数学公式GydF4y2Ba

质量的位置GydF4y2Ba $$\mathrm{一世GydF4y2Ba}$$是GydF4y2Ba $$\mathrm{XGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba$$，水平坐标GydF4y2Ba $${\mathrm{XGydF4y2Ba}}_{\mathrm{1GydF4y2Ba}}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba$$和垂直坐标GydF4y2Ba $${\mathrm{XGydF4y2Ba}}_{\mathrm{2GydF4y2Ba}}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba$$。大量的GydF4y2Ba $$\mathrm{一世GydF4y2Ba}$$由于重力而具有势能GydF4y2Ba $$\mathrm{GGydF4y2Ba}\mathrm{mGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba{\mathrm{XGydF4y2Ba}}_{\mathrm{2GydF4y2Ba}}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba$$。春季的势能GydF4y2Ba $$\mathrm{一世GydF4y2Ba}$$是GydF4y2Ba $$\mathrm{kGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba（（GydF4y2Ba\mathrm{dGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba-GydF4y2Ba\mathrm{lGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba{）GydF4y2Ba}^{\mathrm{2GydF4y2Ba}}/GydF4y2Ba\mathrm{2GydF4y2Ba}$$， 在哪里GydF4y2Ba $$\mathrm{dGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba$$是质量之间的弹簧的长度GydF4y2Ba $$\mathrm{一世GydF4y2Ba}$$和质量GydF4y2Ba $$\mathrm{一世GydF4y2Ba}-GydF4y2Ba\mathrm{1GydF4y2Ba}$$。将锚点1作为质量0的位置，而锚点2作为质量位置GydF4y2Ba $$\mathrm{nGydF4y2Ba}+GydF4y2Ba\mathrm{1GydF4y2Ba}$$。先前的能量计算表明弹簧的势能GydF4y2Ba $$\mathrm{一世GydF4y2Ba}$$是GydF4y2Ba

$$\mathrm{eGydF4y2Ba}\mathrm{nGydF4y2Ba}\mathrm{eGydF4y2Ba}\mathrm{rGydF4y2Ba}\mathrm{GGydF4y2Ba}\mathrm{yGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba=GydF4y2Ba\frac{\mathrm{kGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba（（GydF4y2Ba”GydF4y2Ba\mathrm{XGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba-GydF4y2Ba\mathrm{XGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}-GydF4y2Ba\mathrm{1GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba”GydF4y2Ba-GydF4y2Ba\mathrm{lGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba{）GydF4y2Ba}^{\mathrm{2GydF4y2Ba}}}{\mathrm{2GydF4y2Ba}}$$。GydF4y2Ba

如Lobo中所述GydF4y2Ba[1]GydF4y2Ba。创建变量GydF4y2Ba $$\mathrm{tGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba$$等于术语的平方根GydF4y2Ba $$\mathrm{eGydF4y2Ba}\mathrm{nGydF4y2Ba}\mathrm{eGydF4y2Ba}\mathrm{rGydF4y2Ba}\mathrm{GGydF4y2Ba}\mathrm{yGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba$$。GydF4y2Ba

让GydF4y2Ba $$\mathrm{eGydF4y2Ba}$$成为单元柱向量GydF4y2Ba $$[[GydF4y2Ba\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{0GydF4y2Ba}}{\mathrm{1GydF4y2Ba}}这是给予的GydF4y2Ba$$。然后GydF4y2Ba $${\mathrm{XGydF4y2Ba}}_{\mathrm{2GydF4y2Ba}}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba=GydF4y2Ba{\mathrm{eGydF4y2Ba}}^{\mathrm{tGydF4y2Ba}}\mathrm{XGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba$$。问题变成了GydF4y2Ba

$$\underset{\mathrm{XGydF4y2Ba}，，，，GydF4y2Ba\mathrm{tGydF4y2Ba}}{\mathrm{最小GydF4y2Ba}}（（GydF4y2Ba\underset{\mathrm{一世GydF4y2Ba}}{\sum GydF4y2Ba}\mathrm{GGydF4y2Ba}\mathrm{mGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba{\mathrm{eGydF4y2Ba}}^{\mathrm{tGydF4y2Ba}}\mathrm{XGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba+GydF4y2Ba”GydF4y2Ba\mathrm{tGydF4y2Ba}{”GydF4y2Ba}^{\mathrm{2GydF4y2Ba}}）GydF4y2Ba。GydF4y2Ba$$（1）GydF4y2Ba

