实用介绍连续小波分析

这个示例使用:

这个例子展示了如何执行和解释连续小波分析。的例子可以帮助你回答常见问题,如:什么是连续和离散小波分析的区别?为什么频率,或在连续小波尺度分析对数间隔?在什么类型的连续小波技术特别有用信号分析问题?

连续与离散小波分析

人们经常的另一个问题是:什么是连续连续小波分析好吗?毕竟,你可能有兴趣做小波分析在计算机,而不是用铅笔和纸,电脑,什么是连续的。当这个词连续小波分析是用于科学计算设置,这意味着多个小波的小波分析技术每倍频程,或翻倍的频率,和小波之间的转变是一个示例。这提供了生成的连续小波变换(CWT)有两个属性:在应用程序中非常有用

一个信号的频率内容比离散小波技术更细了。
类具有相同的时间分辨率的原始数据在每个频带。

此外,在大多数应用程序的类,它是有用的复值小波与实小波。主要原因是复值小波包含相位信息。看到比较在两个信号时变频率的内容为一个例子,相位信息是有用的。本教程中的示例使用复值小波。

参见[1]的详细处理小波信号处理包括连续小波分析与复值小波。

过滤器或每八度的声音

一个术语通常用于指定每倍频程小波滤波器的数量声音每倍频程。为了说明这一点,构造一个默认的连续小波滤波器组。

fb = cwtfilterbank

fb = cwtfilterbank属性:VoicesPerOctave: 10小波:“莫尔斯”SamplingFrequency: 1 SamplingPeriod: [] PeriodLimits: [] SignalLength: 1024 FrequencyLimits: [] TimeBandwidth: 60 WaveletParameters:[]边界:“反射”

如果你检查滤波器组的属性,默认情况下有10每倍频程(或小波滤波器VoicesPerOctave)。小波滤波器的频率响应。

freqz(神奇动物)

图包含一个轴。标题的轴类滤波器组包含71行类型的对象。

在连续小波滤波器分析重要的份额常q财产和所有小波滤波器,即传播的频率,或带宽,其中心频率成正比。换句话说,小波过滤器是更广泛的比他们在更高的频率较低的频率。因为时间和频率之间的相互关系,这意味着更高的频率小波在时间上更好的本地化(比低频小波有更小的时间支持)。金宝app看到这,提取中心频率和时域小波滤波器组。阴谋的真正部分两个小波,高频和低频的比较。

ψ=小波(神奇动物);F = centerFrequencies (fb);图绘制(真实(psi(9日:)))ylabel (“振幅”)yyaxis正确的情节(真实(ψ(end-16,:))) ylabel (“振幅”)轴紧S1 =“小波中心频率的;S2 = [num2str (F (9),' % 1.2 f ')”和“num2str (F (end-16),' % 1.2 f ')“周期/样本”];标题({S1;S2})包含(“样本”)传说(“0.25 c / s波”,“0.01 c / s波”)

图包含一个轴。轴与标题小波中心频率0.25和0.01周期/示例包含2线类型的对象。这些对象代表0.25 c / s波,0.01 c / s波。

在频率响应图,中心频率不超过0.45周期/样品。找到多少小波过滤器过滤器银行已经在一个八度,或频率的两倍。确认数量=VoicesPerOctave。

numFilters10 = nnz (> = 0.2 & F < = 0.4)

numFilters10 = 10

您可以指定一个不同数量的过滤器当您创建过滤器银行。创建一个过滤器银行8每八度的声音和情节的频率响应。

fb = cwtfilterbank (“VoicesPerOctave”8);图freqz (fb)

图包含一个轴。坐标轴标题CWT过滤器银行包含57行类型的对象。

确认有八个过滤器每倍频程滤波器组。

F = centerFrequencies (fb);numFilters8 = nnz (> = 0.2 & F < = 0.4)

numFilters8 = 8

你可以阅读更详细的解释在连续和离散小波分析之间的区别连续和离散小波变换。

对数间隔的中心频率

小波分析的一个方面,人们可以找到一些令人困惑的对数间隔过滤器。

小波滤波器组的中心频率。

次要情节(2,1,1)情节(F) ylabel (“周期/样本”)标题(小波中心频率的网格)在次要情节(2,1,2)semilogy (F)网格在ylabel (“周期/样本”)标题(“半对数的规模”)

图包含2轴。轴1与标题小波中心频率包含一个类型的对象。轴与标题2半对数的规模包含一个类型的对象。

情节表明小波中心频率并不像通常的线性间隔的情况下与其他过滤器银行。具体来说,中心频率成倍减少,所以,提高中心频率之间的步长比低的中心频率之间的步长。为什么这对小波有意义吗?回想一下,小波是常q过滤器,这意味着他们的带宽成正比的中心频率。如果你有一个滤波器组,每个过滤器都有相同的带宽,像在短时傅里叶变换,或光谱图,滤波器组,然后保持恒定频率重叠过滤器需要恒定的步长。然而,随着小波,步长应成正比的频率带宽。连续小波分析,最常见的间距是2 ^ (1 /NV),NV的数量每倍频程滤波器,提高到整数的权力。相比之下,间隔仅用于离散小波分析基础2提高到整数的权力。

