解决方形线性系统使用研究生院理事会使用默认设置，然后调整解决方案流程中使用的容忍度和迭代次数。

创建一个随机稀疏矩阵一个密度为50％。还为右侧创建一个随机向量 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$．

RNG.默认a = sprand（600,600,.5）;a = a'* a + speye（大小（a））;b =兰特（600,1）;

解决 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$使用研究生院理事会．输出显示包括相对残差误差的值 $\frac{为\mathit{b}-\mathrm{斧头}为}{为\mathit{b}为}$．

x = cgs（a，b）;

CGS在迭代20时停止，没有收敛到期望的公差1e-06，因为已经达到了最大的迭代次数。迭代返回(编号20)的相对残差为0.068。

默认情况下研究生院理事会使用20个迭代和容忍度1E-6，并且该算法无法在此矩阵的那些迭代中收敛。由于剩余仍然很大，因此是一个良好的指标，即需要更多的迭代（或预处理器矩阵）。您还可以使用更大的容差来使算法更容易收敛。

用容差再次解系统1E-4和40次迭代。

研究生院理事会x = (A, b, 1的军医,40);

CGS在迭代40时停止，没有收敛到期望的公差0.0001，因为已经达到了最大的迭代次数。迭代返回(编号40)的相对剩余值为0.0024。

即使有更宽松的容忍度和更多的迭代研究生院理事会不收敛。当以这种方式迭代算法停止时，它是需要预处理器矩阵的良好指示。

计算的不完全Cholesky分解一个，并使用l作为预处理输入的因子研究生院理事会．

l = iChol（a）;X = CGS（A，B，1E-4,40，L）;

CGS在迭代14融合到具有相对残留的1.4E-05的溶液。

使用预处理器提高了问题的数值研究生院理事会能够融合。

检查使用预处理器矩阵的效果研究生院理事会解决线性系统。

加载West0479，真正的479-by-479非对称稀疏矩阵。

负载West0479.A = West0479;

定义b所以真正的解 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$是所有的矢量。

b = sum（a，2）;

设置容差和最大迭代次数。

托尔= 1 e-12;maxit = 20;

采用研究生院理事会在请求的容忍和迭代次数找到解决方案。指定五个输出以返回有关解决方案过程的信息：

[x，fl0，rr0，it0，rv0] = cgs（a，b，tol，maxit）;fl0

fl0 = 1

RR0.

Rr0 = 1

it0

IT0 = 0.

fl0是1因为研究生院理事会不收敛到所请求的公差1E-12在请求的20次迭代中。事实上，行为研究生院理事会最初的猜测是如此糟糕X0 =零（尺寸（a，2），1）是最好的解决方案并被返回，如所示IT0 = 0.．

为了帮助缓慢的收敛，您可以指定一个预处理器矩阵。自从一个非对称,使用ilu生成预处理器 $\mathit{米}＝\mathit{l}\mathit{U}$．指定删除公差，以忽略小于的值的非透明条目1E-6．解预处理系统 ${\mathit{一个}\mathit{米}}^{-1}\mathit{米}\mathit{x}＝\mathit{b}$通过指定l和U作为输入研究生院理事会．

setup = struct（'类型'，'ilutp'，'droptol'，1E-6）;[l，u] = ilu（a，设置）;[X1，FL1，RR1，IT1，RV1] = CGS（A，B，TOL，MAXIT，L，U）;FL1.

fl1 = 0.

RR1.

RR1 = 4.3850E-14

it1

IT1 = 3.

使用ilu预处理器产生比规定的耐受性更少1E-12在第三次迭代。输出RV1（1）是规范（b）和输出RV1（结束）是常态（b-a * x1）．

你可以跟着进度研究生院理事会通过绘制每个迭代的相对残差。用指定的公差线绘制每个溶液的残留历史图。

semilogy(0:长度(rv0) 1, rv0 /规范(b),“o”） 抓住在半径（0：长度（RV1）-1，RV1 / NORM（B），“o”) yline(托尔,'r--'）;传奇（“没有预调节器”，'ilu preconditcher'，'宽容'，'地点'，'东方'）xlabel（'迭代号'）ylabel（“相对残差”）

检查供应的效果研究生院理事会初步猜测解决方案。

创建一个Tridiacal稀疏矩阵。使用每行的总和作为右侧的向量 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$所以预期的解决方案 $\mathit{x}$是一个1的向量。

n = 900;e =那些（n，1）;a = spdiags（[e 2 * e e]， -  1：1，n，n）;b = sum（a，2）;

