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选择一个ODE解算器

常微分方程

一常微分方程（ODE）包含因变量的一个或多个导数，Y，对于单个自变量，T，通常称为时间。此处用于表示时间导数的符号Y关于T是 $Y'$ 对于一阶导数， $Y''$ 对于二阶导数，等等。的顺序常微分方程的导数等于的最高阶导数Y这出现在方程式中。

例如，这是一个二阶常微分方程：

$Y'' = 9 Y$

在一个初值问题， ODE从初始状态开始求解。利用初始条件， $Y_{0}$ ，以及获得答案的一段时间， $(T_{0}, T_{F})$ ，迭代获得解决方案。在每一步，解算器将特定算法应用于前一步的结果。在第一步，初始条件提供了允许积分继续进行的必要信息。最终结果是ODE解算器返回一个时间步向量 $T = [T_{0}, T_{1.}, T_{2.}, ..., T_{F}]$ 以及每个步骤的相应解决方案 $Y = [Y_{0}, Y_{1.}, Y_{2.}, ..., Y_{F}]$ ．

颂歌类型

MATLAB中的常微分方程求解器^®求解以下类型的一阶常微分方程：

形式的显式常微分方程 $Y' = F (T, Y)$ ．
线性隐式常微分方程 $M (T, Y) Y' = F (T, Y)$ ,在那里 $M (T, Y)$ 是一个非奇异质量矩阵。质量矩阵可以是时间或状态相关的，也可以是常数矩阵。线性隐式常微分方程涉及一阶导数的线性组合Y，它们被编码在质量矩阵中。
线性隐式ODE始终可以转换为显式形式， $Y' = M^{- 1.} (T, Y) F (T, Y)$ . 但是，将质量矩阵直接指定给ODE解算器可以避免这种转换，因为这种转换不方便，并且计算成本较高。
如果 $Y'$ 是缺失的，那么方程被调用了微分代数方程，或DAE，DAE系统包含一些代数变量。代数变量是因变量，其导数不会出现在方程中。DAE系统可以通过使用方程的导数来消除代数变量，从而重写为一阶常微分方程的等效系统。将DAE重写为常微分方程所需的导数数称为微分指数ode15s和ode23t解算器可以解算索引1 DAE。
形式的完全隐式颂歌 $F (T, Y, Y') = 0$ ．完全隐式ode不能以显式形式重写，可能还包含一些代数变量。的ode15i解算器专为完全隐式问题设计，包括索引1 DAE。

对于某些类型的问题，可以使用奥德塞特函数创建一个选项结构。

颂歌体系

您可以指定任意数量的耦合ODE方程进行求解，原则上，方程的数量仅受可用计算机内存的限制N方程，

$(\begin{matrix} Y'_{1.} \\ Y'_{2.} \\ ⋮ \\ Y'_{N} \end{matrix}) = (\begin{matrix} F_{1.} (T, Y_{1.}, Y_{2.}, ..., Y_{N}) \\ F_{2.} (T, Y_{1.}, Y_{2.}, ..., Y_{N}) \\ ⋮ \\ F_{N} (T, Y_{1.}, Y_{2.}, ..., Y_{N}) \end{matrix}),$

然后，对方程进行编码的函数返回一个带有N元素，对应于 $Y'_{1.}, Y'_{2.}, \dots, Y'_{N}$ ．例如，考虑二元方程组

${\begin{cases} Y'_{1.} = Y_{2.} \\ Y'_{2.} = Y_{1.} Y_{2.} - 2. ． \end{cases}$

编码这些方程的函数是

作用dy=myODE（t，y）dy（1）=y（2）；dy（2）=y（1）*y（2）-2；终止

高阶常微分方程

MATLAB ODE解算器只解一阶方程。必须使用通用替换将高阶ODE重写为一阶方程的等效系统

$\begin{array}{l} Y_{1.} = Y \\ Y_{2.} = Y' \\ Y_{3.} = Y'' \\ ⋮ \\ Y_{N} = Y^{(N - 1.)} ． \end{array}$

