计算矩阵的逻辑单元分解，并检查产生的因子。逻辑单元分解是分解矩阵的一种方法 $\mathit{一个}$变成上三角矩阵 $\mathit{U}$，较低的三角形矩阵 $\mathit{l}$，以及置换矩阵 $\mathit{P}$这样 $\mathrm{pa}＝\mathrm{鲁}$．这些矩阵描述了对矩阵进行高斯消去的步骤，直到它成为行简化阶梯形。的 $\mathit{l}$矩阵包含所有乘子，和排列矩阵 $\mathit{P}$行交换的原因。

创建一个3 × 3矩阵并计算LU因子。

A = [10 -7 0 -3 2 6 5 -1 5];

陆[L U] = (A)

l =3×3-0.3000 -0.0400 1.0000 0.5000 1.0000 0

U =3×310.0000 -7.0000 0 0 2.5000 5.0000 0 0 6.2000

将因素乘以重新创建一个．使用双输入语法，鲁合并排列矩阵P直接进入l因素，使l被归还真的是p'* l因此一个= L * U．

L * U

ans =3×310.0000 -7.0000 0 -3.0000 2.000 6.0000 5.0000 -1.0000 5.0000

您可以指定三个输出来分离排列矩阵和中的乘数l．

[l，u，p] = lu（a）

l =3×31.0000 00 0.5000 1.0000 0 -0.3000 -0.0400 1.0000

U =3×310.0000 -7.0000 0 0 2.5000 5.0000 0 0 6.2000

P =3×31 0 0 0 0 1 0 1 0

p'* l * u

ans =3×310.0000 -7.0000 0 -3.0000 2.000 6.0000 5.0000 -1.0000 5.0000

通过执行逻辑单元分解和使用因子来简化问题来解决一个线性系统。将结果与使用反斜杠操作符和的其他方法进行比较分解目的。

创建一个5乘5的神奇方阵，并解决线性系统 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$所有的元素b等于65，神奇的和。因为65是这个矩阵的神奇和(所有的行和列加起来等于65)，所以期望的解是x是1s的向量。

一个=魔法(5);b = 65 * 1(5、1);x = A \ b

X =5×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

对于一般的方阵，反斜杠运算符使用LU分解计算线性系统的解。LU分解表达一个作为三角形基质的产物，使用替代公式容易解决涉及三角形基质的线性系统。

要重新创建由反斜杠计算的答案，请计算LU分解一个．然后，利用因子求解两个三角线性方程组:

y = L \ (P * b);x = U \ y;

在解决线性系统之前预先计算矩阵因子的这种方法可以在许多线性系统解决时提高性能，因为分子只发生一次并且不需要重复。

[l，u，p] = lu（a）

l =5×51.0000 0000 0.7391 1.0000 000 0.4783 0.7687 1.0000 00 0.1739 0.2527 0.5164 1.0000 0 0.4348 0.4839 0.7231 0.9231 1.0000

U =5×523.0000 5.0000 7:0000 14.0000 16.0000 0 20.3043 -4.1739 -23478 3.1739 0 0 2 24.8608 -2.8908 -1.0921 0 0 0 19.6512 18.9793 0 0 0 0 -22.2222

P =5×50 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0

y = L \ (P * b);x = U \ y

X =5×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

的分解Object也很有用来解决使用专业分解的线性系统，因为您获得了预先计算矩阵因子的许多性能效益，但您不需要知道如何使用这些因素。使用分解对象使用'鲁'类型重新创建相同的结果。

da =分解（a，'鲁'）;x = dA \ b

X =5×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

计算稀疏矩阵的逻辑单元分解并验证其恒等式l * u = p * s * q．

创建Buckminster-Fuller圆顶的连通图的60 × 60稀疏邻接矩阵。

s = bucky;

的逻辑单元分解年代使用具有四个输出的稀疏矩阵语法返回行和列置换矩阵。

[l，u，p，q] = lu（s）;

对的行和列进行置换年代与P * *并比较乘以三角形因素的结果L * U．它们差异的1-范数在舍入误差范围内，表明l * u = p * s * q．

e = p * s * q  -  l * u;常量（e，1）

ans = 5.7732e-15

计算一个矩阵的LU分解。通过将行排列返回为向量而不是矩阵来节省内存。

创建一个1000 × 1000的随机矩阵。

a = rand（1000）;

使用存储为矩阵的置换信息计算LU分解P．将结果与存储为向量的置换信息进行比较p．矩阵越大，使用排列向量的内存效率就越高。

[l1，u1，p] = lu（a）;[L2，U2，P] = Lu（a，'向量'）;谁是Pp

Name Size Bytes Class Attributes P 1000x1000 8000000 double P 1x1000 8000 double

使用置换向量还可以节省后续操作的执行时间。例如，您可以使用前面的逻辑单元分解来解线性系统 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$．虽然从排列向量和排列矩阵得金宝搏官方网站到的解是等价的(直到舍入)，但使用排列向量的解通常需要更少的时间。

比较计算稀疏矩阵的LU分解的结果，而无需列置换。

加载West0479.矩阵，它是一个实值479 × 479稀疏矩阵。

负载West0479.一个= west0479;

计算的LU分解一个通过调用鲁有三个输出。生成L和U因素的间谍图。

[l，u，p] = lu（a）;子图（1,2,1）间谍（L）标题（'l factor'）子图（1,2,2）间谍（U）标题（“U因子”）

现在，计算LU分解一个使用鲁具有四个输出，允许列的列一个减少因子中非零的数量。与不使用列排列相比，产生的因素要少得多。

[l，u，p，q] = lu（a）;子图（1,2,1）间谍（L）标题（'l factor'）子图（1,2,2）间谍（U）标题（“U因子”）