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向量自回归(VAR)模型

一个向量自回归(VAR)模型多元时间序列模型是否包含一个系统n方程n不同的，平稳的响应变量作为滞后响应和其他术语的线性函数。VAR模型也有其程度的特征p；VAR中的每个方程(p)模型包含p系统中所有变量的滞后。

VAR模型属于一类多元线性时间序列模型向量自回归移动平均(VARMA)模型．虽然计量经济学工具箱™提供功能，以进行全面的VAR分析(p)模型(从模型估计到预测和模拟)，工具箱对VARMA类中的其他模型提供有限的支持。金宝app

一般来说，多元线性时间序列模型非常适合于:

  • 同时模拟几个平稳时间序列的运动。

  • 测量系统响应变量之间的延迟效应。

  • 测量外生级数对系统中变量的影响。例如，确定最近征收的关税是否显著影响几个计量经济学系列。

  • 同时生成响应变量的预测。

平稳多元时间序列模型的类型

本表包含多元线性时间序列模型的形式，并描述了计量经济学工具箱中支持的功能。金宝app

模型 缩写 方程 金宝app支持的功能
向量自回归 VAR (p）

y t ＝ c + ∑ j ＝ 1 p Φ j y t − j + ε t

  • 类表示模型varm对象:

    1. 通过使用为评估或完全指定的模型创建模板varm．

    2. 估计任何未知参数使用估计．

    3. 通过应用来使用完全指定的模型对象的功能．

  • 由VAR模型的VARMA系数矩阵(p，问)用arma2ar．

  • 给定的系数矩阵，用进行动态乘子分析armairf而且armafevd．
具有线性时间趋势的向量自回归 VAR (p）

y t ＝ c + δ t + ∑ j ＝ 1 p Φ j y t − j + ε t

类表示模型varm对象。估计所有其他的对象的功能金宝app支持这个模型。
带外源序列的向量自回归 VARX (p）

y t ＝ c + δ t + β x t + ∑ j ＝ 1 p Φ j y t − j + ε t

类表示模型varm对象。估计所有其他的对象的功能金宝app支持这个模型。
矢量移动平均 的影响(问）

y t ＝ c + ∑ k ＝ 1 问 Θ k ε t − k + ε t

  • 由VMA模型VARMA的系数矩阵(p，问)用arma2ma．

  • 给定的系数矩阵，用进行动态乘子分析armairf而且armafevd．
向量自回归移动平均 VARMA (p，问）

y t ＝ c + ∑ j ＝ 1 p Φ j y t − j + ∑ k ＝ 1 问 Θ k ε t − k + ε t

  • 由VAR或VMA模型的VARMA系数矩阵(p，问)用arma2ar或arma2ma,分别。

  • 给定的系数矩阵，用进行动态乘子分析armairf而且armafevd．
结构向量自回归移动平均 SVARMA (p，问）

Φ 0 y t ＝ c + ∑ j ＝ 1 p Φ j y t − j + ∑ k ＝ 1 问 Θ k ε t − k + Θ 0 ε t

与VARM金宝appA模型相同的支持

方程中出现以下变量:

  • yt是n-by-1的不同响应时间序列变量的向量t．

  • c是一个n-by-1矢量的常数偏移在每个方程中。

  • Φj是一个n——- - - - - -n矩阵，其中j= 1,…,p和Φp不是一个只包含0的矩阵。

  • xt是一个米-by-1向量的值对应于米外生变量或预测因素。除了滞后响应外，外生变量是系统的未建模输入。每个外生变量默认出现在所有响应方程中。

  • β是一个n——- - - - - -米回归系数矩阵。行j包含响应变量方程中的系数j，和列k包含外生变量的系数k在所有方程中。

  • δ是一个n线性时间趋势值的-by-1向量。

  • εt是一个n-by-1的随机高斯变换向量，每个均值为0，加起来为n——- - - - - -n协方差矩阵Σ。为t≠年代，εt而且ε年代是独立的。

  • Θk是一个n——- - - - - -nMA系数矩阵，其中k= 1,…,问和Θ问不是一个只包含0的矩阵。

  • Φ0和Θ0分别为AR和MA结构系数。

一般来说，时间序列yt而且xt是可观察的，因为你有代表这个级数的数据。的价值c，δ，β，自回归矩阵Φj并不总是为人所知。您通常希望这些参数适合您的数据。看到估计对于估计未知参数的方法或如何保持其中一些固定的值(设置等式约束)。创新εt在数据中无法观察到，但在模拟中可以观察到。

滞后运算符表示

在上表中，模型用差分方程表示。滞后运算符符号是多元线性时间序列方程的等价和更简洁的表示。

滞后算子l将时间指数降低一个单位:lyt＝yt1．操作员lj将时间索引减少为j单位:ljyt＝yt- - - - - -j．

在滞后算符形式下，SVARMAX(p，问)模型为:

（ Φ 0 − ∑ j ＝ 1 p Φ j l j ） y t ＝ c + β x t + （ Θ 0 + ∑ k ＝ 1 问 Θ k l k ） ε t ．

方程可以更简洁地表示为:

Φ （ l ） y t ＝ c + β x t + Θ （ l ） ε t ，

在哪里

Φ （ l ） ＝ Φ 0 − ∑ j ＝ 1 p Φ j l j

而且

Θ （ l ） ＝ Θ 0 + ∑ k ＝ 1 问 Θ k l k ．

稳定和可逆模型

多元AR多项式是稳定的如果

依据 （ 我 n − Φ 1 z − Φ 2 z 2 − .．. − Φ p z p ） ≠ 0 为 | z | ≤ 1.

