最近，我收到了一封来自意大利的学生的邮件。

我正在做一个手眼校准的项目。我发现了A，从相机到世界的转变，B，从夹具到基座的转变。我想找到从夹持器到摄像机的转换。这是方程AX = XB的解。你能给我点解这个方程的建议吗?

后来，我的记者自己找到了解决办法;他的矩阵只有4乘4，并且有一个使用四元数的解析解。

但是这个问题一直困扰着我。如何解决A * X = X *？这个方程是不适定的。在第二部分，我将描述两种方法来解决它。这两种方法都有严重的缺点。首先,一些背景。

内容

非齐次西尔维斯特方程

标准的，非齐次的，希尔维斯特方程三个非零矩阵,一个，B,C．

A* x + x * b = c

这个方程是控制理论和函数的基础西尔维斯特(A, B, C)已经成为MATLAB的一部分很多年了。的帮助条目西尔维斯特除了兼容尺寸外，没有提到任何条件，对吗一个，B,C．在文档的末尾西尔维斯特是这句话吗

当a和-B的特征值不同时，方程有唯一解。

如果我们故意违反这个条件B是——“，我们发现计算解爆炸了。我们看看这个矩阵

一个=画廊(3)

一个=

537 180 546 -27 -9 -25

这不是很明显，但是这个矩阵的构造使得它的特征值是1 2和3。

e = eig (A)

e =

1.0000 2.0000 3.0000

现在解西尔维斯特方程，故意违反条件一个和- b没有任何共同的特征值。

X =西尔维斯特(A, A’,眼(3))

解想要无穷大，但舍入给了我们1 /每股收益．

X =

1.0 e + 15 *

-0.8519 1.1016 0.4883 1.1016 -1.4822 -0.6330 0.4883 -0.6330 -0.2726

我将利用这种行为的方法之一。

齐次西尔维斯特方程

如果我取C等于零，然后改变符号B，希尔维斯特方程就变成了

(1) a * x = x * b

这是我们的均匀希尔维斯特方程，我标出来了（1）．事实证明（1）有非零解当且仅当一个和B至少有一个共同的特征值。没有什么是必需的排名解决方案的X，但很明显，这个等级不能超过那个特征值的数量一个和B有共同之处。

方程（1）是一个线性方程。如果X和Y是解决方金宝搏官方网站案，所以是αβ* X + Y *对于任何一个标量α和β．

为了有兼容的尺寸，一个和B必须是正方形，但大小不必相同。如果一个是m×m和B是n×n,然后X是m×n的．

硅藻土的法律

我的科学计算基本定律是:

没有独特解决方案的问题是金宝搏官方网站不适定的．即使存在解，它们对扰金宝搏官方网站动也非常敏感。

方程（1）是不适的典型代表。没有限制一个和B，唯一的解是零。另一方面，如果一个和B至少有一个特征值，至少有一个解，但它不是唯一的，因为它可以被重正化。线性无关解的个数依赖于难以捉摸的代数和几何重数。金宝搏官方网站

B = 0

让我们看看一些特殊的版本（1）．如果我们要编写一些通用的软件，它将不得不处理所有这些情况。

如果B是零,（1）就变成了* X = 0以及零空间中的任何向量一个是一个解决方案。求矩阵零空间的最好方法是使用SVD。

B是对角线

如果B对角线是标量元素吗d,然后（1）就变成了* x = d * x．有解决方案金宝搏官方网站d是一个特征值，但它们不是唯一的。

B =“

任何矩阵及其转置都有相同的特征值，所以方程就变成

(2) a * x = x * a '

这是齐次希尔维斯特方程最常见的形式。如果解的秩是满的，那么X \ * X =“我们问什么时候是一个矩阵类似的其转置。

如果一个有一个完整的线性无关的特征向量集合，那么也是吗一个“．如果U \ A *= D =V \“* VD是对角线X = V / U是解决方案(2）．

如果= J是任何特征值的约当块吗X = fliplr(眼(n))．然后X是解决方案(2）．

一个是对称的

如果=“，(2）有很多解，包括单位金宝搏官方网站矩阵，还有其他多项式吗一个，甚至功能类似exp (t *)．

第2部分预览

这就足够了。在第二部分，我将研究两种方法，一种使用Kronecker产品，另一种使用逆迭代。下载188bet金宝搏这是克罗内克产品的预览。下载188bet金宝搏

进一步的阅读

尼克·海厄姆写的一篇关于西尔维斯特方程敏感性的文章。链接．

Olga Taussky和Hans Zassenhuas的一篇论文关于X \ * X =“是对称的。链接．

一篇论文和Fortran软件由Alan Laub，我，和我们的三个学生A* x * b ' + c * x * d ' = e．链接，链接．

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