主要内容

Lsqlin.

解决约束的线性最小二乘问题

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句法

x = lsqlin（c，d，a，b）
X = LSQLIN（C，D，A，B，AEQ，BEQ，LB，UB））
X = LSQLIN（C，D，A，B，AEQ，BEQ，LB，UB，X0，选项）
x = lsqlin(问题)
[x, resnorm残留,exitflag,输出,λ)= lsqlin (___）

描述

带有边界或线性约束的线性最小二乘求解器。

求解形式的最小二乘曲线拟合问题

闵 X 1 2 ‖ C ⋅ X - D. ‖ 2 2 这样 { 一种 ⋅ X ≤. B. 那 一种 E. 问： ⋅ X = B. E. 问： 那 L. B. ≤. X ≤. 你 B. ．

笔记

Lsqlin.仅适用于基于求解器的方法。有关这两种优化方法的讨论，请参见首先选择基于问题的或基于求解的方法．

例子

X= lsqlin (C那D.那一种那B.）解决了线性系统c * x = d在最小的方形感觉中，受到影响* x≤.B.．

例子

X= lsqlin (C那D.那一种那B.那AEQ.那贝卡那磅那UB.）添加线性平等约束aeq * x = beq和界限磅≤.X≤.UB.．如果您不需要某些约束，例如AEQ.和贝卡，把它们设置为[]．如果x（i）在下面无界，设置LB（i）= -inf,如果x（i）上面是无界的，集合UB（i）= inf．

例子

X= lsqlin (C那D.那一种那B.那AEQ.那贝卡那磅那UB.那X0.那选项）用初始点最小化X0.和中规定的优化选项选项．使用优化选择设置这些选项。如果您不想包含初始点，请设置X0.争论[]．

X= lsqlin (问题）找到最低限度问题中所描述的结构问题．创造问题结构使用点表示法或结构体函数。或者创建一个问题来自A.的结构优化问题通过使用prob2struct.．

例子

[X那resnorm那剩余的那ExitFlag.那输出那lambda.) = lsqlin (___），对于上述任何输入参数，返回：

  • 剩余的平方2常态Resnorm =. ‖ C ⋅ X - D. ‖ 2 2

  • 残余残差= C*x - d

  • 一个值ExitFlag.描述退出条件

  • 结构输出包含有关优化过程的信息

  • 结构lambda.包含拉格朗日乘法器

    问题定义中的因子½会影响值lambda.结构体。

例子

全部折叠

打开生活的脚本

找出X这最小化了规范c * x - d求解一类具有线性不等式约束的超定问题。

指定问题和约束。

C = [0.9501 0.7620 0.6153 0.4057 0.2311 0.4564 0.7919 0.9354 0.6068 0.0185 0.9218 0.9169 0.4859 0.8214 0.7382 0.4102 0.8912 0.4447 0.1762 0.8936];D = [0.0578 0.3528 0.8131 0.0098 0.1388];A = [0.2027 0.2721 0.7467 0.4659 0.1987 0.1988 0.4450 0.4186 0.6037 0.0152 0.9318 0.8462];B = [0.5251 0.2026 0.6721];

称呼Lsqlin.来解决这个问题。

x = lsqlin（c，d，a，b）
最低发现满足约束。优化完成，因为目标函数在可行的方向上不降低，到在最优性公差的值内，并且对约束公差的值满足约束。
X =4×10.1299 -0.5757 0.4251 0.2438
打开生活的脚本

找出X这最小化了规范c * x - d对于线性平等和不等式约束和界限的过多确定问题。

指定问题和约束。

C = [0.9501 0.7620 0.6153 0.4057 0.2311 0.4564 0.7919 0.9354 0.6068 0.0185 0.9218 0.9169 0.4859 0.8214 0.7382 0.4102 0.8912 0.4447 0.1762 0.8936];D = [0.0578 0.3528 0.8131 0.0098 0.1388];a = [0.2027 0.2721 0.7467 0.4659 0.1987 0.1988 0.4450 0.4186 0.6037 0.0152 0.9318 0.8462];B = [0.5251 0.2026 0.6721];AEQ = [3 5 7 9];BEQ = 4;磅= -0.1 * 1 (4,1);UB = 2 *那些（4,1）;