现在考虑GydF4y2Ba $$\mathrm{tGydF4y2Ba}$$作为自由向量变量，未由先前方程式给出GydF4y2Ba $$\mathrm{tGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba$$。结合关系GydF4y2Ba $$\mathrm{XGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba$$和GydF4y2Ba $$\mathrm{tGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba$$在新的锥体约束中GydF4y2Ba

$$”GydF4y2Ba\mathrm{XGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba-GydF4y2Ba\mathrm{XGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}-GydF4y2Ba\mathrm{1GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba”GydF4y2Ba-GydF4y2Ba\mathrm{lGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba\le GydF4y2Ba\sqrt{\frac{\mathrm{2GydF4y2Ba}}{\mathrm{kGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba}}\mathrm{tGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba。GydF4y2Ba$$（2）GydF4y2Ba

目标函数的变量尚未线性，如GydF4y2BaConeprogGydF4y2Ba。引入一个新的标量变量GydF4y2Ba $$\mathrm{yGydF4y2Ba}$$。注意不平等GydF4y2Ba $$”GydF4y2Ba\mathrm{tGydF4y2Ba}{”GydF4y2Ba}^{\mathrm{2GydF4y2Ba}}\le GydF4y2Ba\mathrm{yGydF4y2Ba}$$等同于不平等GydF4y2Ba

$$”GydF4y2Ba[[GydF4y2Ba\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{2GydF4y2Ba}\mathrm{tGydF4y2Ba}}{\mathrm{1GydF4y2Ba}-GydF4y2Ba\mathrm{yGydF4y2Ba}}这是给予的GydF4y2Ba”GydF4y2Ba\le GydF4y2Ba\mathrm{1GydF4y2Ba}+GydF4y2Ba\mathrm{yGydF4y2Ba}$$。（3）GydF4y2Ba

现在问题是最小化GydF4y2Ba

$$\underset{\mathrm{XGydF4y2Ba}，，，，GydF4y2Ba\mathrm{tGydF4y2Ba}，，，，GydF4y2Ba\mathrm{yGydF4y2Ba}}{\mathrm{最小GydF4y2Ba}}（（GydF4y2Ba\underset{\mathrm{一世GydF4y2Ba}}{\sum GydF4y2Ba}\mathrm{GGydF4y2Ba}\mathrm{mGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba{\mathrm{eGydF4y2Ba}}^{\mathrm{tGydF4y2Ba}}\mathrm{XGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba+GydF4y2Ba\mathrm{yGydF4y2Ba}）GydF4y2Ba$$（4）GydF4y2Ba

受锥体约束的约束GydF4y2Ba $$\mathrm{XGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba$$和GydF4y2Ba $$\mathrm{tGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba$$在（2）和其他锥体约束（3）中列出。锥约束（3）确保GydF4y2Ba $$”GydF4y2Ba\mathrm{tGydF4y2Ba}{”GydF4y2Ba}^{\mathrm{2GydF4y2Ba}}\le GydF4y2Ba\mathrm{yGydF4y2Ba}$$。因此，问题（4）等效于问题（1）。GydF4y2Ba

问题（4）中的目标函数和锥体约束适用于解决方案GydF4y2BaConeprogGydF4y2Ba。GydF4y2Ba

MATLAB®公式GydF4y2Ba

定义六个弹簧常数GydF4y2Ba $$\mathrm{kGydF4y2Ba}$$，六个长度常数GydF4y2Ba $$\mathrm{lGydF4y2Ba}$$和五个群众GydF4y2Ba $$\mathrm{mGydF4y2Ba}$$。GydF4y2Ba

k = 40*（1：6）;l = [1 1/2 1 2 1 1/2];m = [2 1 3 2 1];GydF4y2Ba

定义地球上的近似重力常数GydF4y2Ba $$\mathrm{GGydF4y2Ba}$$。GydF4y2Ba

G = 9.807;GydF4y2Ba

优化的变量是GydF4y2Ba $$\mathrm{XGydF4y2Ba}$$向量，六个组成部分GydF4y2Ba $$\mathrm{tGydF4y2Ba}$$向量，以及GydF4y2Ba $$\mathrm{yGydF4y2Ba}$$多变的。让GydF4y2BavGydF4y2Ba是包含所有这些变量的向量。GydF4y2Ba