参见[2离散小波分析)进行彻底治疗。下表总结了主要异同离散和连续小波技术。离散技术,代表算法MATLAB提供的名称在括号中。

时频分析

因为小波在时间和频率同时本地化,他们是有用的应用程序。连续小波分析、时频分析最常见的应用领域。此外,以下属性的类让某些类的特别有用的信号。

常q特性的小波滤波器,这意味着更高的频率小波持续时间短,低频小波持续的时间比较长。
小波滤波器之间的一次采样时间转变在连续分析

理解这类信号是适合使用连续小波分析,考虑一个双曲调频信号。

负载hyperbolicChirp图绘制(t, hyperbolchirp)轴紧包含(“时间(s)”)ylabel (“振幅”)标题(双曲唧唧喳喳的)

图包含一个轴。标题的轴双曲唧唧声包含一个类型的对象。

双曲唧唧喳喳的总和 $罪 (\frac{15 π}{0 。 8 - - - - - - t})$ 和 $罪 (\frac{5 π}{0 。 8 - - - - - - t})$ 。第一个组件是主动从0.1到0.68秒,第二部分从0.1到0.75秒。频率在每一个瞬间,或瞬时频率,这些组件 $\frac{7 。 5}{(0 。 8 - - - - - - t)^{2}}$ 和 $\frac{2 。 5}{(0 。 8 - - - - - - t)^{2}}$ 周期分别/秒。这意味着附近的瞬时频率非常低 $t = 0$ 和迅速增加方法0.8秒的时间。

获得线性调频信号和情节的CWT CWT以及真正的瞬时频率绘制虚线。

Fs = 1 /意味着(diff (t));[cfs f] = cwt (hyperbolchirp Fs);helperHyperbolicChirpPlot (cfs f t)

图包含一个轴。量图包含3级标题的轴表面类型的对象,线。

我们看到CWT显示时频表示,准确地抓住了双曲唧唧喳喳的瞬时频率。现在分析相同的信号的短时傅里叶变换使用恒定带宽过滤器。使用默认的窗口大小和重叠。

pspectrum (hyperbolchirp, 2048,的谱图)

图包含一个轴。坐标轴标题耐火的= 41.0679赫兹,女士非常= 62.5包含一个类型的对象的形象。

注意,谱图无法区分这两种不同的瞬时频率频率很低时,或者说当两个瞬时频率很接近。2048年根据输入的长度,谱图计算默认情况下使用一个窗口128个样本的长度。这相当于一个62.5毫秒的时间分辨率采样率为2048 Hz。基于默认Kaiser窗,这导致41赫兹的频率分辨率。这是太大区分瞬时频率附近t = 0。如果我们减少的频率分辨率大约1/2的希望更好的解决较低的频率?

pspectrum (hyperbolchirp, 2048,的谱图,“FrequencyResolution”,20岁,…“OverlapPercent”,90)

图包含一个轴。坐标轴标题耐火的= 20.0637赫兹,女士非常= 127.9297包含一个类型的对象的形象。

结果是没有任何更好,因为频率分离我们获得更低的频率会导致更高的瞬时频率重叠在一起的时间。光谱图是一个强大的时频分析技术,实际上可以说是最佳在许多应用程序中,但像所有技术限制。这一特定类型的信号的固定带宽滤波器是一个严峻的挑战。理想情况下你想要很长时间与狭窄的频率响应在低频率和短时间内支持支持更广泛的频率在高频率。金宝app小波变换提供了准确,因此在这种情况下取得了很大的成功。状态的等效方法,小波变换具有更好的时间分辨率更高频率和更好的频率分辨率较低频率。

在实际信号,高频事件往往时间短而低频率的事件持续的时间比较长。例如,负载和情节人类心电图(ECG)信号。数据采样在180赫兹。

负载wecgtm = 0:1/180:元素个数(wecg) * 1/180-1/180;wecg情节(tm)网格在轴紧标题(“人体心电图”)包含(“时间(s)”)ylabel (“振幅”)

图包含一个轴。坐标轴标题人类心电图包含一个类型的对象。

慢变组件的数据由被高频瞬态,在传播的过程中,其代表了电脉冲通过心脏。如果我们感兴趣的是本地化这些冲动的事件及时准确,我们希望分析窗口(过滤器)短。在这种情况下我们愿意牺牲频率分辨率更精确的时间定位。另一方面,确定振动频率越低,倾向于有较长的分析窗口。

