什么是莫尔斯小波?

广义莫尔斯小波是一类精确解析小波。分析小波是复值小波，其傅里叶变换仅在正实轴上支持。金宝app它们对分析调制信号很有用，调制信号是幅值和频率随时间变化的信号。它们对于分析局部不连续也很有用。广义莫尔斯小波的开创性论文是Olhede和Walden[1]．在Lilly和Olhede的一系列论文中进一步发展了摩尔斯小波理论及其在调制信号分析中的应用[２]，[3],[4]．计算莫尔斯小波及其性质的有效算法是由Lilly开发的［5］．

广义莫尔斯小波的傅里叶变换是

在哪里U(ω)是单位阶跃， $${\mathrm{一个}}_{p，\gamma }$$是一个归一化常数，P²是时间带宽的乘积，和 $$\gamma$$表征莫尔斯小波的对称性。很多关于莫尔斯小波的文献使用 $$\beta$$，它可以被视为衰减或紧凑性参数，而不是时间-带宽积， $$P^2＝\beta \gamma$$．傅里叶域中的莫尔斯小波方程参数化为 $$\beta$$而且 $$\gamma$$是

有关莫尔斯小波参数化的详细说明，请参见[２]．

通过调整莫尔斯小波的时频积和对称参数，可以得到具有不同性质和行为的解析小波。莫尔斯小波的一个优点是许多常用的解析小波是广义莫尔斯小波的特殊情况。例如，柯西小波 $$\gamma$$= 1，贝塞尔小波近似为 $$\beta$$= 8和 $$\gamma$$= 0.25。看到广义莫尔斯小波和解析Morlet小波．

莫尔斯小波参数

如前所述，莫尔斯小波有两个参数，对称性和时间-带宽积，它们决定小波的形状并影响变换的行为。莫尔斯小波参数， $$\gamma$$，通过解调偏度及时控制小波的对称性[２]．时间-带宽乘积的平方根，P，与小波持续时间在时间上成正比。为了方便起见，这里是摩尔斯小波类而且cwtfilterbank参数化为时间-带宽乘积和。持续时间决定了在时域小波的中心窗口的峰值频率上可以容纳多少个振荡。峰值频率是 $${（\frac{P^2}{\gamma }）}^{\frac{1}{\gamma }}$$．

当伽马等于3时，摩尔斯小波的(解调)偏度等于0。当伽马等于3时，摩尔斯小波也有最小的海森堡面积。基于这些原因，类而且cwtfilterbank使用此作为默认值。

参数值对莫尔斯小波形状的影响

这些图显示了对称性和时间带宽的不同值如何影响莫尔斯小波的形状。较长的时间带宽使小波的中心部分变宽，并增加了长时间衰减的速率。增加对称性可使小波包络变宽，但不影响长时间衰减。对于对称值小于或等于3，时间衰减随着时间带宽的增加而增加。对于对称性大于或等于3的小波，减小时间带宽会使小波不那么对称。随着小波对称性和时间带宽的增加，小波在时间上振荡更大，在频率上变窄。非常小的时间带宽和大的对称值会产生不需要的时域旁瓣和频域不对称。

解析莫尔斯小波与解析信号的关系

用解析小波对实信号进行小波变换得到的系数与相应解析信号的系数成正比。解析信号定义为的傅里叶反变换

解析信号的值取决于ω。

让 $$Wf（u，\mathrm{年代}）$$表示信号的小波变换，f (t)在翻译时u和规模年代．如果分析的小波是解析的，则得到 $$Wf（u，\mathrm{年代}）＝\frac{1}{2}W{f}_{\mathrm{一个}}（u，\mathrm{年代}）$$,在那里f_一个(t)解析信号对应于什么f (t)．对于所有的小波类，将每个尺度的小波带通滤波器峰值频率处的幅值设为2。此外,类使用L1归一化。对于弧度频率ω的实值正弦输入₀和振幅一个，使用解析小波变换的小波变换产生以相同频率振荡的系数，ω₀，振幅等于 $$\frac{\mathrm{一个}}{2}\stackrel{＾}{\psi }（\mathrm{年代}{\omega }_0）$$．通过分离尺度上的系数， $$\frac{{\omega }_{\psi }}{{\omega }_0}$$，峰值幅度为2保证所分析的振荡分量具有正确的振幅，一个．

分析小波变换与分析信号系数的比较

这个例子展示了一个实信号的解析小波变换如何近似于相应的解析信号。

这是用正弦波来演示的。如果使用解析小波得到正弦波的小波变换，并在与正弦波频率对应的尺度上提取小波系数，这些系数就近似于解析信号。对于正弦波，解析信号是相同频率的复指数。

创建一个频率为50赫兹的正弦波。

T = 0:.001:1;X = cos(2* *50*t);

利用解析莫尔斯小波和解析信号得到其连续小波变换。您必须有信号处理工具箱™才能使用希尔伯特．

[wt,f] = cwt(x,1000，“声音”32岁的“ExtendSignal”、假);Analytsig = hilbert(x);

得到最接近正弦波频率50hz的小波系数。

[~，idx] = min(abs(f-50));Morsecoefx = wt(idx，:);

将分析信号的实部和虚部与信号频率处的小波系数进行比较。

图;情节(t)[真实(morsecoefx)的实际(analytsig)]);标题(“真正的部分”）;ylim (2 [2]);网格在；传奇(“小波系数”，分析信号的，“位置”，“东南”）;包含(“时间”）;ylabel (“振幅”）;

图;情节(t,图像放大(morsecoefx)的图像放大(analytsig) '));标题(“虚部”）;ylim (2 [2]);网格在；传奇(“小波系数”，分析信号的，“位置”，“东南”）;包含(“时间”）;ylabel (“振幅”）;

类使用L1归一化和缩放小波带通滤波器的峰值幅度为2。上式中的因子1/2被峰值值抵消。

小波变换表示信号的频率局部化滤波。因此，CWT系数对噪声的敏感性低于希尔伯特变换系数。

在信号中加入高通噪声，重新检验小波系数和解析信号。

Y = x + filter(1，[1 0.9]，0.1*randn(size(x))));分析=希尔伯特(y);[wt,f] = cwt(y,1000，“声音”32岁的“ExtendSignal”, 0);Morsecoefy = wt(idx，:);图;情节(t)[真实(analytsig) ' x ']);传奇(分析信号的，原始信号的）;网格在；包含(“时间”）;ylabel (“振幅”）;ylim (2 [2])

图;情节(t)[真实(morsecoefy) ' x ']);传奇(“小波系数”，原始信号的）;网格在；包含(“时间”）;ylabel (“振幅”）;ylim (2 [2])

CWT的推荐莫尔斯小波设置

为了在使用CWT时获得最佳效果，请使用对称性， $$\gamma$$的默认值类而且cwtfilterbank．当gamma固定时，增加时间-带宽乘积 $$P^2$$在频率上缩小小波滤波器，同时在时间上增加滤波器中心部分的宽度。它还增加了滤波器中心部分下小波的振荡次数。

参考文献