用。求解一个矩形线性方程组lsqr使用默认设置，然后调整解决方案过程中使用的公差和迭代次数。

创建一个随机稀疏矩阵A.密度为50%。同时创建一个随机向量B对于右侧的 $\mathrm{斧头}=\mathit{B}$．

rng默认的5 = sprand (400300);b =兰德(400 1);

解决 $\mathrm{斧头}=\mathit{B}$使用lsqr．输出显示包括相对剩余误差的值 $\frac{\Vert \mathit{B}-\mathrm{斧头}\Vert }{\Vert \mathit{B}\Vert }$．

x=lsqr（A，b）；

LSQR在迭代20时停止，没有收敛到期望的公差1e-06，因为已经达到了最大的迭代次数。返回的iterate(编号20)的相对残差为0.26。

默认情况下lsqr使用20次迭代和一个公差1 e-6，但该算法在这20次迭代中无法收敛。由于残差仍然很大，这是一个很好的指示，说明需要更多的迭代(或预处理矩阵)。您还可以使用更大的容忍度，以使算法更容易收敛。

使用以下公差再次求解系统：1的军医和70的迭代。指定6个输出以返回相对剩余值relres的计算解，以及残差历史resvec以及最小二乘残差历史lsvec．

[x,国旗,relres, iter resvec, lsvec] = lsqr (A, b, 1的军医,70);国旗

国旗= 0

自国旗为0时，算法在指定的迭代次数内能够满足期望的容错要求。通常，您可以同时调整迭代的容忍度和次数，以以这种方式在速度和精度之间做出权衡。

检验计算解的相对残差和最小二乘残差。

relres

relres=0.2625

lsr = lsvec(结束)

lsr = 2.7640 e-04

这些剩余规范表明：x是最小二乘解，因为relres是否小于规定的公差1的军医．由于线性方程组不存在一致解，求解器所能做的就是使最小二乘残差满足容差。

绘制剩余历史。相对残差resvec快速达到最小值而不能进一步前进，而最小二乘残差lsvec在随后的迭代中继续最小化。

N =长度(resvec);lsvec semilogy (0: n - 1,“- o”0: n - 1、resvec“-o”)传说(“最小二乘残差”,“相对剩余”)

用下列方法检查使用预处理矩阵的效果lsqr解线性方程组。

加载west0479，一个实的479 × 479非对称稀疏矩阵。

负载west0479一个= west0479;

定义B这样才能真正解决问题 $\mathrm{斧头}=\mathit{B}$是所有1的向量。

b =和(2);

设置容忍和最大迭代次数。

托尔= 1 e-12;麦克斯特= 20;

使用lsqr在要求的容忍度和迭代次数下找到解决方案。指定6个输出以返回关于解决方案流程的信息:

[x, fl, rr,房车,lsrv] = lsqr (A, b,托尔,麦克斯特);佛罗里达州

fl = 1

rr

rr = 0.0017

它

它=20

自fl = 1时，算法在最大迭代次数内没有收敛到指定的公差。

为了帮助缓慢的收敛，你可以指定一个预处理矩阵。自A.是不对称的，使用ilu生成预处理程序 $\mathit{M}=\mathit{L}\mathit{U}$以映像的形式。指定一个drop tolerance以忽略值小于的非对角线项1 e-6. 求解预条件系统 ${\mathrm{是}}^{-1.}\left(\mathit{M}\mathit{x}\right)=\mathit{B}$对于 $\mathit{Y}=\mathrm{Mx}$通过指定L和U作为M1和平方米输入lsqr．

设置=结构(“类型”,“ilutp”,“droptol”1 e-6);[L U] = ilu(一个,设置);(x1, fl1 rr1、it1 rv1, lsrv1] = lsqr (A, b,托尔,麦克斯特,L, U);fl1

fl1 = 0

rr1

rr1 = 7.0954 e-14

it1

it1 = 13

使用ilu预处理剂产生的相对残留小于规定的耐受性1 e-12在第13次迭代中。输出rv1 (1)是规范(b)，输出rv1(结束)是规范(b * x1)．

您可以跟踪lsqr通过绘制每个迭代的相对残差。用指定的公差线绘制每个溶液的残留历史图。

semilogy(0:长度(rv) 1、rv /规范(b),“-o”)举行在semilogy(0:长度(rv1) 1, rv1 /规范(b),“-o”) yline(托尔,“r——”）;传奇(“没有先决条件”,ILU预处理的,“宽容”,“位置”,“东”)包含(的迭代次数) ylabel (的相对剩余的)

检查供应的效果lsqr对解有一个初步的猜测。

创建一个随机矩形稀疏矩阵。用每一行的和作为右边的向量 $\mathrm{斧头}=\mathit{B}$所以预期的解决方案 $\mathit{x}$是一个1的向量。

= sprand (700900, 0.1);b =和(2);

使用lsqr解决 $\mathrm{斧头}=\mathit{B}$两次:一次是默认的初始猜测，另一次是正确的初始猜测。对这两个解决方案使用75次迭代和默认容忍。金宝搏官方网站指定第二个解中的初始猜想为一个所有元素都等于0.99的向量。

麦克斯特= 75;x1 = lsqr (A, b,[],麦克斯特);

LSQR在第64次迭代时收敛到一个相对残差为8.7e-07的解。

x0 = 0.99 *(大小(A, 2), 1);x2 = lsqr(麦克斯特,A, b, [] [], [], x0);

lsqr在迭代26时收敛到相对残差为9.6e-07的解。

最初的猜测接近预期解，lsqr能够在更少的迭代中收敛。

x0 = 0(大小(2),1);托尔= 1 e-8;麦克斯特= 100;对于k = 1:4 [x,国旗,relres] = lsqr (A, b,托尔,麦克斯特[],[],x0);X = X (:, k);R (k) = relres;x0 = x;终止

