h -∞范数的解释- MATLAB和Simulink金宝app - 金宝app,下载188bet金宝搏,金宝搏官方网站

h -∞范数的解释

信号与系统规范“，

有几种方法可以定义标量信号的模e（t)在时域内。我们会经常使用the2-norm (l₂-norm)，为了数学方便，它被定义为

${‖ e ‖}_{2} ：＝ {（ \int_{- \infty}^{\infty} e {（ t ）}^{2} d t ）}^{\frac{1}{2}} ．$

如果这个积分是有限的，那么信号e是平方可积，表示为e∊L₂．对于向量值信号

$e （ t ）＝［ \begin{matrix} e_{1} （ t ） \\ e_{2} （ t ） \\ ⋮ \\ e_{n} （ t ） \end{matrix} ］，$

2范数定义为

$\begin{matrix} {‖ e ‖}_{2} ：＝ {（ \int_{- \infty}^{\infty} {‖ e （ t ） ‖}_{2}^{2} d t ）}^{\frac{1}{2}} \\ ＝ {（ \int_{- \infty}^{\infty} e^{T} （ t ） e （ t ） d t ）}^{\frac{1}{2}} ． \end{matrix}$

在μ -tools中，我们处理的动态系统完全是线性的，具有状态空间模型

$［ \begin{matrix} \dot{x} \\ e \end{matrix} ］＝［ \begin{matrix} 一个 & B \\ C & D \end{matrix} ］［ \begin{matrix} x \\ d \end{matrix} ］，$

或者，在传递函数的形式中，

e（年代）= T（年代）d（年代）T（年代）:= C(sI - A)¹B + d

两个数学上方便的传递矩阵的度量T（年代)在频域为矩阵H₂而且H_∞规范,

$\begin{array}{l} {‖ T ‖}_{2} ：＝ {［ \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} {‖ T （ j ω ） ‖}_{F}^{2} d ω ］}^{\frac{1}{2}} \\ {‖ T ‖}_{\infty} ：＝ \underset{ω \in R}{马克斯 \bar{σ}} ［ T （ j ω ）］， \end{array}$

其中Frobenius范数(见MATLAB^®规范一个复杂矩阵的命令)米是

${‖ 米 ‖}_{F} ：＝ \sqrt{跟踪（米^{＊} 米）} ．$

这两个传递函数规范都有输入/输出时域解释。如果，从初始条件开始x(0) = 0，两个信号d而且e是由

$［ \begin{matrix} \dot{x} \\ e \end{matrix} ］＝［ \begin{matrix} 一个 & B \\ C & D \end{matrix} ］［ \begin{matrix} x \\ d \end{matrix} ］，$

然后

为d，为单位强度，白噪声过程，稳态方差为e是∥T∥₂．
的l₂(或RMS)从d→e，

$\underset{d \neq 0}{马克斯} \frac{{‖ e ‖}_{2}}{{‖ d ‖}_{2}}$

等于∥T∥_∞．这将在下一节中进行更详细的讨论。

使用加权规范来描述性能

任何性能标准也必须考虑到

外部影响的相对程度
信号的频率依赖性
调节变量大小的相对重要性

所以，如果性能目标是矩阵范数的形式，它实际上应该是加权范数

∥W_l太瓦_R∥

权重函数矩阵在哪里W_l而且W_R是频率依赖的，以考虑带宽限制和外源信号的频谱含量。描述可接受性能的最自然(数学)方式是根据MIMO∥·∥_∞（H _∞)规范。出于这个原因，本节现在讨论对H _∞规范。

无加权MIMO系统

右边输入d-波浪号，左边输出e-波浪号的T系统

假设T是一个具有传递函数矩阵的MIMO稳定线性系统T（年代)．对于给定的驾驶信号 $\tilde{d} （ t ）$ ,定义 $\tilde{e}$ 如输出，如下所示。

注意，更传统的做法是将图表写入其中无加权MIMO系统:从左到右的向量箭头从左向右，就像加权MIMO系统．

无加权MIMO系统:从左到右的向量

系统T，左边输入d-波浪号，右边输出e-波浪号

上面显示的两张图代表了完全相同的系统。我们更喜欢用箭头从右向左的方式来写这些方框图，以便与矩阵和运算符组合保持一致。

假设维数T是n_e×n_d．令β > 0定义为

$β ：＝ {‖ T ‖}_{\infty} ：＝ \underset{ω \in R}{马克斯 \bar{σ} ［ T （ j ω ）］} ．$

现在考虑一个响应，从初始条件为0开始。在这种情况下，Parseval定理给出了这个

$\frac{{‖ \tilde{e} ‖}_{2}}{{‖ \tilde{d} ‖}_{2}} ＝ \frac{{［ \int_{0}^{\infty} {\tilde{e}}^{T} （ t ） \tilde{e} （ t ） d t ］}^{\frac{1}{2}}}{{［ \int_{0}^{\infty} {\tilde{d}}^{T} （ t ） \tilde{d} （ t ） d t ］}^{\frac{1}{2}}} \leq β ．$

此外，还有一些特殊的干扰d这就是比率的结果 ${‖ \tilde{e} ‖}_{2} / {‖ \tilde{d} ‖}_{2}$ 任意接近β。正因如此，∥T∥_∞被称为l₂(或RMS)系统的增益。