[cfs f] = cwt (wecg, 180);显示亮度图像(tm、f、abs (cfs))包含(“时间(s)”)ylabel (的频率(赫兹))轴xycaxis([0.025 - 0.25])标题(rocky ECG数据的)

图包含一个轴。坐标轴标题CWT的心电图数据包含一个对象类型的形象。

CWT显示近稳态振荡附近30 Hz和37赫兹以及瞬态事件表示心跳(QRS复合体)。这一分析,你可以分析两种现象同时在相同的时频表示。

作为高频瞬变慢变打破组件的另一个例子,考虑一个时间序列的太阳磁场大小记录每小时超过太阳的南极的尤利西斯飞船从21:00 UT 12月4日,1993年5月24日12:00 UT 1994。参见[2)页218 - 220这个数据的完整描述。

负载solarMFmagnitudes情节(sm_dates, sm)轴紧标题(“太阳磁场大小”)包含(“日期”)ylabel (“级”)

图包含一个轴。轴与太阳磁场大小标题包含一个类型的对象。

原始数据显示一个整体大致线性趋势与几个冲动的事件,或冲击波。冲击波产生当太阳风速度或快日冕物质抛射超过一个缓慢的太阳风。在时间序列中,我们看到巨大的冲击波结构发生大约在以下日期:2月11日,2月26日,3月10日,4月3日,4月23日。

执行的连续小波分析数据和情节的CWT震级时间序列数据在相同的情节。

sm_dates helperSolarMFDataPlot (sm)

图包含一个轴。轴包含2图像类型的对象,线。

CWT抓住了冲动的事件在同一时间发生的时间序列。然而,类也揭示了低频特性的数据隐藏在时间序列。例如,启动前和扩展超出了激波结构2月11日,1994年,有一个低频稳态事件(附近0.04周期/天)。这个结果从日冕物质抛射(CME)事件可能发生在一个不同的太阳能地区达到了尤利西斯航天器的同时更紧密的冲击波。

心电图和太阳磁场大小的例子,我们有两个时间序列从非常不同的机制产生类似的数据:信号与短期瞬变和长期低频振荡。描述两个在相同的时频表示是有利的。

本地化瞬变

瞬态时间序列数据的事件往往是最有益的事件之一。瞬态事件可以显示一个数据生成机制的突然改变,你想检测和定位。例子包括在机械故障、传感器问题,金融“电击”经济时间序列,和许多其他人。作为一个例子,考虑下面的信号。

rng默认的;dt = 0.001;t = 0: dt: 1.5 dt;addNoise = 0.025 * randn(大小(t));x = cos(2 *π* 150 * t) * (t > = 0.1 & t < 0.5) +罪(2 *π* 200 * t) * (t > 0.7 & t < = 1.2);x = x + addNoise;((222 800))= x (800 [222]) + 2 [2];图;情节(t。* 1000 x);包含(的毫秒);ylabel (“振幅”);

图包含一个轴。轴包含一个类型的对象。

信号由两个正弦组件,突然打开或关闭额外的“缺陷”在222毫秒,800毫秒。获取信号的变换和情节只有细尺度上,或中心频率最高,小波系数。创建第二个轴和情节原来的时间数据。

cfs = cwt (x, 1000,“爱”);情节(t、abs (cfs (1:)),“线宽”(2)ylabel“级”甘氨胆酸)组(,“XTick”,0.1 0.222 0.5 0.7 0.8 1.2)yyaxis正确的情节(t x,“——”)ylabel (“振幅”)包含(“秒”)举行从

图包含一个轴。轴包含2线类型的对象。

细尺度上CWT系数定位所有突然的变化数据。正弦分量的变换系数显示峰打开或关闭以及本地化正弦曲线的缺陷在222毫秒,800毫秒。因为CWT系数具有相同的时间分辨率的数据,通常很有用精细模为了使用连续小波变换检测瞬态变化的数据。最准确地定位这些瞬变,使用细尺度上(最高频率)系数。

提高时频分析

任何使用过滤器的时频变换,小波的变换,或调制windows的短时傅里叶变换,一定涂片图像信号的时间和频率。定位的不确定性信号的时间和频率的能量来自过滤器的传播在时间和频率。Synchrosqueezing技术试图弥补这模糊的“挤压”沿频率轴变换。为了说明这与小波,获得信号的类组成的振幅和频率调制(调幅-调频)信号和一个18-Hz正弦信号。定义的调幅-调频信号方程

$(2 + 因为 (4 π t)) 罪 (2 π 231 t + 90 罪 (3 π t))$

负载multicompsigsig = sig1 + sig2;类(团体、sampfreq“爱”)

