最近的流行YouTube频道的一集"blackpenredpen"关于著名方程的解决金宝搏官方网站方案

x^2 = 2^x

您应该能够自己看到两种解决方案，金宝搏官方网站X= 2和X= 4， 因为2^2 = 2^2和4^2 = 2^4。

This post is about a third solution.

内容

两个图

The figure shows the graphs ofX^2和2^x和their intersections. The narrow silver area is the only region the right half plane whereX^2大于2^x。

我们可以看到有三个交叉路口 - 我们知道的两个交叉点X= 2和X= 4和a third one at a negative value ofX。黑彭carefully explains how to characterize this negative solution.

black_pen_plot

The negative solution

I was pleased to learn that our Symbolic Math Toolbox can find all three solutions, provided we indicate that we are only interested in real-valued solutions. (The behavior ofx^2 = 2^x用于复杂X是另一天的话题。）

symsX真实的z = solve（x^2 == 2^x）

z = 2 4 -(2*lambertw(0, log(2)/2))/log(2)

我们想了解有关第三个解决方案的更多信息。

z = z（3）

z =  - （2*lambertw（0，log（2）/2））/log（2）

功能兰伯特（X）involved in this solution is an old friend,兰伯特功能。

对数

下图中的蓝色曲线是exp(x)。负数为零X并成倍增长以呈阳性X。想象一下，通过反射对角线虚线的蓝色曲线来互换X和Y轴以产生橙色曲线。橙色曲线很熟悉。它是功能逆的图exp(x)我们知道log（x）。如果y= log(x)然后x = exp（y）。

log_plot

当前释放的情节

兰伯特

下图中的蓝色曲线现在是x*exp（x）。Reflecting the blue curve about the diagonal produces the orange curve, a plot of the functional inverse ofx*exp（x）。此功能不像log（x）。这是兰伯特（X）。如果y =兰伯特（x）然后x = y*exp（y）。

我们需要评估y =兰伯特（x）在x = log（2）/2。这是黑点。一旦我们有X和y，对我们著名方程式的负面解决方案简直就是z = -y/x。

lambertw_plot

当前释放的情节

许多数字

The Symbolic Math Toolbox variable precision arithmetic,VPA，，，，can produce the numeric value of the negative solution to any number of digits.

z VPAZ = VPA（Z，75）

z =  - （2*lambertw（0，log（2）/2））/log（2）vpaz = -0.76666646959621230931120442510314484848484848484848484848484848466666666666698320584608460846084693555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555太样

固定点

Here is your homework. Investigate the iteration:

x =标志（x）*2^（x/2）

考虑三种情况：

Thanks

Thanks to Mark Round for suggesting only real solutions.

代码

可以使用这些数字的代码。

black_pen_plot

log_plot

lambertw_plot

获取MATLAB代码

Published with MATLAB® R2020b