解决方形线性系统使用TFQMR.使用默认设置，然后调整解决方案过程中使用的迭代次数和迭代次数。

创建一个随机稀疏矩阵一种密度为50%。还要创建一个随机向量B.对于右侧的右侧 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$。

RNG.默认a = sprand（400,400,.5）;a ='* a;b =兰特（400,1）;

解决 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$使用TFQMR.。输出显示包括相对残差值 $\frac{\Vert \mathit{B.}-\mathrm{斧头}\Vert }{\Vert \mathit{B.}\Vert }$。

X = TFQMR（A，B）;

TFQMR在迭代40时停止，没有收敛到期望的公差1e-06，因为已经达到了迭代的最大数量。迭代返回（13号）具有相对残差0.3。

默认TFQMR.使用40个迭代和容忍度1E-6，并且该算法无法在此矩阵的那些40次迭代中收敛。由于剩余仍然很大，因此是一个良好的指标，即需要更多的迭代（或预处理器矩阵）。您还可以使用更大的容差来使算法更容易收敛。

再次使用容差来解决系统1E-4和100次迭代。

X = TFQMR（A，B，1E-4,100）;

TFQMR在迭代200处停止而不会聚到所需的公差0.0001，因为达到了最大迭代次数。迭代返回（13号）具有相对残差0.3。

即使有更宽松的容忍度和更多的迭代，残差也没有很大的改善。当迭代算法以这种方式停止运行时，很好地表明需要一个预处理矩阵。

计算不完整的粗心分解一种，并使用L'因素作为预处理器输入TFQMR.。

L = ichol(一个);x = tfqmr (A, b, e - 4100 L ');

TFQMR在迭代32处收敛到具有相对残差5.2E-05的溶液。

使用预处理器提高了问题的数值TFQMR.能够融合。

检查使用预处理器矩阵的效果TFQMR.解决线性系统。

加载West0479，真正的479-by-479非对称稀疏矩阵。

加载West0479.一个= west0479;

定义B.这样真正的解决方案 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$是所有的矢量。

b = sum（a，2）;

设置容忍和最大迭代次数。

tol = 1e-12;maxit = 20;

用TFQMR.在要求的公差和迭代次数上找到解决方案。指定5个输出来返回关于解决方案流程的信息:

[x，fl0，rr0，it0，rv0] = tfqmr（a，b，tol，maxit）;FL0.

fl0 = 1

RR0.

RR0 = 0.9845.

IT0.

IT0 = 10.

FL0.是1因为TFQMR.不收敛到所请求的公差1E-12在请求的20次迭代中。第十次迭代是最好的近似解决方案，是如此返回的解决方案IT0 = 10.。

为了帮助缓慢的收敛，您可以指定一个预处理器矩阵。自从一种不对称，使用ilu生成预调节器 $\mathit{m}=\mathit{L.}\mathit{你}$。指定删除公差以忽略值小于的非对角线项1E-6。解决预处理系统 $\mathit{一种}{\mathit{m}}^{-1}\mathit{m}\mathit{X}=\mathit{B.}$通过指定L.和你作为输入TFQMR.。

setup = struct（'类型'那“ilutp”那'droptol'，1E-6）;[l，u] = ilu（a，设置）;[X1，FL1，RR1，IT1，RV1] = TFQMR（A，B，TOL，MAXIT，L，U）;FL1.

fl1 = 0.

RR1.

rr1 = 4.3298 e-14

IT1

IT1 = 3.

使用ilu预处理器产生比规定的耐受性更少1E-12在第三次迭代。输出rv1 (1)是规范（b）和输出RV1（结束）是常态（b-a * x1）。

你可以遵循的进步TFQMR.通过绘制每次迭代的相对残差。用指定公差的直线绘制每个解决方案的剩余历史。请注意,如Bicgstab.那TFQMR.跟踪半迭代。

半径（0：长度（RV0）-1，RV0 / NORM（B），'-O'） 抓住上半径（0：长度（RV1）-1，RV1 / NORM（B），'-O'）yline（tol，'r--');传奇('没有预处理者'那ILU预处理的那“宽容”那'地点'那'东方的'）xlabel（的迭代次数）ylabel（的相对剩余的）

检查供应的效果TFQMR.初步猜测解决方案。

创建一个Tridiacal稀疏矩阵。使用每行的总和作为右侧的向量 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$所以预期的解决方案 $\mathit{X}$是一个矢量。

n = 900;e =那些（n，1）;a = spdiags（[e 2 * e e]， -  1：1，n，n）;b = sum（a，2）;