采用研究生院理事会来解决 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$两次:一次是默认的初始猜测，另一次是正确的初始猜测。对这两种解决方案使用200次迭代和默认容忍。金宝搏官方网站指定第二个解中的初始猜想为一个所有元素都等于的向量0.99．

maxit = 200;x1 = cgs（a，b，[]，maxit）;

CGS在迭代17处于具有相对残留的8.8E-07的溶液。

x0 = 0.99 * e;x2 =研究生院理事会(A, b,[],麦克斯特[],[],x0);

CGS在迭代4中融合到具有相对残留的8E-07的溶液。

在这种情况下，提供初始猜测研究生院理事会要更快地收敛。

x0 =零（尺寸（a，2），1）;tol = 1e-8;maxit = 100;为k = 1:4 [x,国旗,relres] =研究生院理事会(A, b,托尔,麦克斯特[],[],x0);X = X (:, k);R (k) = relres;x0 = x;结束

通过提供解决线性系统研究生院理事会使用计算的功能手柄斧头代替系数矩阵一个．

由威尔金森测试矩数之一产生画廊是一个21乘21的三对角矩阵。预览矩阵。

一个=画廊('威尔克'，21）

一个=21日×2110 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0⋮

威尔金森矩阵有一个特殊的结构，所以你可以表示这个操作斧头功能手柄。当一个乘以向量，得到的矢量中的大多数元素是零。结果中的非零元素对应于非零三角形元素一个．此外，只有主对角线具有不等于1的非安利斯。

表达方式 $\mathrm{斧头}$就变成:

$\mathrm{斧头}＝［\begin{array}{cccccccccc}10.& 1& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 0\\ 1& 9& 1& 0& & & & & & 0\\ 0& 1& 8& 1& 0& & & & & ⋮\\ ⋮& 0& 1& 7& 1& 0& & & & \\ & & 0& 1& 6& 1& 0& & & ⋮\\ ⋮& & & 0& 1& 5& 1& 0& & \\ & & & & 0& 1& 4& 1& 0& ⋮\\ ⋮& & & & & 0& 1& 3.& \ddots & 0\\ 0& & & & & & 0& \ddots & \ddots & 1\\ 0& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 1& 10.\end{array}］［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_4\\ {\mathit{x}}_5\\ ⋮\\ \\ ⋮\\ \\ {\mathit{x}}_{21.}\end{array}］＝［\begin{array}{c}10.{\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_2+8{\mathit{x}}_{3.}+{\mathit{x}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19.}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21.}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10.{\mathit{x}}_{21.}\end{array}］$．

得到的向量可以写成三个向量的和:

$\mathrm{斧头}＝［\begin{array}{c}0+10.{\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_2+8{\mathit{x}}_{3.}+{\mathit{x}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19.}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21.}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10.{\mathit{x}}_{21.}+0\end{array}］$＝ $［\begin{array}{c}0\\ {\mathit{x}}_1\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20.}\end{array}］+［\begin{array}{c}10.{\mathit{x}}_1\\ 9{\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ 10.{\mathit{x}}_{21.}\end{array}］+［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21.}\\ 0\end{array}］$．

在Matlab®中，写一个创建这些向量的函数并将它们添加在一起，从而提供值斧头：

功能y = afun（x）y = [0;x（1:20）] +......[（10：-1：0）';（1:10）']。* x +......[x（2:21）;0];结束

（此函数在示例结束时保存为本地功能。）

现在，解决线性系统 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$通过提供研究生院理事会使用函数处理来计算斧头．使用公差1E-12和50迭代。

1 b = 1(21日);托尔= 1 e-12;麦克斯特= 50;x1 =研究生院理事会(@afun, b,托尔,麦克斯特)

CGS在迭代11时收敛到一个相对残差为1.3e-14的解。

x1 =21日×10.0910 0.0990 0.0999 0.1109 0.1109 0.1241 0.1443 0.1544 0.2383 0.1309 0.5000⋮

检查一下afun (x1)生成一个矢量。

afun (x1)

ans =21日×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

功能y = afun（x）y = [0;x（1:20）] +......[（10：-1：0）';（1:10）']。* x +......[x（2:21）;0];结束