称呼Lsqlin.来解决这个问题。

X = LSQLIN（C，D，A，B，AEQ，BEQ，LB，UB））
最低发现满足约束。优化完成，因为目标函数在可行的方向上不降低，到在最优性公差的值内，并且对约束公差的值满足约束。
X =4×1-0.1000 -0.1000 0.1599 0.4090
打开生活的脚本

此示例显示如何使用非默博选项进行线性最小二乘。

设置选项以使用'内点'算法和给出迭代显示。

选项= Optimoptions（'lsqlin'那'算法'那'内点'那'展示'那'iter')；

设置线性最小二乘问题。

C = [0.9501 0.7620 0.6153 0.4057 0.2311 0.4564 0.7919 0.9354 0.6068 0.0185 0.9218 0.9169 0.4859 0.8214 0.7382 0.4102 0.8912 0.4447 0.1762 0.8936];D = [0.0578 0.3528 0.8131 0.0098 0.1388];A = [0.2027 0.2721 0.7467 0.4659 0.1987 0.1988 0.4450 0.4186 0.6037 0.0152 0.9318 0.8462];B = [0.5251 0.2026 0.6721];

运行问题。

x = lsqlin（c，d，a，b，[]，[]，[]，[]，[]，选项）
ITER FVAL PRIMAL INFEAS双INFEAS互补0 -7.687420E-02 1.600492C + 00 6.150431C-01 1.000000E + 00 1 -7.687419E-02 8.0024580-04 3.0752160-04 2.430833C-01 2 -3.162837E-01 4.001229E-07 1.537608E-07 5.945636C-02 3 -3.760545E-01 2.000615E-10 2.036997E-08 1.370933E-02 4 -3.912129E-01 9.997558E-14 1.006816C-08 2.548273E-03 5 -3.948062E-01 0.000000E + 00 2.955102E-09 4.295807E-04 6 -3.953277E-01 1.1102232-16 1.23758E-09 3.1237758E-09 3.102850E-05 7 -3.953581C-01 1.64586358-16 1.138719E-10 1.138719E-07 8 -3.953582E-01 5.551115E-17 2.400025E-13 5.693290E-11最小，满足约束。优化完成，因为目标函数在可行的方向上不降低，到在最优性公差的值内，并且对约束公差的值满足约束。
X =4×10.1299 -0.5757 0.4251 0.2438
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获得并解释所有Lsqlin.输出。

定义一个具有线性不等式约束和边界的问题。这个问题被过度确定了，因为C矩阵但五行。这意味着问题有四个未知数和五个条件，甚至在包括线性约束和边界之前。

C = [0.9501 0.7620 0.6153 0.4057 0.2311 0.4564 0.7919 0.9354 0.6068 0.0185 0.9218 0.9169 0.4859 0.8214 0.7382 0.4102 0.8912 0.4447 0.1762 0.8936];D = [0.0578 0.3528 0.8131 0.0098 0.1388];A = [0.2027 0.2721 0.7467 0.4659 0.1987 0.1988 0.4450 0.4186 0.6037 0.0152 0.9318 0.8462];B = [0.5251 0.2026 0.6721];磅= -0.1 * 1 (4,1);UB = 2 *那些（4,1）;

设置选项以使用'内点'算法。

选项= Optimoptions（'lsqlin'那'算法'那'内点')；

这'内点'算法不使用初始点，因此设置X0.到[]．

x0 = [];

