解决使用正方形线性系统PCG使用默认设置，然后调整在溶液方法中使用迭代的公差和数量。

创建一个随机稀疏矩阵一个用50％的密度。还创建矢量b排款项一个对于右手边 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$所以，真正的解决方案 $\mathit{X}$是那些的向量。

RNG默认A = sprand（400400，0.5）;A = A'* A;B =总和（A，2）;

解决 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$运用PCG。输出显示器包括相对剩余误差的值 $\frac{\Vert \mathrm{斧头}-\mathit{b}\Vert }{\Vert \mathit{b}\Vert }$。

X = PCG（A，B）;

PCG停在迭代20而未收敛到所需的公差1E-06，因为达到迭代的最大数量。返回的迭代（数20）具有相对残余3.6E-06。

默认PCG使用20次迭代和公差1E-6和算法无法收敛在那些20次迭代这个矩阵。但是，剩余的接近性，所以算法可能只是需要更多的迭代收敛。

解决再次用宽容的系统1E-7和150次迭代。

X = PCG（A，B，1E-7150）;

PCG会聚在迭代129与相对残余9.9E-08的溶液。

检查使用具有预条件矩阵的效果PCG求解线性系统。

创建对称正定的，带状系数矩阵。

A = delsq（numgrid（'S'，102））;

确定b为线性方程的右手侧。

B =酮（尺寸（A，1），1）;

设置宽容和最大迭代次数。

TOL = 1E-8;麦克斯特= 100;

用PCG发现在所要求的公差和迭代次数的解决方案。指定五个输出返回有关求解过程的信息：

[X0，FL0，RR0，IT0，RV0] = PCG（A，B，TOL，麦克斯特）;FL0

FL0 = 1

RR0

RR0 = 0.0131

IT0

IT0 = 100

FL0是1因为PCG不收敛到所要求的公差1E-8所请求的100次迭代内。

与收敛速度慢的帮助，你可以指定一个预条件矩阵。以来一个是对称的，使用ichol生成预条件 $\mathit{中号}=\mathit{大号}{\mathit{大号}}^{\mathit{Ť}}$。通过指定解决所述预处理系统大号和L”作为输入来PCG。

L = ichol（A）;[X1，FL1，RR1，IT1，RV1] = PCG（A，B，TOL，麦克斯特，L，L'）;FL1

FL1 = 0

另外，rr

RR1 = 8.0992e-09

IT1

IT1 = 79

使用的ichol预处理器产生一个相对残余小于规定公差1E-8第79次迭代。输出RV1（1）是范数（b）中和RV1（端部）是范数（B-A * X1）。

现在，使用michol选项来创建修改不完全的Cholesky预处理器。

L = ichol（A，结构（'michol'，'上'））;[X2，FL2，RR2，IT2，RV2] = PCG（A，B，TOL，麦克斯特，L，L'）;FL2

FL2 = 0

RR2

RR2 = 9.9618e-09

IT2

IT2 = 47

此预调节器比由不完全Cholesky因式分解以零填充了该示例中的系数矩阵所产生的一个比较好，所以PCG能够更快收敛。

你可以看到预条件如何影响收敛速度PCG通过绘制从每个初始估计开始剩余记录（而迭代数0）。添加一个行中指定的公差。

semilogy（0：长度（RV0）-1，RV0 /范数（b）中，'-o'）保持上semilogy（0：长度（RV1）-1，RV1 /范数（b）中，'-o'）semilogy（0：长度（RV2）-1，RV2 /范数（b）中，'-o'）YLINE（TOL，'R--'）;传说（“不预调节器”，“默认ICHOL”，“修改ICHOL”，'公差'，'位置'，'东'）xlabel（“迭代次数”）ylabel（“相对残存”）

检查供应的影响PCG与溶液的初始猜测。

创建三对角稀疏矩阵。用每行的总和作为向量的右侧 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$因此，对于期望的解决方案 $\mathit{X}$是那些的向量。

N = 900;E =酮（N，1）;A = spdiags（[E 2 * E E]， -  1：1，N，N）;B =总和（A，2）;

用PCG解决 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$两次：一次用默认的初始猜测，有一次与解决方案的一个很好的初始猜测。使用200次迭代两种解决方案并指定初始猜测作为矢量与所有金宝搏官方网站元素等于0.99。

