用迭代法求解一个平方线性系统Bicgstab.使用默认设置，然后调整解决方案过程中使用的迭代次数和迭代次数。

创建一个随机稀疏矩阵一种密度为50%。同时创建一个随机向量B.对于右侧的右侧 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$．

rng默认a = sprand（400,400,.5）;a ='* a;b =兰特（400,1）;

解决 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$使用Bicgstab.．输出显示包括相对剩余误差的值 $\frac{\Vert \mathit{B.}-\mathrm{斧头}\Vert }{\Vert \mathit{B.}\Vert }$．

x=biggstab（A，b）；

Bicgstab在迭代20时停止，没有收敛到期望的容忍值1e-06，因为已经达到了最大的迭代次数。返回的iterate(编号20)的相对残差为0.12。

默认情况下Bicgstab.使用20次迭代和一个公差1E-6，并且该算法无法在此矩阵的20次迭代中收敛。由于残差仍然很大，这是一个很好的指标，表明需要更多的迭代（或预条件矩阵）。您还可以使用更大的容差，使算法更容易收敛。

再次使用容差来解决系统1E-4和100次迭代。

x = bicgstab (A, b, 1 e - 4100);

Bicgstab在迭代100时停止，没有收敛到期望的公差0.0001，因为已经达到了最大的迭代次数。迭代返回(编号100)的相对残差为0.044。

即使具有宽松的公差和更多的迭代，剩余错误也不会改善太多。当以这种方式迭代算法停止时，它是需要预处理器矩阵的良好指示。

计算不完整的粗心分解一种，并使用我是因素作为预处理器输入Bicgstab.．

L = ichol(一个);x = bicgstab (A, b, e - 4100 L ');

BICGSTAB在迭代30.5融合到具有相对残留5.3E-05的溶液。

使用预处理器提高了问题的数值Bicgstab.能够融合。

检查使用预处理器矩阵的效果Bicgstab.解一个线性系统。

加载West0479，真正的479-by-479非对称稀疏矩阵。

加载West0479.一个= west0479;

定义B.这样真正的解决方案 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$是所有1的向量。

b = sum（a，2）;

设置容忍和最大迭代次数。

tol = 1e-12;maxit = 20;

使用Bicgstab.在要求的容忍度和迭代次数下找到解决方案。指定五个输出以返回关于解决方案流程的信息:

[x，fl0，rr0，it0，rv0] = bicgstab（a，b，tol，maxit）;FL0.

fl0 = 1

rr0

Rr0 = 1

IT0.

it0=0

FL0.是1因为Bicgstab.不收敛到要求的公差1E-12在请求的20次迭代中。事实上Bicgstab.是如此的糟糕以至于最初的猜测x0=零（尺寸（A，2），1）如所示，是最好的解决方案并返回it0=0．

为了帮助缓慢收敛，您可以指定一个预条件器矩阵。自从一种不对称，使用ilu生成预处理程序 $\mathit{m}=\mathit{L.}\mathit{你}$．指定一个drop tolerance以忽略值小于的非对角线项1E-6．解决预处理系统 ${\mathit{一种}\mathit{m}}^{-1}\mathit{m}\mathit{X}=\mathit{B.}$通过指定L.和你作为输入Bicgstab.．

设置=结构(“类型”那“ilutp”那“滴剂”，1E-6）;[l，u] = ilu（a，设置）;[X1，FL1，RR1，IT1，RV1] = BICGSTAB（A，B，TOL，MAXIT，L，U）;FL1.

fl1=0

rr1

rr1 = 3.8661 e-14

IT1

it1=3

使用ilu预处理器产生的相对残差小于1E-12在第三次迭代。输出rv1 (1)是规范（b）和输出RV1（结束）是常态（b-a * x1）．

你可以遵循的进步Bicgstab.通过在每次迭代时绘制相对残差。绘制每个解决方案的剩余历史，具有指定公差的线。

半径（0：长度（RV0）-1，RV0 / NORM（B），'-o')持有在…上半径（0：长度（RV1）-1，RV1 / NORM（B），'-o'）yline（tol，“r——”）;传奇('没有预处理者'那ILU预处理的那“宽容”那“位置”那“东方”)xlabel(的迭代次数)伊拉贝尔(的相对剩余的）

检查供应的效果Bicgstab.初步猜测解决方案。

创建一个Tridiacal稀疏矩阵。使用每行的总和作为右侧的向量 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$因此，预期的解决方案 $\mathit{X}$是一个矢量。

n=900；e=一（n，1）；A=spdiags（[e2*ee]，-1:1，n，n）；b=总和（A，2）；

使用Bicgstab.解决 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$两次：一次使用默认初始猜测，一次使用解决方案的良好初始猜测。两种解决方案都使用50次迭代和默认公差。将第二个解决方案中的初始猜测指定为所有元素都等于的向量金宝搏官方网站0.99．

