解决方形线性系统使用QMR.使用默认设置，然后调整解决方案过程中使用的迭代次数和迭代次数。

创建一个随机稀疏矩阵一种密度为50%。同时创建一个随机向量B.对于右侧的右侧 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$．

RNG.默认的a = sprand（400,400,.5）;a ='* a;b =兰特（400,1）;

解决 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$使用QMR.．输出显示包括相对残差误差的值 $\frac{\Vert \mathit{B.}-\mathrm{斧头}\Vert }{\Vert \mathit{B.}\Vert }$．

x = qmr（a，b）;

QMR在迭代20处停止而不会聚到所需的公差1E-06，因为达到了最大迭代次数。迭代返回（数20）具有相对残差0.12。

默认情况下QMR.使用20个迭代和容忍度1 e-6，算法在这40次迭代中无法收敛。由于残差仍然很大，这是一个很好的指示，说明需要更多的迭代(或预处理矩阵)。您还可以使用更大的容忍度，以使算法更容易收敛。

再次使用容差来解决系统1的军医和100的迭代。

X = QMR（A，B，1E-4,100）;

QMR在迭代100时停止，而不会聚到所需的公差0.0001，因为达到了最大迭代次数。迭代返回（数字100）具有相对残差0.063。

即使具有宽松的公差和更多的迭代，剩余错误也不会改善太多。当以这种方式迭代算法停止时，它是需要预处理器矩阵的良好指示。

计算不完整的粗心分解一种，并使用L'因素作为预处理器输入QMR.．

L = ichol(一个);x = qmr (A, b, e - 4100 L ');

QMR在迭代57处收敛到具有相对残留的6.1E-05的溶液。

使用预处理器可以充分改善问题的数值性质QMR.能够收敛。

用下列方法检查使用预处理矩阵的效果QMR.解决线性系统。

加载west0479，一个实的479 × 479非对称稀疏矩阵。

加载West0479.A = West0479;

定义B.这样真正的解决方案 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$是所有的矢量。

b = sum（a，2）;

设置容忍和最大迭代次数。

托尔= 1 e-12;麦克斯特= 20;

用QMR.在请求的容忍和迭代次数找到解决方案。指定五个输出以返回有关解决方案过程的信息：

[x，fl0，rr0，it0，rv0] = qmr（a，b，tol，maxit）;FL0.

fl0 = 1

RR0.

rr0 = 0.7984

IT0.

IT0 = 17.

FL0.是1,因为QMR.不收敛到所请求的公差1 e-12在请求的20次迭代中。第17届迭代是最好的近似解决方案，是如所示返回的解决方案IT0 = 17.．

为了帮助缓慢的收敛，您可以指定一个预处理器矩阵。自从一种不对称，使用ilu生成预处理程序 $\mathit{m}=\mathit{L.}\mathit{你}$．指定删除公差，以忽略小于的值的非透明条目1 e-6．解决预处理系统 ${\mathit{m}}^{-1}\mathit{一种}\mathit{X}={\mathit{m}}^{-1}\mathit{B.}$通过指定L.和你作为输入QMR.．

setup = struct（'类型'那'ilutp'那'droptol'1 e-6);[L U] = ilu(一个,设置);(x1, fl1 rr1、it1 rv1] = qmr (A, b,托尔,麦克斯特,L, U);fl1

fl1 = 0.

RR1.

RR1 = 4.1114E-14

IT1

IT1 = 6.

使用ilu预处理器产生比规定的耐受性更少1 e-12在第六次迭代。输出RV1（1）是规范(b)，输出RV1（结束）是规范(b * x1)．

你可以遵循的进步QMR.通过在每次迭代时绘制相对残差。绘制每个解决方案的剩余历史，具有指定公差的线。

半径（0：长度（RV0）-1，RV0 / NORM（B），'-o'） 抓住在semilogy(0:长度(rv1) 1, rv1 /规范(b),'-o'）yline（tol，'r--'）;传奇（'没有预处理者'那'ilu preconditcher'那'宽容'那'地点'那'东'）xlabel（'迭代号'）ylabel（“相对残差”）

检查供应的效果QMR.对解有一个初步的猜测。

创建一个三对角稀疏矩阵。用每一行的和作为右边的向量 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$所以预期的解决方案 $\mathit{X}$是一个矢量。

n = 900;e =那些（n，1）;a = spdiags（[e 2 * e e]， -  1：1，n，n）;b = sum（a，2）;

用QMR.解决 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$两次：有一次默认初始猜测，并且有一次初始猜测解决方案。使用200个迭代和两个解决方案的默认容差。金宝搏官方网站将第二种解决方案中的初始猜测指定为向量，其中所有元素等于0.99．

maxit = 200;x1 = qmr（a，b，[]，maxit）;

QMR在迭代27处收敛到具有相对残留的9.5E-07的溶液。

x0 = 0.99 * e;x2 = qmr（a，b，[]，maxit，[]，[]，x0）;

QMR在迭代7时收敛到一个相对残差为6.7e-07的解。

在这种情况下，提供初始猜测QMR.更快地聚合。

x0 =零（尺寸（a，2），1）;tol = 1e-8;maxit = 100;为了k = 1：4 [x，标志，relres] = qmr（a，b，tol，maxit，[]，[]，x0）;x（：，k）= x;r（k）= relres;x0 = x;结尾

通过提供解一个线性方程组QMR.使用计算的函数句柄斧头和斧头代替系数矩阵一种．

创建一个非对称三对角矩阵。预览矩阵。

a =画廊（'威尔克'21) +诊断接头(1(20日1),1)

