找到5×5帕斯卡矩阵的QR分解。指定一个输出参数，只返回三角形因子。

一个=帕斯卡(5);X = qr (A)

X =5×5-2.2361 -6.7082 -15.6525 -31.3050 -56.3489 0.3090 3.1623 11.0680 26.5631 53.1263 0.3090 -0.1744 1.8708 7.4833 19.2428 0.3090 -0.4565 0.3548 0.6325 2.8460 0.3090 -0.7387 -0.0281 -0.7490 -0.1195

提取上三角因子R从X．

r = triu（x）

r =5×5-2.2361 -6.7082 -15.6525 -31.3050 -56.3489 0 3.1623 11.0680 26.5631 53.1263 0 0 1.8708 7.4833 19.2428 0 0 0 0.6325 2.8460 0 0 0 -0.1195

比较R在无q的QR分解中R在完整的QR分解中。

[Q1，R1] = QR（A）

Q1 =5×5-0.4472 -0.6325 0.5345 -0.3162 -0.1195 -0.4472 -0.3162 -0.2673 0.6325 0.4781 -0.4472 0.0000 -0.5345 -0.0000 -0.7171 -0.4472 0.3162 -0.0673 -0.6320.4781-0.4472 0.6325 0.6325 0.6325 0.5320 0.3162 -0.190.3162 -0.190.3162 -0.190.6325 0.5345 0.3162 -0.1190

R1 =5×5-2.2361 -6.7082 -15.6525 -31.3050 -56.3489 0 3.1623 11.0680 26.5631 53.1263 0 0 1.8708 7.4833 19.2428 0 0 0 0.6325 2.8460 0 0 0 -0.1195

通过指定两个输出参数来计算魔术方测试矩阵的全QR分解。

a =魔术（5）;[q，r] = qr（a）

Q =5×50.5234 0.5058 0.6735 0.1215 -0.0441 -0.7081 -0.6966 -0.0177 0.0815 -0.0800 - 1231 0.1367 -0.3558 -0.6307 - 6646 -0.3079 0.1911 -0.4122 -0.4247 0.7200 -0.3387 0.4514 -0.4996 0.6328 -0.1774

r =5×5-32.4808 -26.6311 -21.3973 -23.7063 -25.8615 0 19.8943 12.3234 1.9439 4.0856 0 0 -24.3985 -11.6316 -3.7415 0 0 0 0 0 -20.0982 -9.9739 0 0 0 0 0 -16.0005

验证 $\mathit{一个}＝\mathrm{QR.}$，在机器精度范围内。

常态（A-Q * R）

ans = 9.5562e-15

属性中指定三个输出参数以返回减少填充的排列矩阵或向量RQR分解的因子。

计算QR分解west0479稀疏矩阵。指定三个输出以返回满足的排列矩阵 $\mathrm{美联社}＝\mathrm{QR.}$．

负载west0479A = West0479;[q，r，p] = qr（a）;

验证* P = * R对于排列矩阵P，在机器精度范围内。

规范(* p q * R,'fro'）

ans = 3.3386e-10

现在指定'向量'选择返回p作为排列载体。

[q，r，p] = qr（a，'向量'）；

验证A（：，p）= q * r对于排列向量p，在机器精度范围内。

规范(:p - Q * R,'fro'）

ans = 3.3386e-10

验证在分解中的使用置换矩阵或置换向量导致R与非排列分解相比，稀疏输入具有更少的非零因子。

[Q1，R1] = QR（A）;间谍（R1）

spy（r）

结果表明，允许的分解产生了一个R因素较少的因素较少。

使用系数矩阵的经济性QR分解来解决线性系统 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$．

的前五列创建一个10乘5的系数矩阵魔法(10)．对于线性方程的右侧 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$，使用矩阵的行和。有了这样的设置，方程的解 $\mathit{x}$应该是一个矢量的矢量。

一个=魔法(10);= (: 1:5)

一个=10×592 99 1 8 15 98 80 7 14 16 4 81 88 20 22 85 87 19 21 3 86 93 25 2 9 18 24 76 83 90 23 5 82 89 91 79 6 13 95 97 10 12 94 96 78 11 18 100 77 84

b = sum（a，2）

B =10×1215 215 215 215 215 290 290 290 290 290

计算经济大小的QR分解一个．然后解决线性系统 $\mathrm{qrx.}＝\mathit{b}$与x（p，：）= r \（q \ b）．因为问是正交的，这种等式与: x (p) = R \(问‘* b)．