称呼Lsqlin.所有输出。

[x，Resnorm，Reseulual，ExitFlag，输出，Lambda] =......LSQLIN（C，D，A，B，[]，[]，LB，UB，X0，选项）
最低发现满足约束。优化完成，因为目标函数在可行的方向上不降低，到在最优性公差的值内，并且对约束公差的值满足约束。
X =4×1-0.1000 -0.1000 0.2152 0.3502
Resnorm = 0.1672
剩余=5×10.0455 0.0764 0.3562 0.1620 0.0784
exitflag = 1
输出=结构体字段:消息：'...'算法：'内部点'Firstorderopt：4.3374E-11 Constrviolation：0迭代：6 linearsolver：'密集'cgiterations：[]
lambda =结构体字段:INEQLIN：[3x1 DOUBLE] EQLIN：[0x1双]下部：[4x1双]鞋面：[4x1双]

更详细地检查非零Lagrange乘法器字段。首先检查Lagrange乘法器，用于线性不等式约束。

lambda.ineqlin
ans =3×10.0000 0.2392 0.0000

当解决方案在相应的约束边界上时，拉格朗日乘数是非零。换句话说，当相应的约束处于活动状态时，拉格朗日乘法器是非零。lambda.ineqlin（2）是非零的。这意味着第二个元素* x应该等于第二个元素B.，因为约束是主动的。

[a（2，:) * x，b（2）]
ans =1×20.2026 - 0.2026

现在检查Lagrange乘法器，用于下限和上限约束。

lambda.lower
ans =4×10.0409 0.2784 0.0000 0.0000
lambda.upper.
ans =4×10 0 0 0

前两个元素lambda.lower是非零的。你明白了x (1)和x（2）处于下限，-0.1．所有元素的lambda.upper.基本上是零，你看到所有组件X小于他们的上限，2．

输入参数

全部折叠

乘法器矩阵，指定为双打矩阵。C代表解决方案的乘数X在表达式中c * x - d．C是m-经过-N， 在哪里m是等式数，和N是元素的数量X．

例子：C = [1,4; 2,5; 7,8]

数据类型：双倍的

常数矢量，指定为双打的矢量。D.表示表达中的添加恒定项c * x - d．D.是m-经过-1， 在哪里m为方程的个数。

例子：d = [5; 0; -12]

数据类型：双倍的

线性不等式约束，指定为实矩阵。一种是一个m-经过-N矩阵，其中m是不平等的数量，而且N是变量数量（元素数X0.）。对于大问题，通过一种作为稀疏矩阵。

一种编码m线性不平等

a * x <= b那

在哪里X是栏矢量N变量X（：）,B.是一个列向量m元素。

例如，要指定

X1+ 2X2≤10.
3.X1+ 4X2≤20
5.X1+ 6X2≤30日

输入这些约束：

a = [1,2; 3,4; 5,6];B = [10; 20; 30];

例子：要指定x分量的和为1或更小，请使用a = =（1，n）和b = 1．

数据类型：双倍的

线性不平等约束，指定为真正的矢量。B.是一个m- 与...相关的矢量一种矩阵。如果你通过了B.作为一排矢量，求解器内部转换B.到列向量b (:)．对于大问题，通过B.作为一个稀疏向量。

B.编码m线性不平等

a * x <= b那

在哪里X是栏矢量N变量X（：）,一种矩阵的大小是多少m-经过-N．

例如，考虑这些不等式：

X1+ 2X2≤10.
3.X1+ 4X2≤20
5.X1+ 6X2≤30。

通过输入以下约束来指定不等式。

a = [1,2; 3,4; 5,6];B = [10; 20; 30];

例子：要指定x分量的和为1或更小，请使用a = =（1，n）和b = 1．

数据类型：双倍的

线性平等约束，指定为真实矩阵。AEQ.是一个我-经过-N矩阵，其中我是平等的数量，和N是变量数量（元素数X0.）。对于大问题，通过AEQ.作为稀疏矩阵。

AEQ.编码我线性平等

aeq * x = beq那

在哪里X是栏矢量N变量X（：）,贝卡是一个列向量我元素。

例如，要指定

X1+ 2X2+ 3X3.= 10
2X1+ 4X2+X3.= 20，

输入这些约束：

AEQ = [1,2,3; 2,4,1];Beq = [10; 20];

