解决方形线性系统使用min使用默认设置，然后调整解决方案过程中使用的迭代次数和迭代次数。

创建一个稀疏对称三对角矩阵一种作为系数矩阵。使用行和一种作为矢量B.对于右侧的右侧 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$这样解决方案 $\mathit{X}$预计将成为一个矢量。

n = 400;= 1 (n, 1);A = spdiags([-2*on 4*on -2*on]，-1:1,n,n);b = sum（a，2）;

解决 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$使用min．输出显示包括相对残差误差的值 $\frac{\Vert \mathit{B.}-\mathrm{斧头}\Vert }{\Vert \mathit{B.}\Vert }$．

x =迷人（A，B）;

Minres在迭代20时停止，没有收敛到期望的公差1e-06，因为已经达到了最大的迭代次数。返回的iterate(编号20)的相对残差为0.017。

默认情况下min使用20个迭代和容忍度1 e-6，并且该算法无法在此矩阵的那些迭代中收敛。由于剩余是按顺序的1E-2，这是一个良好的指标，需要更多的迭代。您还可以使用更大的容差来使算法更容易收敛。

再次使用容差来解决系统1的军医和250次迭代。

x = minres (A, b, 1 e - 4250);

迷你酵母在迭代200以相对残留的7E-13溶液收敛到溶液中。

用下列方法检查使用预处理矩阵的效果min解决线性系统。

建立对称正定带状系数矩阵。

一个= delsq (numgrid (', 102));

定义B.这样真正的解决方案 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$是所有的矢量。

b = sum（a，2）;

设置容差和最大迭代次数。

tol = 1e-12;maxit = 100;

用min在请求的容忍和迭代次数找到解决方案。指定六个输出以返回有关解决方案过程的信息：

[x，fl0，rr0，it0，rv0，rvcg0] = minres（a，b，tol，maxit）;FL0.

fl0 = 1

RR0.

RR0 = 0.0013.

IT0.

IT0 = 100.

FL0.是1,因为min不收敛到所请求的公差1 e-12在请求的100次迭代中。

要帮助融合，您可以指定预处理器矩阵。自从一种是对称的，使用ichol.生成预处理器 $\mathit{m}=\mathit{L.}{\mathit{L.}}^{\mathit{T.}}$．指定'ICT'选项使用阈值下降的不完全Cholesky分解，并指定对角移位值为1 e-6避免非阳性枢轴。通过指定解决预处理系统L.和L'作为输入min．

setup = struct（'类型'那'ICT'那'diagcomp'，1e-6，'droptol'，1E-14）;l = iChol（a，设置）;[X1，FL1，RR1，IT1，RV1，RVCG1] = minRES（A，B，TOL，MAXIT，L，L'）;FL1.

fl1 = 0.

RR1.

RR1 = 2.4539E-15

IT1

IT1 = 4.

使用ilu预处理器产生比规定的耐受性更少1 e-12在第四次迭代。输出RV1（1）是规范(b)，输出RV1（结束）是规范(b * x1)．

你可以遵循的进步min通过在每次迭代时绘制相对残差。绘制每个解决方案的剩余历史，具有指定公差的线。

半径（0：长度（RV0）-1，RV0 / NORM（B），'-o'） 抓住在semilogy(0:长度(rv1) 1, rv1 /规范(b),'-o'）yline（tol，'r--'）;传奇（'没有预处理者'那'ichol preconditcher'那'宽容'那'地点'那'东'）xlabel（'迭代号'）ylabel（“相对残差”）

检查供应的效果min初步猜测解决方案。

创建一个三对角稀疏矩阵。用每一行的和作为右边的向量 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$所以预期的解决方案 $\mathit{X}$是一个矢量。

n = 900;e =那些（n，1）;a = spdiags（[e 2 * e e]， -  1：1，n，n）;b = sum（a，2）;

用min解决 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$两次：有一次默认初始猜测，并且有一次初始猜测解决方案。使用200个迭代和两个解决方案的默认容差。金宝搏官方网站将第二种解决方案中的初始猜测指定为向量，其中所有元素等于0.99．

maxit = 200;X1 =尖min（A，B，[]，MAXIT）;

Minres在迭代27时收敛到一个相对残差为9.5e-07的解。

x0 = 0.99 * e;x2 = minres（a，b，[]，maxit，[]，[]，x0）;