这些替换的结果是一个N一阶方程

${\begin{cases} Y'_{1.} = Y_{2.} \\ Y'_{2.} = Y_{3.} \\ ⋮ \\ Y'_{N} = F (T, Y_{1.}, Y_{2.}, ..., Y_{N}) ． \end{cases}$

例如，考虑三阶常微分方程

$Y''' - Y'' Y + 1. = 0$

使用替换

$\begin{array}{l} Y_{1.} = Y \\ Y_{2.} = Y' \\ Y_{3.} = Y'' \end{array}$

等效一阶系统的结果

${\begin{cases} Y'_{1.} = Y_{2.} \\ Y'_{2.} = Y_{3.} \\ Y'_{3.} = Y_{1.} Y_{3.} - 1. \end{cases}$

这个方程组的代码是

作用dydt=f（t，y）dydt（1）=y（2）；dydt（2）=y（3）；dydt（3）=y（1）*y（3）-1；终止

复赋

考虑复ODE方程

$Y' = F (T, Y),$

哪里 $Y = Y_{1.} + 我 Y_{2.}$ ．求解时，将实部和虚部分离成不同的解分量，最后将结果重新组合。概念上，这看起来像

$\begin{array}{l} Y v = [真实的 (Y) Imag (Y)] \\ F v = [真实的 (F (T, Y)) Imag (F (T, Y))] ． \end{array}$

例如，如果ODE是 $Y' = Y T + 2. 我$ ，则可以使用函数文件表示方程式：

函数f=complexf（t，y）f=y*t+2*i；结束

然后，分离实部和虚部的代码是

作用fv=想象极（t，yv）%从实部和虚部构造yY = yv(1) + i*yv(2);%评估功能yp=复合x（t，y）；%返回独立分量中的实部和虚部fv=[真实（yp）；图像（yp）]；终止

运行解算器以获得解时，初始条件y0也分为实部和虚部，为每个解分量提供一个初始条件。

y0 = 1 + i;yv0 =[真实(y0);图像放大(y0)];Tspan = [0 2];[t,yv] = ode45(@imaginaryODE, tspan, yv0);

获得解后，将实部和虚部组合在一起以获得最终结果。

y=yv（：，1）+i*yv（：，2）；

基本解算器选择

ode45在大多数ODE问题上表现良好，通常应该是您的首选解算器。但是，奥德23,奥德78,奥德89和奥德113可以比ode45对于精度要求较低或较严格的问题。

一些常微分方程问题刚度，或评估困难。刚度是一个无法精确定义的术语，但一般来说，当问题中某个地方的缩放比例存在差异时，就会出现刚度。例如，如果一个常微分方程有两个解分量，它们在完全不同的时间尺度上发生变化，那么方程可能很僵硬。如果使用非刚性解算器（例如ode45)无法解决问题或速度非常慢。如果观察到非刚性解算器非常慢，请尝试使用刚性解算器，如ode15s相反，当使用刚性解算器时，可以通过提供雅可比矩阵或其稀疏模式来提高可靠性和效率。

该表提供了关于何时使用每个不同求解器的一般指南。

解算器	问题类型	精确	什么时候使用
`ode45`	该方法	中等的	大多数时候。`ode45`应该是你第一个尝试解决问题的人。
`奥德23`		低	`奥德23`可以比`ode45`存在粗公差问题，或存在中等刚度。
`奥德113`		从低到高	`奥德113`可以比`ode45`在具有严格误差公差的问题上，或者当ODE函数的评估成本很高时。
`奥德78`		高的	`奥德78`可以比`ode45`对于具有高精度要求的平滑解决方案的问题。金宝搏官方网站
`奥德89`		高的	`奥德89`可以比`奥德78`在非常平滑的问题上，当积分时间间隔较长时，或当公差特别紧时。
`ode15s`	不易弯曲的	低至中等	尝试`ode15s`当`ode45`失败或效率低下，并且您怀疑问题严重。请使用`ode15s`求解微分代数方程（DAE）时。
`ode23s`		低	`ode23s`可以比`ode15s`在粗差公差的问题上，它可以解决一些难以解决的问题`ode15s`这是无效的。 `ode23s`计算每个步骤中的雅可比矩阵，因此通过`奥德塞特`最大限度地提高效率和准确性。如果有质量矩阵，它一定是常数。
`ode23t`		低	使用`ode23t`如果问题只是中等刚度，你需要一个没有数值阻尼的解。 `ode23t`可以解微分代数方程（DAE）。
`ode23tb`		低	就像`ode23s`这个`ode23tb`解算器可能比`ode15s`在粗差公差问题上。
`ode15i`	完全隐式	低	使用`ode15i`对于完全隐式问题f (t、y, y”)=0指数为1的微分代数方程（DAE）。