例子：要指定x分量的和为1，使用AEQ = ONE（1，N）和Beq = 1．

数据类型：双倍的

线性平等约束，指定为真正的矢量。贝卡是一个我- 与...相关的矢量AEQ.矩阵。如果你通过了贝卡作为一排矢量，求解器内部转换贝卡到列向量Beq（:)．对于大问题，通过贝卡作为一个稀疏向量。

贝卡编码我线性平等

aeq * x = beq那

在哪里X是栏矢量N变量X（：）,AEQ.矩阵的大小是多少我-经过-N．

例如，考虑以下平等：

X1+ 2X2+ 3X3.= 10
2X1+ 4X2+X3.= 20。

通过输入以下约束来指定等式。

AEQ = [1,2,3; 2,4,1];Beq = [10; 20];

例子：要指定x分量的和为1，使用AEQ = ONE（1，N）和Beq = 1．

数据类型：双倍的

下界，指定为双精度向量或数组。磅表示元素方向的下界磅≤.X≤.UB.．

在内部，Lsqlin.转换阵列磅向量磅（：）．

例子：lb = [0; -inf; 4]方法X（1）≥0那X（3）≥4．

数据类型：双倍的

上限，指定为矢量或双打数组。UB.表示元素的上界磅≤.X≤.UB.．

在内部，Lsqlin.转换阵列UB.向量乌兰巴托(:)．

例子：UB = [INF; 4; 10]方法X（2）≤4那X（3）≤10．

数据类型：双倍的

解过程的初始点，指定为实向量或数组。这'信任区域反光'和“激活集”算法使用X0.（可选的）。

如果您未指定X0.为了'信任区域反光'或“激活集”算法,Lsqlin.套X0.到零载体。如果这个零载体的任何组成部分X0.违反界限，Lsqlin.套X0.到边界所定义的方框内部的一个点。

例子：x0 = (4; 3)

数据类型：双倍的

选择Lsqlin.，指定为输出优化选择函数或作为诸如创建的结构优化集．

某些选择缺席优化选择展示。这些选项在下表中显示在斜体中。有关详细信息，请参阅视图选项．

所有的算法

算法

选择算法：

  • '内点'（默认）

  • '信任区域反光'

  • “激活集”

这'信任区域反光'算法只允许上限和下限，没有线性不等式或平等。如果您指定了'信任区域反光'算法和线性约束，Lsqlin.用来'内点'算法。

这'信任区域反光'算法不允许相等的上界和下界。

当问题没有约束时，Lsqlin.呼叫莫德利维在内部。

如果你有大量的线性约束而不是大量的变量，尝试“激活集”算法。

有关选择算法的更多信息，请参阅选择算法．
诊断

显示有关要最小化或解决的函数的诊断信息。选择是'在'或默认值'离开'．
展示

返回到命令行的显示级别。

  • '离开'或'没有任何'显示无输出。

  • '最后'仅显示最终输出（默认值）。

这'内点'算法允许附加值：

  • 'iter'提供迭代显示。

  • “iter-detailed”给出一个详细的退出消息的迭代显示。

  • '最终详细'显示最终输出，具有详细的退出消息。
最大

允许的最大迭代次数，一个正整数。默认值为2000年为了“激活集”算法和算法200对于其他算法。

为了优化集，选项名称是maxiter.．看当前和遗留选项名称．

trust-region-reflective算法选项

functiontolerance.

函数值终止差值，正标量。默认为100 * EPS.,大约2.2204E-14.．

为了优化集，选项名称是塔尔芬．看当前和遗留选项名称．
JacobianMultiplyFCN.

Jacobian乘法函数，指定为函数句柄。对于大规模的结构问题，此功能应计算Jacobian矩阵产品C * Y那c'* y， 要么c'*（c * y）没有实际形成C．在表单中写下该函数

W = jmfun(动力系统,Y,标志)

在哪里jinfo包含用于计算的矩阵C * Y（要么c'* y， 要么c'*（c * y））。

JMFUN.必须计算三种不同的产品中的一个，具体取决于价值下载188bet金宝搏旗帜那Lsqlin.通过：

  • 如果标志== 0.然后w = c'*（c * y）．

  • 如果旗> 0.然后W = C * Y．

  • 如果国旗<0.然后w = c'* y．

在每种情况下，JMFUN.不需要形式C明确。Lsqlin.用途jinfo计算前提者。看传递额外的参数有关如何在必要时提供额外参数的信息。

看Jacobian乘以线性最小二乘函数例如，

为了优化集，选项名称是JacobMult.．看当前和遗留选项名称．
maxpcgiter.