尖雷斯在迭代7中融合到具有相对残留的6.7e-07的溶液。

在这种情况下，提供初始猜测min更快地聚合。

x0 =零（尺寸（a，2），1）;tol = 1e-8;maxit = 100;为了k = 1：4 [x，标志，relres] = minres（a，b，tol，maxit，[]，[]，x0）;x（：，k）= x;r（k）= relres;x0 = x;结尾

通过提供解一个线性方程组min使用计算的函数句柄斧头代替系数矩阵一种．

由威尔金森测试矩数之一产生画廊是一个21×21的三角形矩阵。预览矩阵。

a =画廊（'威尔克'，21）

A =21×2110 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 8 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01210.0.0.0.0.0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋮

威尔金森矩阵具有特殊结构，因此您可以代表操作斧头功能手柄。什么时候一种乘以向量，得到的矢量中的大多数元素是零。结果中的非零元素对应于非零三角形元素一种．此外，只有主对角线具有不等于1的非安利斯。

表达方式 $\mathrm{斧头}$成为：

$\mathrm{斧头}=\left[\begin{array}{cccccccccc}10& 1& 0.& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0.& 0.\\ 1& 9.& 1& 0.& & & & & & 0.\\ 0.& 1& 8.& 1& 0.& & & & & ⋮\\ ⋮& 0.& 1& 7.& 1& 0.& & & & \\ & & 0.& 1& 6.& 1& 0.& & & ⋮\\ ⋮& & & 0.& 1& 5.& 1& 0.& & \\ & & & & 0.& 1& 4.& 1& 0.& ⋮\\ ⋮& & & & & 0.& 1& 3.& \ddots & 0.\\ 0.& & & & & & 0.& \ddots & \ddots & 1\\ 0.& 0.& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0.& 1& 10\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathit{X}}_1\\ {\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_{3.}\\ {\mathit{X}}_{4.}\\ {\mathit{X}}_{5.}\\ ⋮\\ \\ ⋮\\ \\ {\mathit{X}}_{21}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}10{\mathit{X}}_1+{\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_1+9.{\mathit{X}}_2+{\mathit{X}}_{3.}\\ {\mathit{X}}_2+8.{\mathit{X}}_{3.}+{\mathit{X}}_{4.}\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{19}+9.{\mathit{X}}_{20.}+{\mathit{X}}_{21}\\ {\mathit{X}}_{20.}+10{\mathit{X}}_{21}\end{array}\right]$．

得到的向量可以写成三个向量的总和：

$\mathrm{斧头}=\left[\begin{array}{c}0.+10{\mathit{X}}_1+{\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_1+9.{\mathit{X}}_2+{\mathit{X}}_{3.}\\ {\mathit{X}}_2+8.{\mathit{X}}_{3.}+{\mathit{X}}_{4.}\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{19}+9.{\mathit{X}}_{20.}+{\mathit{X}}_{21}\\ {\mathit{X}}_{20.}+10{\mathit{X}}_{21}+0.\end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{c}0.\\ {\mathit{X}}_1\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{20.}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}10{\mathit{X}}_1\\ 9.{\mathit{X}}_2\\ ⋮\\ 10{\mathit{X}}_{21}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\mathit{X}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{21}\\ 0.\end{array}\right]$．

在Matlab®中，写一个创建这些向量的函数并将它们添加在一起，从而提供值斧头：

功能y = afun（x）y = [0;x（1:20）] +．．．[（10：-1：0）';（1:10）']。* x +．．．[x（2:21）;0];结尾

（此函数在示例结束时保存为本地功能。）

现在，解线性方程组 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$通过提供min使用函数处理来计算斧头．使用宽容1 e-12和50次迭代。

b = ins（21,1）;tol = 1e-12;maxit = 50;X1 =迷你（@ Afun，B，Tol，Maxit）

喇叭蛋白酸在迭代11中收敛到具有相对残留的4.1e-16的溶液。

x1 =21×10.0910 0.0990 0.0999 0.1109 0.1109 0.1241 0.1443 0.1544 0.2383 0.1309 0.5000⋮

检查一下Afun（x1）生成一个矢量。

Afun（x1）

ans =.21×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000⋮

功能y = afun（x）y = [0;x（1:20）] +．．．[（10：-1：0）';（1:10）']。* x +．．．[x（2:21）;0];结尾