有关何时使用每个求解器的详细信息和进一步建议，请参见[5]．

ODE示例和文件的摘要

有几个示例文件可以作为大多数ODE问题的极佳起点。运行微分方程示例应用程序，它可以让你轻松地探索和运行示例，输入

odeexamples

要打开单个示例文件进行编辑，请键入

编辑exampleFileName.m

要运行示例，输入

示例文件名

此表包含可用ODE和DAE示例文件的列表，以及它们使用的解算器和选项。包含示例子集的链接，这些示例也直接发布在文档中。

示例文件	使用的解算器	指定的选项	描述	文档链接
`amp1dae`	`ode23t`	`“弥撒”`	刚性DAE -具有常数奇异质量矩阵的电路	求解微分代数方程
`选票`	`奥德23`	`“事件”` `“OutputFcn”` `“输出选择”` `“精炼”` `“初始步骤”` `“MaxStep”`	简单的事件地点-弹跳球	ODE事件位置
`巴托诺`	`ode45`	`“弥撒”`	具有与时间和状态相关的质量矩阵的常微分方程-指挥棒的运动	抛掷棒的运动方程的求解
`brussode`	`ode15s`	`“JPattern”` `“矢量化”`	僵硬的大问题-化学反应中的扩散（布鲁塞尔反应器）	解刚性常微分方程
`汉堡汽水`	`ode15s`	`“弥撒”` `“依赖性”` `“JPattern”` `“MvPattern”` `“雷托”` `“Absol”`	采用移动网格技术求解了具有强状态依赖质量矩阵的ODE - Burgers方程	用强状态相关质量矩阵求解ODE
`女性`	`ode15s`	`“弥撒”` `“依赖性”` `的雅可比矩阵`	含时质量矩阵的刚性问题——有限元法	—
`氧化铁`	`ode23s`	`“弥撒”`	常质量矩阵的刚性问题&有限元法	—
`HB1电极`	`ode15s`	—	在很长的时间间隔内解决刚性ODE问题-Robertson化学反应	—
`hb1dae`	`ode15s`	`“弥撒”` `“雷托”` `“Absol”` `“矢量化”`	来自守恒定律的刚性线性隐式DAE-Robertson化学反应	将Robertson问题作为半显式微分代数方程（DAE）求解
`ihb1dae`	`ode15i`	`“雷托”` `“Absol”` `的雅可比矩阵`	僵硬、完全隐式的DAE-Robertson化学反应	用隐式微分代数方程(DAEs)求解Robertson问题
`伊伯格代码`	`ode15i`	`“雷托”` `“Absol”` `的雅可比矩阵` `“JPattern”`	隐式ODE系统- Burgers方程	—
`基内奥德`	`ode15s`	`“非负”`	具有非负约束的膝关节问题	非负常微分方程解
`眶极`	`ode45`	`“雷托”` `“Absol”` `“事件”` `“OutputFcn”`	高级事件位置-受限三体问题	ODE事件位置
`里吉多德`	`ode45`	—	无外力刚体的非刚体欧拉方程	解非正则常微分方程
`vdpode`	`ode15s`	`的雅可比矩阵`	可参数化范德波尔方程(对于大的刚性μ)	解刚性常微分方程