最大PCG（预处理缀合物梯度）迭代，正标量。默认为Max（1，楼层（Numberofvariables / 2））．有关更多信息，请参阅Trust-Region-Reflective算法．
最优法

一阶最优性，正标量的终止耐受性。默认为100 * EPS.,大约2.2204E-14.．看一阶最优测量．

为了优化集，选项名称是塔尔芬．看当前和遗留选项名称．
precondbandwidth.

PCG(预条件共轭梯度)预调节器的上带宽。默认情况下，使用对角预处理(上限带宽为0)。对于某些问题，增加带宽可以减少PCG迭代次数。设置precondbandwidth.到INF.使用直接分解（Cholesky）而不是共轭梯度（CG）。直接分解比CG计算更昂贵，但为解决方案产生更好的质量步骤。有关更多信息，请参阅Trust-Region-Reflective算法．
子项产算法

确定如何计算迭代步骤。默认值，'cg'，比速度更快但不太准确“分解”．看信任区域反光最小二乘．
托尔巴夫

PCG（预处理缀合物梯度）迭代的终止公差，正标量。默认为0.1．
TypicalX

典型的X价值观。元素的数量TypicalX等于变量的个数。默认值为（Numberofvarialbles，1）．Lsqlin.用途TypicalX在内部进行缩放。TypicalX只有效果X有无限的组件，当一个TypicalX无界组件的价值大于1．

内部点算法选项

约束特许

对约束违规的容忍度，一个正标量。默认为1E-8．

为了优化集，选项名称是tolcon.．看当前和遗留选项名称．
linearsolver

算法中内部线性求解器的类型：

  • '汽车'（默认） - 使用'疏'如果是C矩阵稀疏，'稠密'否则。

  • '疏'-使用稀疏线性代数。看稀疏矩阵．

  • '稠密'-使用密集线性代数。
最优法

一阶最优性，正标量的终止耐受性。默认为1E-8．看一阶最优测量．

为了优化集，选项名称是塔尔芬．看当前和遗留选项名称．
StepTolerance.

终止宽容X，一个正标量。默认为1E-12．

为了优化集，选项名称是TolX．看当前和遗留选项名称．

“激活集”算法选项

约束特许

对约束违规的容忍度，一个正标量。默认值为1E-8．

为了优化集，选项名称是tolcon.．看当前和遗留选项名称．
Objectivelimit.

宽度（停止标准）是标量。如果目标函数值下面Objectivelimit.如果当前点是可行的，迭代就会停止，因为问题可能是无界的。默认值为-1E20.．
最优法

一阶最优性，正标量的终止耐受性。默认值为1E-8．看一阶最优测量．

为了优化集， 名字是塔尔芬．看当前和遗留选项名称．
StepTolerance.

终止宽容X，一个正标量。默认值为1E-8．

为了优化集，选项名称是TolX．看当前和遗留选项名称．

优化问题，指定为具有以下字段的结构。

C

 矩阵乘法器在术语中c * x - d

D.

 术语中添加剂常数c * x - d

Aineq.

 线性不等式约束的矩阵

Bineq.

 线性不等式约束的向量

AEQ.

 线性平等约束的矩阵

贝卡

 线性等式约束的向量
磅 下限矢量
UB. 上限矢量

X0.

 初始点X

求解器

 'lsqlin'

选项

 选择的选项优化选择

数据类型：结构体

输出参数

全部折叠

解决方案，作为载体返回，以最小化规范C * x d服从所有的边界和线性约束。

客观价值，作为标量值返回规范（C * X-D）^ 2．

解残差，返回为向量C * x d．

算法停止条件，返回作为识别算法停止的原因的整数。以下列出了值的值ExitFlag.和相应的原因Lsqlin.停了下来。

3.

