主要内容

确定马尔可夫链的渐近行为

打开生活的脚本

这个例子展示了如何计算马尔可夫链的平稳分布，估计其混合时间，并确定链是否遍历和可约。这个例子还展示了如何在不影响渐近行为的情况下从链中去除周期性。

考虑这个理论的，一个随机过程的右随机转移矩阵。

P ＝ ［ 0 0 1 / 2 1 / 4 1 / 4 0 0 0 0 1 / 3. 0 2 / 3. 0 0 0 0 0 0 0 1 / 3. 2 / 3. 0 0 0 0 0 1 / 2 1 / 2 0 0 0 0 0 3. / 4 1 / 4 1 / 2 1 / 2 0 0 0 0 0 1 / 4 3. / 4 0 0 0 0 0 ］ ．

建立以转移矩阵为特征的马尔可夫链P．绘制链的有向图，并使用边缘颜色表示转移概率。

P = [0 0 1/4 1/4 0 0;0 0 1/3 0 2/3 0 0;0 0 0 0 1/3 2/3;0 0 0 0 1/2 /2;0 0 0 3/4 1/4;1/2 0 0 0 0 0 0;1/4 3/4 0 0 0 0];mc = dtmc (P);图;graphplot (mc,“ColorEdges”,真正的);

图中包含一个坐标轴。坐标轴包含一个graphplot类型的对象。

由于转移矩阵是随机的，马尔可夫链具有平稳分布 π ∗ 这样 π ∗ ＝ π ∗ P ．

确定马尔可夫链是否不可约。

总和生育率= isreducible (mc)
总和生育率=逻辑0

总和生育率= 0表示链是不可约的。这个结果表明 π ∗ 是独一无二的。

确定马尔可夫链是否遍历。

tfErg = isergodic (mc)
tfErg =逻辑0

tfErg = 0表示该链不是遍历的。这个结果表明 π ∗ 不是任意初始分布的极限分布。

你可以用两种方法来确定马尔可夫链是否具有周期性。

  • 不可约且非遍历的链是周期性的。上一节的结果表明，马尔可夫链是周期性的。

  • 检查复平面上特征值的图。特征值图表明马尔可夫链是否是周期性的，图揭示了链的周期。

在复平面上画出马尔可夫链的特征值。

图;eigplot (mc);

图中包含一个坐标轴。轴包含5个类型为line, patch的对象。这些对象代表特征值，谱隙。

特征值图的显著特征包括:

  • 这个大胆的星号是Perron-Frobenius特征值。它的大小是1，并且是非负转移矩阵。

  • 在单位根处的所有特征值表示周期性。因为单位圆上有三个特征值，所以链的周期是3。

  • 谱隙是单位圆的周长与半径为第二大特征值幅值(SLEM)的圆的周长之间的面积。谱隙的大小决定了马尔可夫链的混合速率。

  • 一般来说，谱决定了链的结构性质。

计算马尔可夫链的平稳分布。

xFix =渐近(mc)
xFix =1×70.1300 0.2034 0.1328 0.0325 0.1681 0.1866 0.1468

xFix是链的唯一平稳分布，但不是任意初始分布的极限分布。

通过使用两个20步重分布来可视化马尔可夫链状态分布的两个演化。对于第一次再分配，使用默认的均匀初始分配。对于第二次再分配，指定一个初始分布，将所有权重放在第一个状态。

X1 =重新分配(mc, 20);图;distplot (mc, X1);

图中包含一个坐标轴。标题为“状态分布”的轴包含一个类型为image的对象。

X2 =重新分配(mc 20“X0”，[1 0 0 0 0]);图;distplot (mc X2);

图中包含一个坐标轴。标题为“状态分布”的轴包含一个类型为image的对象。

在图中，周期性是明显的，防止状态分布的稳定。此外，不同的初始值产生不同的演化。

通过将马尔可夫链转换为懒链来去除周期性。绘制懒惰链的有向图。确定懒惰链是否不可约和遍历的。

lc =懒惰(mc);图;graphplot (lc);

图中包含一个坐标轴。坐标轴包含一个graphplot类型的对象。

tfRedLC = isreducible (lc)
tfRedLC =逻辑0
tfErgLC = isergodic (lc)
tfErgLC =逻辑1

观察有向图中的自循环。为了消除周期性，lazy链强制执行状态持久性。懒惰链是不可约的和遍历的。

在复平面上画懒惰链的特征值。

图;eigplot (lc);

图中包含一个坐标轴。轴包含5个类型为line, patch的对象。这些对象代表特征值，谱隙。

懒惰链在单位根处没有任何特征值，除了Perron-Frobenius特征值。因此，懒链的周期为1。由于懒惰链的谱隙比未转换链的谱隙更窄，所以懒惰链比未转换链混合得更慢。

计算懒惰链的平稳分布。

xFixLC =渐近(lc)
xFixLC =1×70.1300 0.2034 0.1328 0.0325 0.1681 0.1866 0.1468

xFixLC是链的唯一平稳分布，它是给定任意初始分布的极限分布。同时,xFixLC和xFix都是相同的。

通过使用一个10步的再分配来可视化懒惰链的状态分布的演变。

XLC =重新分配(lc, 10);图;XLC distplot (lc)

图中包含一个坐标轴。标题为“状态分布”的轴包含一个类型为image的对象。

状态分布在不到10个时间步长的时间内由均匀分布演化为平稳分布。观察最后一步的颜色是否与中的值匹配xFixLC．

另请参阅

对象

功能

相关的话题

计量经济学工具文档

金宝app

用MATLAB建模财务风险的实用指南

用MATLAB建模财务风险的实用指南

下载电子书