如你所料，∥的正弦稳态解释T∥_∞也是可能的:对于任何频率 $\bar{ω} \in R$ ，任何振幅向量 $一个 \in R_{n_{d}}$ ，和任何相向量 $ϕ \in R^{n_{d}}$ ∥一个∥₂≤1，定义一个时间信号

$\tilde{d} （ t ）＝［ \begin{matrix} {一个}_{1} 罪（ \bar{ω} t + ϕ_{1} ） \\ ⋮ \\ {一个}_{n_{d}} 罪（ \bar{ω} t + ϕ_{n_{d}} ） \end{matrix} ］．$

将此输入应用到系统中T结果是稳态响应 ${\tilde{e}}_{年代年代}$ 形式的

${\tilde{e}}_{年代年代} （ t ）＝［ \begin{matrix} b_{1} 罪（ \bar{ω} t + ϕ_{1} ） \\ ⋮ \\ b_{n_{e}} 罪（ \bar{ω} t + ϕ_{n_{e}} ） \end{matrix} ］．$

向量 $b \in R^{n_{e}}$ 将满足∥b∥₂≤β。此外，β，定义为加权MIMO系统，是最小的数，使得每个∥都成立一个∥₂≤1, $\bar{ω}$ ,ϕ．

请注意，在这种解释中，正弦幅度响应的向量是未加权的，并以欧几里得范数测量。如果现实的多变量性能目标要用单个MIMO来表示∥·∥_∞在闭环传递函数上，附加的缩放是必要的。由于许多不同的目标被集中到一个矩阵中，相关的成本是矩阵的范数，因此使用频率相关的加权函数是很重要的，这样不同的需求可以有意义地组合到一个单一的成本函数中。对角线权重最容易解释。

请看图加权MIMO系统，连同无加权MIMO系统:从左到右的向量．

假设W_l而且W_R是对角线的稳定传递函数矩阵吗l_我而且R_我．

$W_{l} ＝［ \begin{matrix} l_{1} & 0 & .．. & 0 \\ 0 & l_{2} & .．. & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & .．. & l_{n_{e}} \end{matrix} ］， W_{R} ＝［ \begin{matrix} R_{1} & 0 & .．. & 0 \\ 0 & R_{2} & .．. & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & .．. & R_{n_{d}} \end{matrix} ］．$

加权MIMO系统

WL、T、WR三系统互联。从右到左，d是WR的输入。WR的输出是d-tilde，这是T的输入，T的输出是e-tilde，这是WL的输入。WL的输出是e。

量的边界∥W_l太瓦_R∥_∞是否意味着信号的正弦稳态行为的边界 $\tilde{d}$ 而且 $\tilde{e} （＝ T \tilde{d} ）$ 在图中无加权MIMO系统:从左到右的向量．具体来说，对于正弦信号 $\tilde{d}$ 之间的稳态关系 $\tilde{e} （＝ T \tilde{d} ）$ ， $\tilde{d}$ 和∥W_l太瓦_R∥_∞如下所示。稳态解 ${\tilde{e}}_{年代年代}$ ，表示为

{\tilde{e}}_{年代 年代} （ t ） ＝ ［ \begin{matrix} {\tilde{e}}_{1} 罪 （ \bar{ω} t + ϕ_{1} ） \\ ⋮ \\ {\tilde{e}}_{n_{e}} 罪 （ \bar{ω} t + ϕ_{n_{d}} ） \end{matrix} ］

(1）

满足

$\sum_{我＝ 1}^{n_{e}} {| W_{l_{我}} （ j \bar{ω} ） {\tilde{e}}_{我} |}^{2} \leq 1$

对于所有正弦输入信号 $\tilde{d}$ 形式的

\tilde{d} （ t ） ＝ ［ \begin{matrix} {\tilde{d}}_{1} 罪 （ \bar{ω} t + ϕ_{1} ） \\ ⋮ \\ {\tilde{d}}_{n_{e}} 罪 （ \bar{ω} t + ϕ_{n_{d}} ） \end{matrix} ］

（2）

令人满意的

$\sum_{我＝ 1}^{n_{d}} \frac{{| {\tilde{d}}_{我} |}^{2}}{{| W_{R_{我}} （ j \bar{ω} ） |}^{2}} \leq 1$

当且仅当∥W_l太瓦_R∥_∞≤1。

这大约是(非常大约-下一个说法实际上是不正确的)意味着∥W_l太瓦_R∥_∞≤1当且仅当对于每个固定频率 $\bar{ω}$ ，以及所有正弦扰动 $\tilde{d}$ 形式的方程2令人满意的

$| {\tilde{d}}_{我} | \leq | W_{R_{我}} （ j \bar{ω} ） |$

稳态误差分量满足

$| {\tilde{e}}_{我} | \leq \frac{1}{| W_{l_{我}} （ j \bar{ω} ） |} ．$

这表明人们可以如何挑选性能权重，以反映所需的频率相关性能目标。使用W_R表示可能存在的正弦干扰的相对大小，并使用1 /W_l表示所产生的后续错误的期望上界。

记住，加权H_∞规范并不的组件上给出一个元素一个元素的边界 $\tilde{e}$ 的组件上的逐元素边界 $\tilde{d}$ ．它给出的精确边界是的分量的欧几里得范数 $\tilde{e}$ 而且 $\tilde{d}$ (适当加权为W_l（j $\bar{ω}$ ),W_R（j $\bar{ω}$ ))。

另请参阅

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