通过提供解一个线性方程组lsqr使用计算的函数句柄* x和A'*x代替系数矩阵A.．

创建一个非对称的三对角矩阵。预览矩阵。

A=画廊(“wilk”21) +诊断接头(1(20日1),1)

A=21×2110 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 8 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01.2.2.000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋮

因为这个三对角矩阵有一个特殊的结构，你可以表示这个操作* x使用函数句柄。当A.乘一个向量，得到的向量中的大多数元素都是零。结果中的非零元素对应于的非零三对角元素A.．

表达式 $\mathit{A.}\mathit{x}$变成：

$\mathit{A.}\mathit{x}=\left[\begin{array}{ccccccc}10& 2.& 0& \cdots & & \cdots & 0\\ 1.& 9& 2.& 0& & & ⋮\\ 0& 1.& \ddots & 2.& 0& & \\ ⋮& 0& 1.& 0& \ddots & \ddots & ⋮\\ & & 0& \ddots & 1.& \ddots & 0\\ ⋮& & & \ddots & \ddots & \ddots & 2.\\ 0& \cdots & & \cdots & 0& 1.& 10\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathit{x}}_{1.}\\ {\mathit{x}}_{2.}\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{10\mathit{x}}_{1.}+2.{\mathit{x}}_{2.}\\ {\mathit{x}}_{1.}+9{\mathit{x}}_{2.}+2.{\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+2.{\mathit{x}}_{21}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}\end{array}\right]$．

结果向量可以写成三个向量之和：

$\mathit{A.}\mathit{x}=\left[\begin{array}{c}{10\mathit{x}}_{1.}+2.{\mathit{x}}_{2.}\\ {\mathit{x}}_{1.}+9{\mathit{x}}_{2.}+2.{\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+2.{\mathit{x}}_{21}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}\end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{c}0\\ {\mathit{x}}_{1.}\\ {\mathit{x}}_{2.}\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20.}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{10\mathit{x}}_{1.}\\ {9\mathit{x}}_{2.}\\ ⋮\\ 9{\mathit{x}}_{20.}\\ 10{\mathit{x}}_{21}\end{array}\right]+2.\cdot \left[\begin{array}{c}{\mathit{x}}_{2.}\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21}\\ 0\end{array}\right]$．

同样，for的表达式 ${\mathit{A.}}^{\mathit{T}}\mathit{x}$变成：

${\mathit{A.}}^{\mathit{T}}\mathit{x}=\left[\begin{array}{ccccccc}10& 1.& 0& \cdots & & \cdots & 0\\ 2.& 9& 1.& 0& & & ⋮\\ 0& 2.& \ddots & 1.& 0& & \\ ⋮& 0& 2.& 0& \ddots & \ddots & ⋮\\ & & 0& \ddots & 1.& \ddots & 0\\ ⋮& & & \ddots & \ddots & \ddots & 1.\\ 0& \cdots & & \cdots & 0& 2.& 10\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathit{x}}_{1.}\\ {\mathit{x}}_{2.}\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{10\mathit{x}}_{1.}+{\mathit{x}}_{2.}\\ {2.\mathit{x}}_{1.}+9{\mathit{x}}_{2.}+{\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {2.\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21}\\ {2.\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}\end{array}\right]$．

${\mathit{A.}}^{\mathit{T}}\mathit{x}=\left[\begin{array}{c}{10\mathit{x}}_{1.}+{\mathit{x}}_{2.}\\ {2.\mathit{x}}_{1.}+9{\mathit{x}}_{2.}+{\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {2.\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21}\\ {2.\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}\end{array}\right]=2.\cdot \left[\begin{array}{c}0\\ {\mathit{x}}_{1.}\\ {\mathit{x}}_{2.}\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20.}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{10\mathit{x}}_{1.}\\ {9\mathit{x}}_{2.}\\ ⋮\\ 9{\mathit{x}}_{20.}\\ 10{\mathit{x}}_{21}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\mathit{x}}_{2.}\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21}\\ 0\end{array}\right]$．

在MATLAB®中，编写一个函数来创建这些向量并将它们相加，从而得到值* x或A'*x，取决于标志输入:

函数y = afun (x,国旗)如果比较字符串(国旗,“notransp”)%计算* x(y = 0;x (1:20))．..+ ((10: 1:0) ';(1:10)”)。* x．..+ 2 * (x(2:结束);0);elseif比较字符串(国旗,“透明”)' * x %计算y = 2 * [0;x (1:20))．..+ ((10: 1:0) ';(1:10)”)。* x．..+ (x(2:结束);0);终止终止

(这个函数在示例的最后保存为一个本地函数。)

现在，解线性方程组 $\mathrm{斧头}=\mathit{B}$提供lsqr使用计算的函数句柄* x和A'*x. 使用公差为1 e-6和25次迭代。指定 $\mathit{B}$的行和 $\mathit{A.}$因此，真正的解决方案 $\mathit{x}$是一个1的向量。

b=满（和（A，2））；tol=1e-6；最大值=25；x1=lsqr（@afun，b，tol，最大值）

LSQR在迭代21时收敛到一个相对残差为5.4e-13的解。

x1=21×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000⋮

函数y = afun (x,国旗)如果比较字符串(国旗,“notransp”)%计算* x(y = 0;x (1:20))．..+ ((10: 1:0) ';(1:10)”)。* x．..+ 2 * (x(2:结束);0);elseif比较字符串(国旗,“透明”)' * x %计算y = 2 * [0;x (1:20))．..+ ((10: 1:0) ';(1:10)”)。* x．..+ (x(2:结束);0);终止终止