图包含一个轴。坐标轴标题量图包含3级对象类型的形象,线,区域。

而类显示了18-Hz正弦波调幅-调频组件,我们当然看到18-Hz正弦波出现的频率。现在使用synchrosqueezing提高频率估计。

海温,[f] =墓场(sig, sampfreq);图helperSSTPlot (sst、t、f)

图包含一个轴。轴包含一个类型的对象的图像。

synchrosqueezed变换在很大程度上弥补了小波滤波器引入的传播在时间频率。Synchrosqueezing挤压相对广阔的山峰在时频缩小脊。你可以提取这些山脊和重建时频脊的单个组件。

(冰箱,iridge) = wsstridge (sst 5 f,“NumRidges”2);图;轮廓(t、f、abs (sst));网格在;标题(“Synchrosqueezed变换脊”);包含(的时间(秒));ylabel (“赫兹”);持有在;情节(t,冰箱,“k——”,“线宽”2);持有从;

图包含一个轴。轴与山脊标题Synchrosqueezed变换包含3类型的对象轮廓,线。

最后重建近似的组件时频脊和比较结果与原始组件。

iridge xrec = iwsst (sst);helperPlotComponents (xrec sig1 sig2 t)

图包含4轴。轴1标题重建模式包含一个类型的对象。轴2与标题原始组件包含一个类型的对象。轴3和标题重建模式包含一个类型的对象。轴与原有标题4组件包含一个类型的对象。

比较在两个信号时变频率的内容

通常有两个信号可能会以某种方式相关。在另一个信号可能决定行为,或可能只是相关的信号,因为一些外在影响的信号。如果你获得两个信号的类,您可以使用这些转换得到小波相干性,衡量时变相关性。

小波相干每次即时和中心频率产生相干值在0和1之间的量化两个信号之间的相关性的强度。因为复值小波,还有相位信息,可以用来推断动态关联性的信号之间的关系。作为一个例子,考虑以下两个信号。

t = 0:0.001:2;X = cos(2 *π* 10 * t) * (t > = 0.5 & t < 1.1) +…因为(2 *π* 50 * t)。* (t > = 0.2 & t < 1.4) + 0.25 * randn(大小(t));Y =罪(2 *π* 10 * t) * (t > = 0.6 & t < 1.2) +…罪(2 *π* 50 * t)。* (t > = 0.4 & t < 1.6) + 0.35 * randn(大小(t));图次要情节(2,1,1)情节(t, X) ylabel (“振幅”次要情节(2,1,2)情节(t、Y) ylabel (“振幅”)包含(“时间(s)”)

图包含2轴。轴1包含一线类型的对象。轴2包含了一个类型的对象。

信号是由两个正弦波(10赫兹和50 Hz)在白噪声。正弦波有稍微不同的时间支持。金宝app注意,10赫兹和50 Hz组件Y由1/4周期滞后对相应的组件X。两个信号的小波相干。

1000年图wcoherence (X, Y,,“PhaseDisplayThreshold”,0.7)

图包含一个轴。标题为小波相干的轴包含157个对象类型的形象,线,补丁。

信号的小波相干估计捕捉50和10 Hz附近高度相关,只有在正确的时间间隔。情节上的黑色箭头显示信号之间的相位关系。箭头点直这表明90度两个信号之间的相位关系。这正是由cos sin条款的关系的信号。

一个真实世界的例子,考虑厄尔尼诺地区3数据和延长的销售季节所有的印度降雨指数从1871年到2003年年底。每月的数据采样。尼诺3时间序列的记录每月的海面温度异常在摄氏度记录从赤道太平洋西方以西经度90度到150度,北纬5度到5度。印度降雨指数代表了印度在毫米雨量与季节性组件移除。

负载ninoairdata图次要情节(2,1,1)情节(datayear,尼诺)标题(“厄尔尼诺地区海温异常3——”)ylabel (“度”)包含(“年”)轴紧次要情节(2,1,2)情节(datayear、空气)轴紧标题(“延长的销售季节所有的印度降雨指数”)ylabel (“毫米”)包含(“年”)

图包含2轴。轴1与标题厄尔尼诺地区海温异常3,包含一个类型的对象。轴2标题延长的销售季节所有的印度降雨指数包含一个类型的对象。

计算两个时间序列之间的小波相干。将相位显示阈值设置为0.7。显示时间,指定采样间隔为一年的1/12。

图wcoherence(尼诺、空气、年(1/12),“PhaseDisplayThreshold”,0.7);

图包含一个轴。标题为小波相干的轴包含61个对象类型的形象,线,补丁。

情节显示time-localized地区的强一致性对应于典型的厄尔尼诺现象发生在时间2到7年的周期。情节还显示有一个近似3/8-to-1/2周期两个时间序列之间的延迟时间。这表明海洋变暖的时期与厄尔尼诺现象记录一致南美海岸在印度与降雨量大约17000公里,但这种效应是推迟了约1/2周期(1 - 3.5年)。