当所有创新都等于零时，这个条件意味着VAR过程收敛于c作为t趋于无穷(有关更多细节，请参见[1]第二章)。

多元MA多项式是可逆的如果

依据 （ 我 n + Θ 1 z + Θ 2 z 2 + .．. + Θ 问 z 问 ） ≠ 0 为 | z | ≤ 1.

这个条件意味着VMA过程的纯VAR表示是稳定的(有关更多细节，请参阅[1]第11章)。

如果VARMA模型的AR多项式是稳定的，那么它就是稳定的。类似地，如果一个VARMA模型的MA多项式是可逆的，那么它就是可逆的。

带有外生输入的模型(例如VARMAX模型)没有明确定义的稳定性或可逆性概念。外生输入会使模型不稳定。

带回归分量的模型

通过在多元线性时间序列模型中包含回归组件，合并来自外生预测因子的反馈，或研究它们与响应序列的线性关联。以下是使用此类模型的应用程序的示例，按复杂性增加的顺序:

  • 模拟干预的效果，这意味着外生序列是一个指标变量。

  • 建模外源序列子集与每个响应之间的同期线性关联。应用包括CAPM分析和研究商品价格对需求的影响。这些应用程序是看似无关回归(SUR)的例子。详情请参见实现看似不相关的回归而且利用SUR估计资本资产定价模型．

  • 建模同期和滞后的外生序列和响应之间的线性关联，作为分布式滞后模型的一部分。应用包括确定货币增长的变化如何影响实际国内生产总值(GDP)和国民总收入(GNI)。

  • SUR和包括响应滞后效应的分布式滞后模型的任何组合，也称为联立方程模型。

VARX的一般方程(p)模型是

y t ＝ c + δ t + β x t + ∑ j ＝ 1 p Φ j y t − j + ε t

在哪里

  • xt是一个米-by-1向量的观测值米时间上的外生变量t．向量xt可包含滞后外生系列。

  • β是一个n——- - - - - -米回归系数向量。行j的β包含响应级数方程中的回归系数j对于所有外生变量。列k的β包含外生变量响应级数方程之间的回归系数k．该图显示了一个扩展回归组件的系统:

    ［ y 1 ， t y 2 ， t ⋮ y n ， t ］ ＝ c + δ t + ［ x 1 ， t β （ 1 ， 1 ） + ⋯ + x 米 ， t β （ 1 ， 米 ） x 1 ， t β （ 2 ， 1 ） + ⋯ + x 米 ， t β （ 2 ， 米 ） ⋮ x 1 ， t β （ n ， 1 ） + ⋯ + x 米 ， t β （ n ， 米 ） ］ + ∑ j ＝ 1 p Φ j y t − j + ε t ．

VAR模型工作流程

本工作流程描述了如何使用计量经济学工具箱VAR模型功能分析多元时间序列。如果您认为响应序列是协整的，请使用VEC模型功能(参见结果）.

  1. 加载、预处理和划分数据集。详情请参见多元时间序列数据格式．

  2. 创建一个varm描述VAR模型的model对象。一个varm模型对象是MATLAB®包含描述模型属性的变量，如AR多项式度p，响应维度n，和系数值。varm一定要能推断n而且p从您的规格;n而且p都是不可估量的。您可以在创建VAR模型后更新AR多项式的滞后结构，但不能更改n．

    varm允许您创建这些类型的模型:

    • 充分的说明了所有参数，包括系数和创新协方差矩阵，都是数值的模型。当经济理论指定了模型中所有参数的值，或者你想对参数设置进行实验时，可以创建这种类型的模型。在创建一个完全指定的模型之后，您可以将模型传递给所有人对象的功能除了估计．

    • 模型模板在这n而且p都是已知值，但所有系数和创新协方差矩阵都是未知的、可估计的参数。可估计参数对应的性质由南值。将模型模板和数据传递给估计以获得估计的(完全指定的)VAR模型。然后，您可以将估计的模型传递给任何其他对象函数。

    • 部分指定模型模板，其中一些参数是已知的，而另一些参数是未知的和可估计的。如果将部分指定的模型和数据传递给估计， MATLAB在优化过程中将已知参数值作为等式约束，对未知值进行估计。部分指定的模型非常适合执行以下任务:

      • 通过将系数设置为零来消除模型中的滞后。

      • 通过将响应方程中不希望出现的预测因子的回归系数设置为零，将预测因子子集与响应变量关联起来。

    详情请参见创建VAR模型．

  3. 对于参数未知且可估计的模型，将模型与数据拟合。看到模型与数据拟合而且估计．

  4. 通过迭代步骤2和步骤3找到合适的AR多项式度。看到选择合适的延迟顺序．

  5. 分析拟合模型。这一步包括:

    1. 确定响应系列是否会引起系统中的其他响应系列(参见gct）.

    2. 检验拟合模型的稳定性．

    3. 计算脉冲响应，这是基于时间序列输入的假设变化的预测。

    4. VAR模型预测通过获得最小均方误差预测或蒙特卡罗预测。

    5. 比较模型预测与抵制数据。有关示例，请参见VAR模型案例研究．

您的应用程序不必涉及此工作流中的所有步骤，并且您可以迭代其中的一些步骤。例如，您可能没有任何数据，但希望模拟来自完全指定模型的响应。

参考文献

[1]Lutkepohl, H。多重时间序列分析新导论．柏林:施普林格，2005。

另请参阅

对象

功能

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