最大值=50；x1=bicgstab（A，b，[]，maxit）；

Bicgstab在迭代20.5时收敛到一个相对残差为9.3e-07的解。

x0 = 0.99 * e;x2 = bicgstab（a，b，[]，maxit，[]，[]，x0）;

BICGSTAB在迭代4下融合到具有相对残留的8.7E-07的溶液。

在这种情况下，提供初始猜测将启用Bicgstab.要更快地收敛。

x0 = 0(大小(2),1);托尔= 1 e-8;麦克斯特= 100;为了k = 1:4 [x,国旗,relres] = bicgstab (A, b,托尔,麦克斯特[],[],x0);X = X (:, k);R (k) = relres;x0 = x;结尾

通过提供解决线性系统Bicgstab.使用计算的功能手柄A*x代替系数矩阵一种．

其中一个威尔金森测试矩阵由画廊是一个21×21的三角形矩阵。预览矩阵。

a =画廊（“wilk”,21)

A =21×2110 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0⋮

威尔金森矩阵具有特殊结构，因此您可以代表操作A*x功能手柄。什么时候一种乘一个向量，得到的向量中的大多数元素都是零。结果中的非零元素对应于的非零三对角元素一种. 此外，只有主对角线具有不等于1的非零。

表情 $\mathrm{斧头}$成为：

$\mathrm{斧头}=\left[\begin{array}{cccccccccc}10.& 1& 0.& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0.& 0.\\ 1& 9.& 1& 0.& & & & & & 0.\\ 0.& 1& 8.& 1& 0.& & & & & ⋮\\ ⋮& 0.& 1& 7.& 1& 0.& & & & \\ & & 0.& 1& 6.& 1& 0.& & & ⋮\\ ⋮& & & 0.& 1& 5.& 1& 0.& & \\ & & & & 0.& 1& 4.& 1& 0.& ⋮\\ ⋮& & & & & 0.& 1& 3.& \ddots & 0.\\ 0.& & & & & & 0.& \ddots & \ddots & 1\\ 0.& 0.& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0.& 1& 10.\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathit{X}}_1\\ {\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_{3.}\\ {\mathit{X}}_{4.}\\ {\mathit{X}}_{5.}\\ ⋮\\ \\ ⋮\\ \\ {\mathit{X}}_{21.}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}10.{\mathit{X}}_1+{\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_1+9.{\mathit{X}}_2+{\mathit{X}}_{3.}\\ {\mathit{X}}_2+8.{\mathit{X}}_{3.}+{\mathit{X}}_{4.}\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{19.}+9.{\mathit{X}}_{20.}+{\mathit{X}}_{21.}\\ {\mathit{X}}_{20.}+10.{\mathit{X}}_{21.}\end{array}\right]$．

得到的向量可以写成三个向量的总和：

$\mathrm{斧头}=\left[\begin{array}{c}0.+10.{\mathit{X}}_1+{\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_1+9.{\mathit{X}}_2+{\mathit{X}}_{3.}\\ {\mathit{X}}_2+8.{\mathit{X}}_{3.}+{\mathit{X}}_{4.}\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{19.}+9.{\mathit{X}}_{20.}+{\mathit{X}}_{21.}\\ {\mathit{X}}_{20.}+10.{\mathit{X}}_{21.}+0.\end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{c}0.\\ {\mathit{X}}_1\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{20.}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}10.{\mathit{X}}_1\\ 9.{\mathit{X}}_2\\ ⋮\\ 10.{\mathit{X}}_{21.}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\mathit{X}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{21.}\\ 0.\end{array}\right]$．

在MATLAB®中，编写一个函数来创建这些向量并将它们相加，从而得到值A*x：

功能Y = [0;x (1:20)] +......[(10: 1:0) ';(1:10) ']。* x +......[x (21);0);结尾

（此函数在示例末尾另存为本地函数。）

现在，解决线性系统 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$通过提供Bicgstab.使用计算的函数句柄A*x．使用宽容1E-12和50次迭代。

b = ins（21,1）;tol = 1e-12;maxit = 50;x1 = bicgstab（@ afun，b，tol，maxit）

Bicgstab在迭代11.5时收敛到一个相对残差为5.2 -13的解。

x1 =21×10.0910 0.0990 0.0999 0.1109 0.1109 0.1241 0.1443 0.1544 0.2383 0.1309 0.5000⋮

检查一下Afun（x1）生成一个1的向量。

Afun（x1）

ans =.21×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

功能Y = [0;x (1:20)] +......[(10: 1:0) ';(1:10) ']。* x +......[x (21);0);结尾