun（x，旗帜）如果STRCMP（旗，“不运输”)％计算A * XY = [0;X（1:20）]...+ ((10: 1:0) ';(1:10)”)。* x...+ 2 * (x(2:结束);0);埃尔塞夫STRCMP（旗，'transp')' * x %计算y=2*[0；x（1:20）]...+ ((10: 1:0) ';(1:10)”)。* x...+[x(2:完)；0];结束结束

（此功能被保存为在实施例的端部的局部的功能。）

现在，解线性系统 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$通过提供bicg使用计算的函数句柄斧头和‘* x．使用公差1 e-6和25个迭代。指定 $\mathit{b}$作为行的和 $\mathit{一个}$所以真正的解 $\mathit{x}$是一个1的向量。

b =全(sum (A, 2));托尔= 1 e-6;麦克斯特= 25;x1 = bicg (@afun, b,托尔,麦克斯特)

bicg在迭代19收敛到一个相对残差为4.8e-07的解。

x1 =21日×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 ⋮

功能y = afun（x，旗帜）如果STRCMP（旗，“不运输”)％计算A * XY = [0;X（1:20）]...+ ((10: 1:0) ';(1:10)”)。* x...+ 2 * (x(2:结束);0);埃尔塞夫STRCMP（旗，'transp')' * x %计算y=2*[0；x（1:20）]...+ ((10: 1:0) ';(1:10)”)。* x...+[x(2:完)；0];结束结束