不确定性建模的数据结构

鲁棒控制工具箱允许您创建不确定的元素，比如其值不完全已知的物理参数，并将这些元素组合到不确定的模型中。然后，您可以轻松地分析不确定性对控制系统性能的影响。

例如，考虑一个植物模型

在哪里γ范围可以在间隔[3,5]和τ平均值为0.5，变异性为30%。你可以创建一个不确定的P(s)模型，如下所示:

gamma =尿尿（“伽马”4“范围”[3 - 5]);τ=尿素的(“τ”5,“比例”，30）;p = tf（伽玛，[tau1]）

P =具有1个输出，1个输入，1个状态的不确定连续时间状态空间模型模型不确定性包含以下模块:伽马:不确定真实,名义= 4,范围=[3,5],1出现τ:不确定真实,名义= 0.5,差异=(-30,30)%,1事件类型“P.NominalValue”的名义价值,“把(P)”所有属性,和“P.Uncertainty”与不确定的交互元素。

假设您设计了一个整体控制器C对于标称植物(γ= 4且τ= 0.5)。为了找出变化是如何γ和τ影响装置和闭环性能，形成闭环系统CLP.从C和P．

KI = 1 / (2 * tau.Nominal * gamma.Nominal);C = tf(KI，[10]);CLP =反馈(P * C, 1)

CLP =具有1输出，1输入，2状态的不确定连续时间状态空间模型。模型不确定性由以下块组成:gamma:不确定实值，标称= 4，范围=[3,5]，1出现tau:不确定实值，标称= 0.5，可变性=[-30,30]%，1出现Type "CLP。nomalvalue”查看标称值，“get(CLP)”查看所有属性，以及“CLP”。“不确定性”与不确定元素相互作用。

绘制电站和闭环系统的阶跃响应。的步命令自动生成20个不确定参数的随机样本γ和τ并绘制相应的步骤响应。

次要情节(2,1,1);步骤(P)、标题(“植物反应(20个样本)”次要情节(2,1,2);步骤(CLP)、标题('闭环响应（20个样本）'）

图1:电站的阶跃响应和闭环模型

底部的图表明，闭环系统是合理的鲁棒，尽管电站直流增益显著波动。这是一个合理设计的反馈系统所需要的和共同的特性。

DC电机示例具有参数不确定性和未拼接的动态

本示例以该示例为基础具有参数变体的直流电动机的参考跟踪通过添加参数不确定性和未拼接的动态，以研究伺服控制器的鲁棒性，以这种不确定性。

直流电机的公称模型是由电阻来定义的R,电感l，EMF常数Kb电枢常数公里，粘性摩擦的线性逼近Kf惯性载荷J．每个组件都在特定的值范围内变化。电阻和电感常数在标称值的±40%范围内。使用尿尿来构造这些不确定参数。

R =尿素的(“R”2,“比例”, 40);L =尿素的(“L”, 0.5,“比例”, 40);

由于物理原因，的值Kf和Kb也是如此，即使他们不确定。在该示例中，标称值为0.015，范围为0.012和0.019。

K =尿素的(“K”, 0.015,'范围'[0.012 - 0.019]);公里= K;Kb = K;

粘滞摩擦,Kf，标称值为0.2，其值的50％变化。

Kf =尿素的(Kf的, 0.2,“比例”, 50);

电气和机械方程

电路中的电流和施加到转子的扭矩可以以施加的电压和角速度表示。创建传递函数H将这些变量关联起来，并使之Angularspeed一个输出的H以备后用。

H =[1、0公里]*特遣部队(1 (L R)) * [1 kb] + [0 0; 0 1; 0 kf);H.InputName = {“AppliedVoltage”；“AngularSpeed”};H.OutputName = {“当前”；“AngularSpeed”；“RotorTorque”};

电机通常驱动一个惯性，其动态特性与应用的转矩角速度的变化率有关。对于刚体，这个值是一个常数。一个更现实，但不确定的模型可能包含未知的阻尼共振。使用ultidyn用于建模不确定线性定常动力学。将刚体惯性的标称值设为0.02，在乘法形式中包含15%的动态不确定性。

J = 0.02*(1 + ultidyn)'jlti'，[1 1]，'类型'，“GainBounded”，“约束”，0.15，．..“SampleStateDim”4));

直流电动机的不确定模型

有一个简单的问题是相关的Angularspeed的输入RotorTorque输出通过不确定的惯性，J,使用融通命令。的Angularspeed输入=Rotortorque /（J * S）．因此，使用从第三个输出到第二个输入的“正”反馈H建立连接。此连接导致具有一个输入的系统（AppliedVoltage)及两个输出(当前的和Angularspeed）。

Pall = lft(H,tf(1，[1 0])/J);

只选择了Angularspeed其余控件分析的输出。

: P =笼罩(2)

P =具有1个输出的不确定连续时间状态空间模型，1个输入，2个状态。模型不确定性包括以下块：JLTI：不确定1x1 LTI，峰值增益= 0.15，1出现k：不确定真实，标称= 0.015，范围= [0.012,0.019]，2个出现Kf：不确定真实，标称= 0.2，变异性= [-50,50]％，1个出现l：不确定真实，标称= 0.5，变异性= [-40,40]％，1个出现R：不确定真实，标称= 2，变异性= [-40,40]％，1次出现“p.nominalValue”，以查看标称值，“get（p）”以查看所有属性，以及“p.uncertainty”与不确定元素交互。

