最近，我收到了一位意大利学生的电子邮件。

我正在做一个手眼校准的项目。我找到了A，从相机到世界的转换，和B，从抓手到基地的转换。我想找出从夹持器到相机的转换。这是方程AX = XB的解。你能给我一些解这个方程的建议吗?

后来，我的记者自己找到了解决办法;他的矩阵只有4乘4，有一个解析解使用四元数。

但这个问题一直困扰着我。你如何解决A* x = x * b？这个方程是不适定的。在第2部分中，我将介绍两种求解方法。这两种方法都有严重的缺陷。首先，一些背景知识。

内容

非齐次Sylvester方程

标准的，非齐次的，西尔维斯特方程三个非零矩阵,一个，B,C．

A* x + x * b = c

这个方程是控制理论和函数的基础西尔维斯特(A, B, C)已经成为MATLAB的一部分很多年了。的帮助条目西尔维斯特没有提到任何条件，除了兼容的尺寸，在一个，B,C．在文档的末尾西尔维斯特就是这句话:

当a和-B的特征值不同时方程有唯一解。

如果我们故意违反这个条件B是——“，我们发现计算出的解爆炸了。让我们看看这个矩阵

A =画廊(3)

一个=

-149 -50 -154 537 180 546 -27 -9 -25

它不是很明显，但是这个矩阵的构造使得它的特征值是1 2和3。

e = eig(A)

e =

1.0000 2.0000 3.0000

现在来解希尔维斯特方程，故意违反这个条件一个而且- b没有任何相同的特征值。

X = sylvester(A，-A'，眼睛(3))

解是无穷大的，但舍入给了我们1 /每股收益．

X =

1.0 e + 15 *

-0.8519 1.1016 0.4883 1.1016 -1.4822 -0.6330 0.4883 -0.6330 -0.2726

我将利用这种行为的方法之一。

齐次Sylvester方程

如果我取C等于0，然后翻转符号B，则西尔维斯特方程为

(1) a * x = x * b

这是我们的均匀西尔维斯特方程，我已经标记好了(1）．事实证明(1）有非零解的当且仅当一个而且B至少有一个共同的特征值。没有任何要求排名解决方案X，但很明显，这个秩不能超过特征值的数量一个而且B有共同之处。

方程(1）是一个线性方程。如果X而且Y是解决方金宝搏官方网站案吗*X + *Y对于任何标量α而且β．

为了有兼容的尺寸，一个而且B必须是方形的，但大小不必相同。如果一个是m×m而且B是n×n,然后X是m×n的．

硅藻土的法律

我的科学计算基本法则是:

没有唯一解的问题是金宝搏官方网站不适定的．即使存在解，它们对扰金宝搏官方网站动也极其敏感。

方程(1）是姿势不当的典型代表。没有限制一个而且B时，唯一解为零。另一方面，如果一个而且B共享至少一个特征值，至少有一个解，但它不是唯一的，因为它可以重新规格化。线性无关解的数目取决于难以捉摸的代数和几何的多重性。金宝搏官方网站

B = 0

让我们来看看一些特殊版本的(1）．如果我们要编写一些通用软件，它将不得不处理所有这些情况。

如果B是零,(1）就变成了A* x = 0的零空间中的任意向量一个是一个解。求一个矩阵的零空间的最好方法是使用它的SVD。

B是对角线

如果B标量元素是对角线吗d,然后(1）就变成了A*x = d*x．有以下解决方案金宝搏官方网站d是特征值，但它们不是唯一的。

B = a '

任何矩阵和它的转置有相同的特征值，所以方程变成

(2) a * x = x * a '

这是齐次Sylvester方程最常见的形式。如果解是满秩的，那么X\ a *X = a '我们问什么时候是一个矩阵类似的对它的转置。

如果一个有一个完整的线性无关的特征向量集合，那么呢一个“．如果U \ A *= d =V \“* VD是对角线X = v / u是一个解决方案（2）．

如果A = j是任意特征值的乔丹块，令X = fliplr(眼(n))．然后X是一个解决方案（2）．

一个是对称的

如果A = A'，（2）有很多解，包括单位金宝搏官方网站矩阵，还有其他多项式吗一个，甚至功能像exp (t *)．

第二部分预览

这就足够了。在第二部分中，我将研究两种方法，一种使用Kronecker积，另一种使用逆迭代。下载188bet金宝搏这里是克罗内克产品的预览。下载188bet金宝搏

进一步的阅读

尼克·海厄姆写的一篇关于西尔维斯特方程灵敏度的文章。链接．

Olga Taussky和Hans Zassenhuas的一篇论文是关于X\ a *X = a '是对称的。链接．

一篇论文和Fortran软件由Alan Laub，我，和我们的三个学生A* x * b ' + c * x * d ' = e．链接，链接．

获取MATLAB代码

发布与MATLAB®R2020b