[q，r，p] = qr（a，0）

Q =10×5-0.0050 -0.4775 -0.0504 0.5193 -0.0349 -0.5001 -0.0990 -0.1954 - 2006 -0.4384 0.1059 -0.4660 - 0.4464 0.0628 -0.0947 -0.4151 -0.2923 -0.2542 0.5274 -0.1246 -0.4117 -0.2812 -0.1326 -0.4130 -0.3787 0.0209 - 0.2702 -0.4085 -0.0017 0.2217 -0.2450 -0.2015 -0.0648 -0.3925 - 0.6939 0.0669 - 0.1225 -0.4683 0.0833 0.0283 -0.3038 0.5265 -0.49820。0867 0.0394 -0.1822 -0.4138

r =5×5-200.7112 -55.5026 -167.6040 -84.7237 -168.7997 0 -192.1053 -403557 -152.4040 -39.2814 0 0 101.3180 -89.4254 96.0172 0 0 0 41.0248 -14.9083 0 0 0 0 24.6386

p =1×53 1 5 2 4

x（p，：）= r \（q \ b）

X =5×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

做对角线的半对数图R以确定排列分解产生的R因子为ABS（DIAG（R））减少。绘制的奇异值一个在相同的曲线中进行比较。在实践中，对角线值R的奇异值具有类似的行为一个．因此，可以使用的对角线值R作为如何接近奇异的矩阵的措施一个是多少。

semilogy (abs(诊断接头(R)),“o”） 抓住在半径（SVD（A），'r-o'） 传奇（R的对角线，“A的奇异值”）

解决稀疏的线性系统并使用结果看看矢量的数量b的列空间年代．

创建一个随机的500 × 20稀疏矩阵，密度为10%，向量为1。使用QR.把矩阵分解成因子R和C =问' * b．

s = sprand（500,20,0.1）;b = oon（500,1）;[c，r] = qr（s，b，0）;

使用结果解决 $\mathrm{SX.}＝\mathit{b}$与x = r \ c．

x = r \ c;

考虑到身份 ${\Vert \mathit{b}\Vert }^2＝{\Vert \mathrm{SX.}-\mathit{b}\Vert }^2+{\Vert \mathit{C}\Vert }^2$．

划分的b，你得到了一个新的身份，展示了多少b的列空间年代：

$\frac{{\Vert \mathrm{SX.}-\mathit{b}\Vert }^2}{{\Vert \mathit{b}\Vert }^2}+\frac{{\Vert \mathit{C}\Vert }^2}{{\Vert \mathit{b}\Vert }^2}＝1$．

第一项告诉我们有多少b才不是位于的列空间中年代，而第二个词讲述了多少b做位于的列空间中年代．

t1 =常规（s * x-b）^ 2 / norm（b）^ 2

t1 = 0.4000

T2 =常规（c）^ 2 / narm（b）^ 2

T2 = 0.6000.

使用QR.解决矩阵方程 $\mathrm{SX.}＝\mathit{B}$用矩形稀疏系数矩阵表示 $\mathit{年代}$．

加载west0479稀疏矩阵并使用前200列作为线性系统中的矩形系数矩阵。对于方程的右侧，使用行和 $\mathit{年代}$．有了这样的设置，解 $\mathrm{SX.}＝\mathit{B}$是一个1的向量。

负载west0479S = West0479（：，1：200）;b =总和（s，2）;

解决 $\mathrm{SX.}＝\mathit{B}$使用QR.有两个输入和三个输出。线性方程组的解是x = p *（r \ c）．

[P C R] = qr(年代,B);x = P * (R \ C);

验证 $\mathrm{SX.}-\mathit{B}＝0$，在机器精度范围内。

规范(S *取向)

ans = 9.1703e-11

笔记：计算上三角因子R和排列矩阵P，但避免计算正交矩阵问（这通常是最昂贵的昂贵部分QR.)，您可以指定B作为一个空矩阵:

emptyB = 0(大小(年代,1),0);(~ R P) = qr(年代,emptyB);