圣海伦斯火山和矩阵的秩有什么共同之处?答案是MATLAB函数山峰．让我解释一下。请耐心听我说——说来话长。

内容

圣海伦火山

圣海伦火山是位于俄勒冈州波特兰和华盛顿州西雅图附近的喀斯喀特山脉的活火山。她在1980年5月戏剧性地爆发了。火山爆发四年后，我搬到了俄勒冈州的比弗顿，加入了英特尔公司的一个分支，该公司正在开发世界上第一台商用并行计算机之一，iPSC．在比弗顿，我遇到了两个来自美国泰克当时，这家以示波器闻名的公司正试图进军计算机图形领域。这些人，他们的名字我不记得了，在画一个类似圣海伦斯火山的地表。这个曲面最终成为了MATLAB函数山峰，这是一个两个变量的函数，对于演示是很有用的冲浪，网，pcolor和轮廓．

small_fig clear P =山峰;冲浪(P)轴紧

排名显示分解

两个月前，我写了一篇博客关于秩显示矩阵分解，很难想到数组P我们从山峰作为一个线性变换和一个测试矩阵的表示，但它是。事实上，对于任何正整数n，山峰(n)是一个n——- - - - - -n矩阵。默认的已n= 49。

我很惊讶当我发现n> 2，秩山峰(n)只有3。

rankP =等级(P)

rankP = 3

C *发票(W) * R

MATLAB的排名计数非零奇异值，但我们也可以尝试分解P = C *发票(W) * R．我们打算使用车只适用于有整数项的小矩阵。这P既不小也不整，但这不能阻止我们。车还发现秩为3。

[C W R] =汽车(P);谁

c49x3 1176双P 49x49 19208双R 3x49 1176双W 3x3 72双rankP 1x1 8双

49-by-3矩阵C前三列是P和3 × 49矩阵R前三排是P．3 x3的矩阵W是他们的十字路口,P (1:3, 1:3)．这三种基质都安全的远离火山爆发。给你，有颜色的。

d = 1;n = 49;r = 3;s =[补丁([一维n + d n + d一维一维],[一维一维r + d r + d - d], [d d d d d],“c”)补丁((一维r + d r + d一维一维],[一维一维n + d n + d - d], [d d d d d],“y”)补丁((一维r + d r + d一维一维],[一维一维r + d r + d - d], [d d d d d],“米”));传奇(年代,{“C”，“R”，' W '}，“位置”,(。75．62．12．12]);

块C和R它们所包含的信息足以重建整个地表，这一事实不会轻易暴露出来吗P．

次要情节(2,1,1)情节(C,“。”，“线宽”, 1“markersize”12)标题(“C”次要情节(2,1,2)情节(R ',“。”，“线宽”, 1“markersize”12)标题(“R”）

山峰

这个函数山峰首先生成矩阵x和y这个样本在区间上是连续的实变量(3、3)．设置meshsizedx = 1/8导致n = 49．更小的网格尺寸导致更大的矩阵，但他们都有排名3。

dx = 1/8;(x, y) = meshgrid (3: dx: 3);

的核心山峰是这个公式，它一定和泰克公司的人在圣海伦斯火山上使用的那个公式很相似，这个公式并不总是生成一个低秩的矩阵。

exp(-(x.^2) -(y+1).^2)．..exp(-x.^2-y.^2) *exp(-x.^2-y.^2)．..- * exp (1/3 (x + 1)。^ 2 - y ^ 2);

排名

这篇文章的其余部分将致力于证明这一点排名(z) = 3．

这里有两个关于和和和点积的秩的重要事实。下载188bet金宝搏

特别地，如果A和B都是1，那么

再用形式表示

我们用这个函数把指数提出来。

E = @(x,a) exp(-(x+a) ^2);

所以,这是z一次。

z = 3 * (1 - x) ^ 2。* E (x, 0)。* E (y, 1)．..- 10*(x/5 - x.^3 - y.^5)。．..- - - - - - 1/3。* E (x) 1)。* E (y, 0);

让z1是第一项。

z1 = (3 * (1 - x) ^ 2)。* E (x, 0)。* E (y, 1);

排名(z1) = 1因为z1是三个矩阵的点积。没有求和。

让

zx = -10*(x/5 - x ^3).*E(x,0) -1 /3.*E(x,1);zy = (10 * y ^ 5)。* E (x, 0);

排名(zx) = 1因为zx不涉及y．

排名(zy) = 1因为zy是点积。

z2 = (zx + zy).*E(y,0);

Rank (z2) = (1 + 1)*1 = 2

Z = z1 + z2;

秩(z) = 1 + 2 = 3

检查

我原来的P仍然在工作空间中。

检验=范数(P - z,inf)

检查= 1.3517 e-14

得到MATLAB代码

MATLAB®R2020a发布