使用这些变量，创建相应的目标函数向量GydF4y2BaFGydF4y2Ba。GydF4y2Ba

f =零（size（m））;f = [f; g*m];f = f（:);f = [f; zeros（length（k）+1,1）];f（end）= 1;GydF4y2Ba

创建与质量之间弹簧相对应的锥体约束（2）GydF4y2Ba

$$”GydF4y2Ba\mathrm{XGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba-GydF4y2Ba\mathrm{XGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}-GydF4y2Ba\mathrm{1GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba”GydF4y2Ba-GydF4y2Ba\mathrm{lGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba\le GydF4y2Ba\sqrt{\frac{\mathrm{2GydF4y2Ba}}{\mathrm{kGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba}}\mathrm{tGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba$$。GydF4y2Ba

这GydF4y2BaConeprogGydF4y2Ba求解器对可变矢量使用锥体约束GydF4y2Ba $$\mathrm{vGydF4y2Ba}$$以形式GydF4y2Ba

$$”GydF4y2Ba{\mathrm{一个GydF4y2Ba}}_{\mathrm{sGydF4y2Ba}\mathrm{CGydF4y2Ba}}\AA GydF4y2Ba\mathrm{vGydF4y2Ba}-GydF4y2Ba{\mathrm{bGydF4y2Ba}}_{\mathrm{sGydF4y2Ba}\mathrm{CGydF4y2Ba}}”GydF4y2Ba\le GydF4y2Ba{\mathrm{dGydF4y2Ba}}_{\mathrm{sGydF4y2Ba}\mathrm{CGydF4y2Ba}}^{\mathrm{tGydF4y2Ba}}\mathrm{vGydF4y2Ba}-GydF4y2Ba\mathrm{\gamma GydF4y2Ba}$$。GydF4y2Ba

在以下代码中，GydF4y2BaASCGydF4y2Ba矩阵代表术语GydF4y2Ba $$”GydF4y2Ba\mathrm{XGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba-GydF4y2Ba\mathrm{XGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}-GydF4y2Ba\mathrm{1GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba”GydF4y2Ba$$， 和GydF4y2Ba理学士GydF4y2Ba=GydF4y2Ba[0; 0]GydF4y2Ba。锥变量GydF4y2BaDSCGydF4y2Ba=GydF4y2Ba $$\sqrt{\mathrm{2GydF4y2Ba}/GydF4y2Ba\mathrm{kGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba}$$和相应的GydF4y2Ba伽玛GydF4y2Ba=GydF4y2Ba $$-GydF4y2Ba\mathrm{lGydF4y2Ba}（（GydF4y2Ba\mathrm{一世GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba。GydF4y2Ba$$

d =零（1，长度（f））;ASC = D;ASC（[1 3]）= [1 -1];a2 =圆形（ASC，1）;ASC = [ASC; A2];ml =长度（m）;dbase = 2*ml;BSC = [0; 0];GydF4y2Ba为了GydF4y2Bai = 2：ml伽马= -l（i）;dsc = d;dsc（dbase + i）= sqrt（2/k（i））;分子（i）= secondorderCone（ASC，BSC，DSC，伽马）;ASC =旋转（ASC，2,2）;GydF4y2Ba结尾GydF4y2Ba

如前面的代码中，创建与末端质量和锚点之间弹簧相对应的锥体约束。GydF4y2Ba

x0 = [0; 5];xn = [5; 4];ASC =零（size（asc））;ASC（1，（DBASE-1））= 1;ASC（2，dbase）= 1;bsc = xn;伽马= -l（ml）;dsc = d;dsc（dbase + ml）= sqrt（2/k（ml））;分子（ML + 1）= secondorderCone（ASC，BSC，DSC，Gamma）; Asc = zeros(size(Asc)); Asc(1,1) = 1; Asc(2,2) = 1; bsc = x0; gamma = -l(1); dsc = d; dsc(dbase + 1) = sqrt(2/k(1)); conecons(1) = secondordercone(Asc,bsc,dsc,gamma);