麦克斯特= 200;X1 = PCG（A，B，[]，麦克斯特）;

PCG会聚在迭代35与相对残余9.5e-07的溶液。

X0 = 0.99 *酮（尺寸（A，2），1）;X2 = PCG（A，B，[]，麦克斯特，[]，[]，X0）;

PCG会聚在迭代7与相对残余8.7E-07的溶液。

在这种情况下供给的初始猜测使PCG收敛更快。

X0 =零（尺寸（A，2），1）;TOL = 1E-8;麦克斯特= 100;对于K = 1：4 [X，旗，relres] = PCG（A，B，TOL，麦克斯特，[]，[]，X0）;X（：，K）= X;R（k）的= relres;X0 = X;结束

通过提供解决的线性系统PCG与函数处理，计算斧头代替系数矩阵的一个。

用画廊以产生一个20×20正定三角矩阵。所述超和子对角线具有的，而主对角线元素从20向下计数到1预览矩阵。

N = 20;A =画廊（'tridiag'，酮（正1,1）中，n：-1：1，一（正 -  1,1））;全（A）

ANS =20×2020 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 19 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 18 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 17 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 16 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 15 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 14 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 13 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 12 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 11 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0⋮

由于这三对角矩阵具有特殊的结构，则可以显示操作斧头具有功能手柄。由于每一行一个乘中的元素X，只有少数的结果是非零的（对应于非零元素上tridiagonals）。而且，只有主对角线具有不等于1的表达的非零元素 $\mathrm{斧头}$变为：

$\left[\begin{array}{cccccccccc}20& 1& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 0\\ 1& 19& 1& 0& & & & & & 0\\ 0& 1& 18& 1& 0& & & & & ⋮\\ ⋮& 0& 1& 17& 1& 0& & & & \\ & & 0& 1& 16& 1& 0& & & ⋮\\ ⋮& & & 0& 1& 15& 1& 0& & \\ & & & & 0& 1& 14& 1& 0& ⋮\\ ⋮& & & & & 0& 1& 13& \ddots & 0\\ 0& & & & & & 0& \ddots & \ddots & 1\\ 0& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathit{X}}_1\\ {\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_3\\ {\mathit{X}}_4\\ {\mathit{X}}_{\mathrm{五}}\\ ⋮\\ \\ ⋮\\ \\ {\mathit{X}}_{20}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2{0\mathit{X}}_1+{\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_1+19{\mathit{X}}_2+{\mathit{X}}_3\\ {\mathit{X}}_2+18{\mathit{X}}_3+{\mathit{X}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{18}+2{\mathit{X}}_{19}+{\mathit{X}}_{20}\\ {\mathit{X}}_{19}+{\mathit{X}}_{20}\end{array}\right]$。

将得到的载体可被写为三个矢量的总和：

$\left[\begin{array}{c}2{0\mathit{X}}_1+{\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_1+19{\mathit{X}}_2+{\mathit{X}}_3\\ {\mathit{X}}_2+18{\mathit{X}}_3+{\mathit{X}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{18}+2{\mathit{X}}_{19}+{\mathit{X}}_{20}\\ {\mathit{X}}_{19}+{\mathit{X}}_{20}\end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{c}0\\ {\mathit{X}}_1\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{19}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}20{\mathit{X}}_1\\ 19{\mathit{X}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{20}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\mathit{X}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{20}\\ 0\end{array}\right]$。

在MATLAB®，编写创建这些矢量并将它们相加，由此得到的值的函数斧头：

功能Y = afun（X）Y = [0;X（1:19）] +...[（20：1：1）'] * X +...[X（2:20）;0];结束

（此功能被保存为在实施例的端部的局部的功能。）

现在，求解线性系统 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$通过提供PCG用函数处理计算斧头。使用的公差1E-12和50次迭代。

B =酮（20,1）;TOL = 1E-12;麦克斯特= 50;X1 = PCG（@ afun，B，TOL，麦克斯特）

PCG会聚在迭代20与相对残余4.4E-16的溶液。

X1 =20×10.0476 0.0475 0.0500 0.0526 0.0555 0.0588 0.0625 0.0666 0.0714 0.0769⋮

检查afun（X1）产生的人的向量。

afun（X1）

ANS =20×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000⋮

功能Y = afun（X）Y = [0;X（1:19）] +...[（20：1：1）'] * X +...[X（2:20）;0];结束