P是一种单输入、单输出的不确定直流电机模型。为了便于分析，请使用以下控制器。

cont = tf（84 * [。233 1]，[。0357 1 0]）;

开环分析

首先，将标称直流电机的阶跃响应与15个不确定直流电机模型样本进行比较。使用usample明确指定随机样本的数量。

CLF步骤（USAMPLE（P，15），P.NOMINALVALUE，3）传奇（“样本”，“名义”）

图2:工厂阶跃反应

同样，比较直流电机公称(红色)和采样(蓝色)不确定模型的波德响应。

波德(usample (P, 15), P.NominalValue);传奇(“样本”，“名义”）

图3:植物预示反应

鲁棒性分析

在本节中，分析了直流电机控制器的鲁棒性。对闭环系统的标称分析表明，反馈回路具有22 dB增益裕度和66度相位裕度，具有很好的鲁棒性。

边缘（p.nominalvalue *续）

图4:闭环鲁棒性分析

的diskmargin.功能计算基于磁盘的增益和相位边距。通过在所有频率和所有反馈循环中建模增益和相位变化，磁盘边距往往更准确地稳健，特别是在多环控制系统中。计算DC电机环路的基于磁盘的边距。

DM = diskmargin (P.NominalValue *续)

DM =结构与字段：GainMargin: [0.2792 3.5822] phasmargin: [-58.8054 58.8054] DiskMargin: 1.1271 LowerBound: 1.1271 UpperBound: 1.1271 Frequency: 5.0062 worst摄动:[1x1 ss]

虽然小于经典的增益和相位裕度，但基于磁盘的裕度基本上证实了名义反馈回路是非常稳健的。现在，回想一下，直流电动机工厂是不确定的。模型的不确定性如何影响这些稳定边际?为了快速了解，绘制基于磁盘的增益和相位裕度为20个样本的不确定开环响应。

diskmarginplot（p * cont，p.nominalvalue *续）传奇（“样本”，“名义”）

一些工厂不确定性的组合导致利润减少。这幅图只显示了一小部分样本。用最坏情况分析来找出利润率到底有多差。的wcdiskmargin函数直接计算最坏情况增益和相位裕度为模型的不确定性。

wcDM = wcdiskmargin (P *续,“输出”）

wcDM =结构与字段：GainMargin: [0.8728 1.1457] phasmargin: [-7.7680 7.7680] DiskMargin: 0.1358 LowerBound: 0.1358 UpperBound: 0.1361 CriticalFrequency: 4.9846 worst摄动:[1x1 ss]

MAG2DB（WCDM.GainMargin）

ans =.1×2-1.1812 - 1.1812

在这里，最坏情况下的边界只有1.2 dB和7.8度，这表明闭环对于某些不确定元素的组合几乎是不稳定的。

扰动抑制特性的鲁棒性

灵敏度函数是反馈系统闭环性能的标准度量。计算不确定灵敏度函数年代并比较标称和抽样的不确定灵敏度函数的波德幅值图。

S =反馈(1 *续页);bodemag(年代,S.Nominal)传说(“样本”，“名义”）

图5:灵敏度函数S的大小。

在时域中，灵敏度函数表示可以拒绝阶跃干扰的程度。绘制其阶梯响应，以了解干扰抑制特性的变异性（标称出现在红色中）。

步骤(年代,S.Nominal)标题(“干扰拒绝”)传说(“样本”，“名义”）

图6:拒绝一步干扰。

使用Wcgain.函数来计算灵敏度函数的峰值增益的最坏情况值。

[maxgain, worstuncertainty] = wcgain(年代);maxgain

maxgain =.结构与字段：LowerBound: 7.5186 UpperBound: 7.5344 CriticalFrequency: 4.9955

与usubs功能您可以将不确定元素的最坏情况值替换为不确定的灵敏度函数年代．这给出了最坏情况敏感度函数Sworst在整个不确定性范围内。的峰值增益Sworst匹配由较低的计算Wcgain.．

Sworst = usubs(年代,worstuncertainty);规范(Sworst正)

ans = 7.5186

maxgain。lowerBound

ans = 7.5186

现在比较标称灵敏度和最坏情况灵敏度的阶跃响应。

步骤(Sworst S.NominalValue 6);标题(“干扰拒绝”)传说(“最坏的”，“名义”）

图7:阶跃扰动的标称和最坏情况抑制

显然，不确定元素的一些组合显着降低了控制器快速拒绝干扰的能力。最后，绘制敏感函数的标称和最坏情况值的大小。观察到峰值Sworst发生的频率maxgain。CriticalFrequency：

bodemag (Sworst S.NominalValue)传说(“最坏的”，“名义”)举行在semilogx (maxgain.CriticalFrequency, 20 * log10 (maxgain.LowerBound),“g *”）

图8：标称和最差的敏感度的幅度