卡尔曼

卡尔曼滤波器设计，卡尔曼估计

语法

[kest，L，P]=卡尔曼（sys，Qn，Rn，Nn） (k, L, P) =卡尔曼(sys、Qn Rn,神经网络、传感器、已知) [kest，L，P，M，Z]=卡尔曼（sys，Qn，Rn，…，type）

描述

卡尔曼在给定对象的状态空间模型以及过程和测量噪声协方差数据的情况下，设计卡尔曼滤波器或卡尔曼状态估计器。Kalman估计器为下列连续或离散估计问题提供了最优解。

连续时间估计

给定连续的设备

$\begin{array}{l} \dot{x} = A. x + B U + G W (状态方程) \\ Y = C x + D U + H W + v (测量方程) \end{array}$

已知输入U，白过程噪声W，以及白测量噪声v令人满意的

$E (W) = E (v) = 0, E (W W^{T}) = Q, E (v v^{T}) = R, E (W v^{T}) = N$

构建状态估计 $\hat{x} (T)$ 这使得稳态误差协方差最小化
$P = \underset{T \to \infty}{林}$ $E ({x - \hat{x}} {x - \hat{x}}^{T})$

最优解是带方程的卡尔曼滤波器

$\begin{array}{l} \dot{\hat{x}} = A. \hat{x} + B U + L (Y - C \hat{x} - D U) \\ [\begin{matrix} \hat{Y} \\ \hat{x} \end{matrix}] = [\begin{matrix} C \\ 我 \end{matrix}] \hat{x} + [\begin{matrix} D \\ 0 \end{matrix}] U \end{array}$

滤波器增益L通过求解代数Riccati方程确定

$L = (P C^{T} + \bar{N}) {\bar{R}}^{- 1.}$

哪里

$\begin{array}{l} \bar{R} = R + H N + N^{T} H^{T} + H Q H^{T} \\ \bar{N} = G (Q H^{T} + N) \end{array}$

和P求解相应的代数Riccati方程。

估计器使用已知的输入U测量结果呢Y生成输出和状态估计 $\hat{Y}$ 和 $\hat{x}$ ．请注意, $\hat{Y}$ 估计真实的植物产量

$Y = C x + D U + H W + v$

离散时间估计

给定离散对象

$\begin{array}{l} x [N + 1.] = A. x [N] + B U [N] + G W [N] \\ Y [N] = C x [N] + D U [N] + H W [N] + v [N] \end{array}$

和噪声协方差数据

$E (W [N] W {[N]}^{T}) = Q, E (v [N] v {[N]}^{T}) = R, E (W [N] v {[N]}^{T}) = N$

估计器具有以下状态方程：

$\hat{x} [N + 1. | N] = A. \hat{x} [N | N - 1.] + B U [N] + L (Y [N] - C \hat{x} [N | N - 1.] - D U [N])$

增益矩阵L通过求解离散的Riccati方程导出

$L = (A. P C^{T} + \bar{N}) {(C P C^{T} + \bar{R})}^{- 1.}$

哪里

$\begin{array}{l} \bar{R} = R + H N + N^{T} H^{T} + H Q H^{T} \\ \bar{N} = G (Q H^{T} + N) \end{array}$

离散时间卡尔曼估计有两种变体:

当前估计器生成输出估计 $\hat{Y} [N | N]$ 和州预算 $\hat{x} [N | N]$ 使用所有可用的测量值，直到 $Y [N]$ . 该估计器具有输出方程

$[\begin{matrix} \hat{Y} [N | N] \\ \hat{x} [N | N] \end{matrix}] = [\begin{matrix} (我 - M_{Y}) C \\ 我 - M_{x} C \end{matrix}] \hat{x} [N | N - 1.] + [\begin{matrix} (我 - M_{Y}) D & M_{Y} \\ - M_{x} D & M_{x} \end{matrix}] [\begin{matrix} U [N] \\ Y [N] \end{matrix}],$