创建对应于GydF4y2Ba $$\mathrm{yGydF4y2Ba}$$多变的GydF4y2Ba

通过创建矩阵GydF4y2BaASCGydF4y2Ba当乘以GydF4y2BavGydF4y2Ba向量，给出向量GydF4y2Ba $$[[GydF4y2Ba\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{2GydF4y2Ba}\mathrm{tGydF4y2Ba}}{-GydF4y2Ba\mathrm{yGydF4y2Ba}}这是给予的GydF4y2Ba$$。这GydF4y2Ba理学士GydF4y2Ba向量对应于期限中的常数1GydF4y2Ba $$\mathrm{1GydF4y2Ba}-GydF4y2Ba\mathrm{yGydF4y2Ba}$$。这GydF4y2BaDSCGydF4y2Ba向量，当乘以GydF4y2BavGydF4y2Ba，返回GydF4y2Ba $$\mathrm{yGydF4y2Ba}$$。和GydF4y2Ba伽玛GydF4y2Ba=GydF4y2Ba $$-GydF4y2Ba\mathrm{1GydF4y2Ba}$$。GydF4y2Ba

ASC = 2*眼（长度（F））;ASC（1：dbase，:) = [];ASC（END，END）= -1;BSC =零（size（ASC，1），1）;bsc（end）= -1;dsc = d;dsc（end）= 1;伽马= -1;分子（ML+2）= secondorderCone（ASC，BSC，DSC，Gamma）;GydF4y2Ba

最后，创建对应于GydF4y2Ba $$\mathrm{tGydF4y2Ba}$$和GydF4y2Ba $$\mathrm{yGydF4y2Ba}$$变量。GydF4y2Ba

lb = -inf（size（f））;lb（dbase+1：end）= 0;GydF4y2Ba

解决问题和情节解决方案GydF4y2Ba

问题配方完成。通过打电话解决问题GydF4y2BaConeprogGydF4y2Ba。GydF4y2Ba

[V，FVAL，EXITFLAG，输出] = ConeProg（F，F，Conecons，[]，[]，[]，[]，[]，[]，LB）;GydF4y2Ba

找到最佳解决方案。GydF4y2Ba

绘制解决方案点和锚点。GydF4y2Ba

pp = v（1：2*ml）;pp = reshape（pp，2，[]）;pp = pp';情节（pp（：，1），pp（：，2），，GydF4y2Ba'ro'GydF4y2Ba） 抓住GydF4y2Ba上GydF4y2Baxx = [x0，xn]';绘图（xx（：，1），xx（：，2），，GydF4y2Ba'KS'GydF4y2Ba）xlim（[x0（1）-0.5，xn（1）+0.5]）ylim（[min（pp（pp（：，2）） -  0.5，max（x0（x0（2），xn（2），xn（2））+0.5]）xxx = [x0'; pp; xn'];绘图（xxx（：，1），xxx（：，2），，GydF4y2Ba'B--'GydF4y2Ba） 传奇（GydF4y2Ba“计算点”GydF4y2Ba，，，，GydF4y2Ba“锚点”GydF4y2Ba，，，，GydF4y2Ba“弹簧”GydF4y2Ba，，，，GydF4y2Ba'地点'GydF4y2Ba，，，，GydF4y2Ba“最好的”GydF4y2Ba） 抓住GydF4y2Ba离开GydF4y2Ba

您可以更改参数的值GydF4y2BamGydF4y2Ba，，，，GydF4y2BalGydF4y2Ba， 和GydF4y2BakGydF4y2Ba查看它们如何影响解决方案。您也可以更改质量的数量；该代码从您提供的数据中获取质量数量。GydF4y2Ba

参考GydF4y2Ba

[1] Lobo，Miguel Sousa，Lieven Vandenberghe，Stephen Boyd和HervéLebret。“二阶锥体编程的应用。”GydF4y2Ba线性代数及其应用GydF4y2Ba284，不。1-3（1998年11月）：193–228。GydF4y2Bahttps://doi.org/10.1016/s0024-3795(98)10032-0GydF4y2Ba。GydF4y2Ba