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polyeg.

多项式特征值问题

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句法

e = polyeig (A0, A1,…,美联社)
[x，e] = Polyeg（A0，A1，...，AP）
[X, e s] = polyeig (A0, A1,…,美联社)

描述

例子

E.= Polyeg（A0, A1,…,美联社）返回特征值为多项式特征值问题的程度P.．

例子

[X那E.) = polyeig (A0, A1,…,美联社）还返回矩阵X的大小N.——- - - - - -n * p.，其列是特征向量。

例子

[X那E.那S.) = polyeig (A0, A1,…,美联社）此外返回向量S.，长度p * n，包含特征值的条件数。至少一个A0和AP必须是非说法的。大的条件数字意味着问题与重复的特征值有关。

例子

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解决涉及质量矩阵的二次特征值问题m阻尼矩阵C、刚度矩阵K.．这种二次特征值问题来自运动方程：

m D. 2 y D. T. 2 + C D. y D. T. + K. y = F （ T. ）

这个方程适用于大范围的振动系统，包括动态质量-弹簧系统或RLC电子网络。最根本的解决办法是 y （ T. ） = X E. λ T. ，这两者都是 λ 和X必须解决二次特征值问题(QEP)

（ m λ 2 + C λ + K. ） X = 0.

创建系数矩阵m那C,K.代表具有四个自由度的质量弹簧系统。系数矩阵是所有对称的和正半纤维，和m是一个对角矩阵。

M = diag([3 1 3 1])
m =4×43 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1
C = [0.4 0 -0.3 0;0 0 0 0;-0.3 0 0.5 -0.2;0 0 -0.2 0.2]
C =4×40.4000 0 -0.3000 0 0 0 0 0 -0.3000 0 0.5000 -0.2000 0 0 -0.2000 0.2000
k = [-7 2 4 0;2 -4 2 0;4 2 -9 3;0 0 3 -3]
K =4×4-7 2 4 0 2 -4 2 0 4 2 -9 3 0 0 3

用下列方法求解特征值、特征向量和条件数的QEPpolyeg.．

[X, e s] = polyeig (K、C、M)
X =4×80.1828 0.3421 0.3989 -0.0621 0.3890 -0.4143 0.4575 -0.4563 0.3530 -0.9296 0.3330 0.8571 -0.6366 -0.2717 0.4981 -0.4985 -0.5360 -0.0456 -0.1724 -0.3509 -0.3423 0.1666 0.5106 -0.5107 0.7448 0.1295 -0.8368 0.3720 0.5712 0.8525 0.5309 -0.5315
e =8×1-2.4498 -2.1536 -1.6248 2.2279 2.0364 1.4752 0.3353 -0.3466
s =8×10.5813 0.8609 1.2232 0.7855 0.7012 1.2922 10.1097 10.0519

检查第一个特征值，e (1)和第一个特征向量，X (: 1)，满足QEP方程。结果接近但不完全是零。

lambda = e（1）;x = x（：，1）;（m * lambda ^ 2 + c * lambda + k）* x
ans =.4×110.-14× -0.2665 0.2442 0.1776 -0.0222

输入参数

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方形系数矩阵，指定为单独的参数。矩阵必须具有相同的顺序，N.．

数据类型：单身的|双倍的
复数支持：金宝app是的

输出参数

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特征值，作为向量返回。

特征向量，在矩阵的列中返回。第一个特征向量是X (: 1)，第二个是X (:, 2)， 等等。

条件号，作为向量返回。条件号码S.对应于类似的特征值E.．大的条件数表明问题接近于具有重复特征值。

更多关于

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多项式特征值问题

多项式特征值问题是标准特征值问题的一种变体，一种X=λ.X，而是涉及多项式而不是线性项。

与标准特征值问题一样，该解决方案涉及找到满足方程的特征值和特征向量，

（ 一种 0. + λ 一种 1 + ...... + λ P. 一种 P. ） X = 0. 那

多项式次，P.，是一个非负整数，和A0，A1，... AP是顺序的方形系数矩阵N.．

最常见的形式是二次多项式特征值问题

（ 一种 2 λ 2 + 一种 1 λ + 一种 0. ） X = 0. ．

二次特征值问题与标准（或广义）特征值问题的一个主要区别是可以有2N特征值为2N右和左特征向量。在有超过的​​情况下N.特征向量，特征向量不形成线性独立的集合。看［1］和[2]有关二次特征值问题的更详细信息。

提示

  • polyeg.处理下列简化个案:

    • p = 0， 要么Polyeg（a），是标准的特征值问题，eig (A)．

    • p = 1， 要么polyeig (A, B)，是广义特征值问题，eig（a，-b）．

    • n = 0.， 要么Polyeg（A0，A1，...，AP），是标准多项式问题，根（[ap ... a1 a0]）， 在哪里a0, a1,…,美联社是标量。

算法

这polyeg.函数在广义特征值的计算中使用QZ因子分解来寻找中间结果。polyeg.使用中间结果来确定特征值是否被很好地确定。请参阅eig.和QZ.了解更多信息。

计算的解决方案可能不存在或金宝搏官方网站是唯一的，也可以计算地不准确。如果两者A0和AP是奇异的矩阵，那么问题可能是弊病的。如果只有一个A0和AP是单数的，那么一些特征值可能是0.或正．

缩放A0, A1,…,美联社具有常态（AI）约等于1可能会增加准确性polyeg.．然而，通常，这种提高的准确性无法实现。（见Tisseur.[3]详情)。

参考文献

[1] Dedieu，Jean-Pierre和Francoise Tisseur。“均匀多项式特征值扰动理论。”线性代数:。2003年第358卷，第71-94页。

[2] Tisseur，Francoise和Karl Meerbergen。“二次特征值问题。”暹罗牧师。第43卷，第2期，2001年，第235-286页。

[3]弗朗索瓦丝Tisseur。多项式特征值问题的后向误差和条件线性代数:。卷。309,2000，pp。339-361。

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