创新从何而来M_x和M_Y定义如下：

$\begin{matrix} M_{x} = P C^{T} {(C P C^{T} + \bar{R})}^{- 1.}, \\ M_{Y} = (C P C^{T} + H Q H^{T} + H N) {(C P C^{T} + \bar{R})}^{- 1.} ． \end{matrix}$

M_x更新预测 $\hat{x} [N | N - 1.]$ 使用新的测量方法 $Y [N]$ ．

$\hat{x} [N | N] = \hat{x} [N | N - 1.] + M_{x} \underset{我 N N o v A. T 我 o N}{\underset{︸}{(Y [N] - C \hat{x} [N | N - 1.] - D U [N])}} ．$

什么时候H= 0, $M_{Y} = C M_{x}$ 和 $Y [N | N] = C x [N | N] + D U [N]$ ．
延迟估计器生成输出估计 $\hat{Y} [N | N - 1.]$ 和州预算 $\hat{x} [N | N - 1.]$ 仅使用高达Y_v[N1]。该估计器更易于在控制回路内部实现，并具有输出方程

$[\begin{matrix} \hat{Y} [N | N - 1.] \\ \hat{x} [N | N - 1.] \end{matrix}] = [\begin{matrix} C \\ 我 \end{matrix}] \hat{x} [N | N - 1.] + [\begin{matrix} D & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} U [N] \\ Y [N] \end{matrix}]$

[kest，L，P]=卡尔曼（sys，Qn，Rn，Nn）创建状态空间模型凯斯特在给定对象模型的情况下，给出了卡尔曼估计的一种新方法系统和噪声协方差数据Qn,注册护士,神经网络（矩阵Q,R,N描述于描述).系统必须是具有矩阵的状态空间模型 $A., [B G], C, [D H]$ ．

结果估计量凯斯特有投入 $[U; Y]$ 和产出 $[\hat{Y}; \hat{x}]$ （或其离散时间对应项）。您可以省略最后一个输入参数神经网络什么时候N=0．

这个函数卡尔曼处理连续和离散问题，并在系统是连续的，否则是离散估计。在连续的时间里，卡尔曼还返回卡尔曼增益L以及稳态误差协方差矩阵P．P解相关的Riccati方程。

(k, L, P) =卡尔曼(sys、Qn Rn,神经网络、传感器、已知)处理更一般的情况时

并非所有的输出系统这些都是经过测量的。
干扰输入W不是的最后输入系统．

索引向量传感器和已知的指定输出Y的系统是测量的，哪些输入U(确定的)。所有其他输入系统假设是随机的。

[kest，L，P，M，Z]=卡尔曼（sys，Qn，Rn，…，type）指定离散时间对象的估计器类型系统．的类型论点是“当前”（默认）或“延迟”．对离散时间的植物,卡尔曼返回估计值和创新收益L和M以及稳态误差协方差

$\begin{array}{l} P = \underset{N \to \infty}{林} E (E [N | N - 1.] E [^{N | N - 1.] T}), E [N | N - 1.] = x [N] - x [N | N - 1.] \\ Z = \underset{N \to \infty}{林} E (E [N | N] E [^{N | N] T}), E [N | N] = x [N] - x [N | N] \end{array}$

例子

看见x轴LQG设计和卡尔曼滤波例如使用卡尔曼作用

局限性

工厂和噪声数据必须满足:

(C,A.)可察觉
$\bar{R} > 0$ 和 $\bar{Q} - \bar{N} {\bar{R}}^{- 1.} {\bar{N}}^{T} \geq 0$
$(A. - \bar{N} {\bar{R}}^{- 1.} C, \bar{Q} - \bar{N} {\bar{R}}^{- 1.} {\bar{N}}^{T})$ 在虚轴（或离散时间内的单位圆）上没有带符号的不可控模式

$\begin{array}{l} \bar{Q} = G Q G^{T} \\ \bar{R} = R + H N + N^{T} H^{T} + H Q H^{T} \\ \bar{N} = G (Q H^{T} + N) \end{array}$