用TFQMR.解决 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$两次：有一次默认初始猜测，并且有一次初始猜测解决方案。使用200个迭代和两个解决方案的默认容差。金宝搏官方网站将第二种解决方案中的初始猜测指定为向量，其中所有元素等于0.99。

maxit = 200;x1 = tfqmr（a，b，[]，maxit）;

TFQMR在迭代19融合到具有相对残留的9.6E-07的溶液。

x0 = 0.99 * e;x2 = tfqmr（a，b，[]，maxit，[]，[]，x0）;

TFQMR在迭代4处收敛到具有相对残差7.9E-07的溶液。

在这种情况下，提供初始猜测TFQMR.要更快地收敛。

x0 = 0(大小(2),1);托尔= 1 e-8;麦克斯特= 100;为了k = 1:4 [x,国旗,relres] = tfqmr (A, b,托尔,麦克斯特[],[],x0);X = X (:, k);R (k) = relres;x0 = x;结尾

通过提供解决线性系统TFQMR.使用计算的功能手柄斧头代替系数矩阵一种。

由威尔金森测试矩数之一产生画廊是一个21×21的三角形矩阵。预览矩阵。

a =画廊（“wilk”，21）

A =21×2110 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0⋮

威尔金森矩阵具有特殊结构，因此您可以代表操作斧头功能手柄。什么时候一种向量相乘，结果向量中的大部分元素都是0。结果中的非零元素对应于的非零三对角元素一种。此外，只有主对角线具有不等于1的非安利斯。

表达方式 $\mathrm{斧头}$成为：

$\mathrm{斧头}=\left[\begin{array}{cccccccccc}10.& 1& 0.& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0.& 0.\\ 1& 9.& 1& 0.& & & & & & 0.\\ 0.& 1& 8.& 1& 0.& & & & & ⋮\\ ⋮& 0.& 1& 7.& 1& 0.& & & & \\ & & 0.& 1& 6.& 1& 0.& & & ⋮\\ ⋮& & & 0.& 1& 5.& 1& 0.& & \\ & & & & 0.& 1& 4.& 1& 0.& ⋮\\ ⋮& & & & & 0.& 1& 3.& \ddots & 0.\\ 0.& & & & & & 0.& \ddots & \ddots & 1\\ 0.& 0.& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0.& 1& 10.\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathit{X}}_1\\ {\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_{3.}\\ {\mathit{X}}_{4.}\\ {\mathit{X}}_{5.}\\ ⋮\\ \\ ⋮\\ \\ {\mathit{X}}_{21.}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}10.{\mathit{X}}_1+{\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_1+9.{\mathit{X}}_2+{\mathit{X}}_{3.}\\ {\mathit{X}}_2+8.{\mathit{X}}_{3.}+{\mathit{X}}_{4.}\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{19.}+9.{\mathit{X}}_{20.}+{\mathit{X}}_{21.}\\ {\mathit{X}}_{20.}+10.{\mathit{X}}_{21.}\end{array}\right]$。

得到的向量可以写成三个向量的总和：

$\mathrm{斧头}=\left[\begin{array}{c}0.+10.{\mathit{X}}_1+{\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_1+9.{\mathit{X}}_2+{\mathit{X}}_{3.}\\ {\mathit{X}}_2+8.{\mathit{X}}_{3.}+{\mathit{X}}_{4.}\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{19.}+9.{\mathit{X}}_{20.}+{\mathit{X}}_{21.}\\ {\mathit{X}}_{20.}+10.{\mathit{X}}_{21.}+0.\end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{c}0.\\ {\mathit{X}}_1\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{20.}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}10.{\mathit{X}}_1\\ 9.{\mathit{X}}_2\\ ⋮\\ 10.{\mathit{X}}_{21.}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\mathit{X}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{21.}\\ 0.\end{array}\right]$。

在MATLAB®中，编写一个函数来创建这些向量并将它们相加，从而给出值斧头：

功能Y = afun(x) Y = [0;x (1:20)] +......[(10: 1:0) ';(1:10) ']。* x +......[x (21);0);结尾

（此函数在示例结束时保存为本地功能。）

现在，解决线性系统 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$通过提供TFQMR.使用函数处理来计算斧头。使用宽容1E-12和50次迭代。

b = ins（21,1）;tol = 1e-12;maxit = 50;x1 = tfqmr（@ afun，b，tol，maxit）

TFQMR在迭代10中收敛到具有相对残留的6.7E-15的溶液。

x1 =21×10.0910 0.0990 0.0999 0.1109 0.1109 0.1241 0.1443 0.1544 0.2383 0.1309 0.5000⋮

检查一下Afun（x1）生成一个矢量。

Afun（x1）

ans =.21×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

功能Y = afun(x) Y = [0;x (1:20)] +......[(10: 1:0) ';(1:10) ']。* x +......[x (21);0);结尾