残差的变化小于规定的公差选项。functiontolerance.．（trust-region-reflective算法)

2

步长比选项.Steptolerance.，约束满意。（内部点算法)

1

功能融合到解决方案X．

0.

超出迭代次数options.maxIterations.．

－2

这个问题不可行。或,内部点算法，步长比选项.Steptolerance.，但不满足约束条件。
3 问题是无限的。

－４

不良条件阻碍了进一步优化。

－8

无法计算步进方向。

的退出消息内部点算法可以提供更多细节的原因Lsqlin.停止，如超出容忍度。看退出标志和退出消息．

解决方案过程摘要，作为包含有关优化过程信息的结构。

迭代

求解器所进行的迭代次数。

算法

其中一个算法:

  • '内点'

  • '信任区域反光'

  • 'mldivide'对于不受约束的问题

对于不受约束的问题，迭代= 0，以及剩下的条目输出结构是空的。

constrviolation

违反限制的限制违规（未返回）'信任区域反光'算法)。

CONSTRVIOLATION = MAX（[0; NORM（AEQ * X-BEQ，INF）;（LB-X）;（X-UB）;（A * X-B）]）

消息

退出消息。

firstordopt.

在解决方案的一流最优性。看一阶最优测量．
linearsolver

内部线性求解器的类型，'稠密'或'疏'（'内点'仅限算法）

cgiterations

求解器执行的共轭梯度迭代次数。的非空'信任区域反光'算法。

看输出结构．

Lagrange乘法器，用以下字段作为结构返回。

较低的

下界磅

上

上界UB.

ineqlin.

线性不等式

eqlin.

线性等式

看拉格朗日乘法器结构．

提示

  • 对于没有约束的问题，您可以使用莫德利维（矩阵左部）。当你没有约束时，Lsqlin.回报x = c \ d．

  • 因为解决的问题总是凸起的，Lsqlin.找到一个全局，虽然不一定是独一无二的解决方案。

  • 如果您的问题有许多线性约束和几个变量，请尝试使用“激活集”算法。看具有许多线性约束的二次编程．

  • 如果您明确指定平等，可能会使用更好的数值结果AEQ.和贝卡，而不是隐含地使用磅和UB.．

  • 这trust-region-reflective算法不允许相等的上界和下界。使用另一种算法在这种情况下。

  • 如果问题的指定输入边界不一致，则输出X是X0.和产出resnorm和剩余的是[]．

  • 你可以解决一些大规模的结构问题，包括那些含有的问题C矩阵太大，无法适合内存，使用trust-region-reflective具有Jacobian乘法函数的算法。有关信息，请参阅trust-region-reflective算法的选择．

算法

全部折叠

Trust-Region-Reflective算法

该方法是基于描述的内部反射牛顿方法的子空间信任区域方法[1]．每次迭代涉及使用预处理共轭梯度（PCG）的方法的大线性系统的近似解。看信任区域反光最小二乘，特别是大规模线性最小二乘．

内部点算法

这'内点'算法是基于Quadprog.'内部point-convex'算法。看线性最小二乘:内部点或活动集．

主动集算法

这“激活集”算法是基于Quadprog.“激活集”算法。有关更多信息，请参阅线性最小二乘:内部点或活动集和主动集Quadprog算法．

参考

[1]科尔曼，T. F.和Y. Li。“反思牛顿方法，用于最大限度地减少对某些变量界限的二次函数，”暹罗期刊优化，第6卷，第4期，第1040-1058页，1996。

吉尔，P. E.， W.默里和M. H.赖特。实用的优化，学术出版社，伦敦，英国，1981年。

选择功能

应用程序

这优化Live Editor任务提供可视界面Lsqlin.．

也可以看看

|||

话题

之前介绍过的R2006a

优化工具箱文档

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8个Matlab备忘上数据科学

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