A =21×2110 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0⋮

因为这个三对角矩阵有一个特殊的结构，你可以表示这个操作斧头使用函数句柄。什么时候一种乘以向量，得到的矢量中的大多数元素是零。结果中的非零元素对应于非零三角形元素一种．

表达方式 $\mathit{一种}\mathit{X}$成为：

$\mathit{一种}\mathit{X}=\left[\begin{array}{ccccccc}10& 2& 0.& \cdots & & \cdots & 0.\\ 1& 9.& 2& 0.& & & ⋮\\ 0.& 1& \ddots & 2& 0.& & \\ ⋮& 0.& 1& 0.& \ddots & \ddots & ⋮\\ & & 0.& \ddots & 1& \ddots & 0.\\ ⋮& & & \ddots & \ddots & \ddots & 2\\ 0.& \cdots & & \cdots & 0.& 1& 10\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathit{X}}_1\\ {\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{21}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{10\mathit{X}}_1+2{\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_1+9.{\mathit{X}}_2+2{\mathit{X}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{19}+9.{\mathit{X}}_{20.}+2{\mathit{X}}_{21}\\ {\mathit{X}}_{20.}+10{\mathit{X}}_{21}\end{array}\right]$．

得到的向量可以写成三个向量的总和：

$\mathit{一种}\mathit{X}=\left[\begin{array}{c}{10\mathit{X}}_1+2{\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_1+9.{\mathit{X}}_2+2{\mathit{X}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{19}+9.{\mathit{X}}_{20.}+2{\mathit{X}}_{21}\\ {\mathit{X}}_{20.}+10{\mathit{X}}_{21}\end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{c}0.\\ {\mathit{X}}_1\\ {\mathit{X}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{20.}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{10\mathit{X}}_1\\ {9.\mathit{X}}_2\\ ⋮\\ 9.{\mathit{X}}_{20.}\\ 10{\mathit{X}}_{21}\end{array}\right]+2\cdot \left[\begin{array}{c}{\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_{3.}\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{21}\\ 0.\end{array}\right]$．

同样，for的表达式 ${\mathit{一种}}^{\mathit{T.}}\mathit{X}$成为：

${\mathit{一种}}^{\mathit{T.}}\mathit{X}=\left[\begin{array}{ccccccc}10& 1& 0.& \cdots & & \cdots & 0.\\ 2& 9.& 1& 0.& & & ⋮\\ 0.& 2& \ddots & 1& 0.& & \\ ⋮& 0.& 2& 0.& \ddots & \ddots & ⋮\\ & & 0.& \ddots & 1& \ddots & 0.\\ ⋮& & & \ddots & \ddots & \ddots & 1\\ 0.& \cdots & & \cdots & 0.& 2& 10\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathit{X}}_1\\ {\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{21}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{10\mathit{X}}_1+{\mathit{X}}_2\\ {2\mathit{X}}_1+9.{\mathit{X}}_2+{\mathit{X}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {2\mathit{X}}_{19}+9.{\mathit{X}}_{20.}+{\mathit{X}}_{21}\\ {2\mathit{X}}_{20.}+10{\mathit{X}}_{21}\end{array}\right]$．

${\mathit{一种}}^{\mathit{T.}}\mathit{X}=\left[\begin{array}{c}{10\mathit{X}}_1+{\mathit{X}}_2\\ {2\mathit{X}}_1+9.{\mathit{X}}_2+{\mathit{X}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {2\mathit{X}}_{19}+9.{\mathit{X}}_{20.}+{\mathit{X}}_{21}\\ {2\mathit{X}}_{20.}+10{\mathit{X}}_{21}\end{array}\right]=2\cdot \left[\begin{array}{c}0.\\ {\mathit{X}}_1\\ {\mathit{X}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{20.}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{10\mathit{X}}_1\\ {9.\mathit{X}}_2\\ ⋮\\ 9.{\mathit{X}}_{20.}\\ 10{\mathit{X}}_{21}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_{3.}\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{21}\\ 0.\end{array}\right]$．

在Matlab®中，写一个创建这些向量的函数并将它们添加在一起，从而提供值斧头或者斧头，取决于标志输入：

功能y = afun (x,国旗)如果Strcmp（旗帜，“notransp”）％compute a * xy = [0;x（1:20）]．..+ ((10: 1:0) ';(1:10)”)。* x．..+ 2 * [x（2：结束）;0);elseifStrcmp（旗帜，“透明”）％compute'* xy = 2 * [0;x（1:20）]．..+ ((10: 1:0) ';(1:10)”)。* x．..+ (x(2:结束);0);结尾结尾

（此函数在示例结束时保存为本地功能。）

现在，解线性方程组 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$通过提供QMR.使用函数处理来计算斧头和斧头．使用宽容1 e-6和25次迭代。指定 $\mathit{B.}$的行和 $\mathit{一种}$这样真正的解决方案 $\mathit{X}$是一个矢量。

b =全(sum (A, 2));托尔= 1 e-6;麦克斯特= 25;x1 = qmr (@afun, b,托尔,麦克斯特)

QMR在迭代19融合到具有相对残差4.7E-07的溶液。

x1 =21×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000⋮

功能y = afun (x,国旗)如果Strcmp（旗帜，“notransp”）％compute a * xy = [0;x（1:20）]．..+ ((10: 1:0) ';(1:10)”)。* x．..+ 2 * [x（2：结束）;0);elseifStrcmp（旗帜，“透明”）％compute'* xy = 2 * [0;x（1:20）]．..+ ((10: 1:0) ';(1:10)”)。* x．..+ (x(2:结束);0);结尾结尾