最大重叠离散小波变换 - 由波动尺度

小波变换有许多不同的变化。本例重点讨论了最大重叠离散小波变换。MODWT是一种二进(2的幂)尺度上的非抽取小波变换，经常用于金融数据。MODWT用于时间序列分析的一个很好的特征是它按尺度划分数据方差。为了说明这一点，考虑1947年第一季度到2011年第四季度的美国实际GDP季度链加权数据。对数据进行转换，首先取自然对数，然后计算年与年的差异。用“db2”小波获取真实GDP数据到第6级的MODWT。检验数据的方差，并与MODWT得到的尺度方差进行比较。

加载GDPExampleData；realgdpwt = MODWT（realgdp，“db2”6);vardata = var (realgdp, 1);varwt = var (realgdpwt 1 2);

在vardata这是总GDP时间序列的方差。在varwt你有MODWT的尺度方差。有七个要素varwt因为你获得的MODWT降至导致6个小波系数方差和一个换算系数方差6的水平。通过规模总和方差看到方差被保留。绘制小波由刻度忽略缩放系数方差方差。

totalMODWTvar =总和（varwt）;巴（varwt（1：结束-1，:)）AX = GCA;AX.XTickLabels = {“[2 4)”那“[4 8)”那'[8 16）'那'[16 32）'那“64年(32)”那“[64 128)”};Xlabel（“宿舍”) ylabel ('方差')标题(“小波方差进行规模经营”）

因为这个数据是季度的，所以第一个尺度捕捉了2到4个季度之间的变化，第二个尺度捕捉了4到8之间的变化，第三个尺度捕捉了8到16之间的变化，以此类推。

从MODWT和一个简单的柱状图中，你会看到，在8个到32个季度中的数据周期占国内生产总值数据的最大变化。如果考虑小波方差在这些尺度，他们占的GDP数据的变化的57％。这意味着，在国内生产总值在一段2至8年的振荡占了大部分时间序列看到的可变性。

大缓和 - 测试的变化与波动MODWT

小波分析常常可以揭示在汇总数据中不明显的波动变化。从GDP数据的图表开始。

helperFinancialDataExample1 (realgdp,年,“较去年同期真实GDP美国”）

阴影部分被称为“大缓和”(Great Moderation)，意指从20世纪80年代中期开始，美国宏观经济波动下降的时期。

检查汇总数据，目前尚不清楚，有在此期间实际上降低了波动性。使用小波首先获得使用“DB2”的实际GDP数据的多分辨率分析调查这一小波下降到6级。

realgdpwt = MODWT（realgdp，“db2”6“反射”）;gdpmra = modwtmra (realgdpwt,“db2”那“反射”）;

绘制水平，一个细节，D1。这些细节在持续两个到四个季度中的数据采集振荡。

: helperFinancialDataExample1 (gdpmra (1),,......“较去年同期真实GDP美国 -  D1”）

检查水平，一个细节，似乎有在大稳健时期降低方差。

测试显著差异changepoints水平一小波系数。

[pts_Opt, kopt t_est] = wvarchg (realgdpwt(1,1:元素个数(realgdp)), 2);年(pts_Opt)

Ans =持续142年

有由“DB2”小波在一级介绍在1982年确定的方差变点这个例子不正确的延迟。然而，延迟只有两个样本，因此不会明显影响的结果。

为了评估国内生产总值数据的波动性变化前，后的1982年，将原始数据分成前，后的Changepoint系列。取得前置和后置数据集的小波变换。在这种情况下，该系列都比较短，所以使用Haar小波，以尽量减少边界系数的数量。通过规模计算小波方差的无偏估计并绘制结果。

tspre = realgdp（1：pts_Opt）;tspost = realgdp（pts_Opt + 1：结束）;wtpre = MODWT（tspre，“哈尔”5）;wtpost = MODWT（tspost，“哈尔”5）;prevar = modwtvar（wtpre，“哈尔”那“表”）;postvar = modwtvar (wtpost,“哈尔”那“表”）;xlab = {'[2Q，4Q）'那'[4Q，8Q）'那'[8Q，16Q）'那'[16Q，32Q）'那“[32 q 64 q)”};helperFinancialDataExampleVariancePlot（prevar，postvar，“表”，XLAB）标题（“小波方差通过量表”）;传奇('前1982年Q2'那“后1982年第二季度”那“位置”那'西北'）;

从前面的情节，似乎有预1982Q2和post-1982Q2方差在2分16个季度间标间显著的差异。

由于时间序列是如此短在这个例子中，它可以是使用方差的有偏估计是有用的。偏估计不删除边界系数。使用“DB2”小波滤波器与四个系数。

wtpre = MODWT（tspre，“db2”5,“反射”）;wtpost = MODWT（tspost，“db2”5,“反射”）;prevar = modwtvar（wtpre，“db2”，0.95，'EstimatorType'那“偏见”那“表”）;postvar = modwtvar (wtpost,“db2”，0.95，'EstimatorType'那“偏见”那“表”）;xlab = {'[2Q，4Q）'那'[4Q，8Q）'那'[8Q，16Q）'那'[16Q，32Q）'那“[32 q 64 q)”};图;helperFinancialDataExampleVariancePlot（prevar，postvar，“表”，XLAB）标题（“小波方差通过量表”）;传奇('前1982年Q2'那“后1982年第二季度”那“位置”那'西北'）;

结果证实了我们最初的发现，大缓和表现在2到16个季度的波动减少。

GDP成分数据的小波相关分析

您还可以使用小波通过规模两个数据集之间的相关性进行分析。检查政府支出和私人投资的总数据之间的相关性。该数据涵盖同期实际GDP数据，并在完全相同的方式转化。

(ρ,pval] = corrcoef (privateinvest govtexp);

政府支出和个人投资的负相关系数为-0.215，虽然弱，但在统计上显著。使用MODWT重复这个分析。

wtPI = modwt (privateinvest,“db2”5,“反射”）;wtGE = MODWT（govtexp，“db2”5,“反射”）;wcorrtable = modwtcorr (wtPI wtGE,“db2”，0.95，“反射”那“表”）;显示器（wcorrtable）

wcorrtable = 6x6的表NJ下的Rho上P值AdjustedPvalue ___ ________ ________ __________ _________ ______________ D1 257 -0.29187 -0.12602 0.047192 0.1531 0.7502 D2 251 -0.54836 -0.35147 -0.11766 0.0040933 0.060171 D3 239 -0.62443 -0.35248 -0.0043207 0.047857 0.35175 D4 215 -0.70466  -0.32112 0.20764 0.22523 0.82773 D5 167 -0.63284 0.12965 0.76448 0.75962 1 S5 167 -0.63428 0.12728 0.76347 0.76392 1

MODWT的多尺度相关仅在尺度2上呈现显著的负相关，对应4 ~ 8个季度数据的周期。即使是这种相关性在经过多次比较调整后也只是略微显著。

多尺度相关分析表明，总体数据的轻微负相关是由4 - 8个季度尺度上的数据行为驱动的。当你考虑不同时期(规模)的数据时，没有显著的相关性。

小波互相关序列 - 超前和滞后变量

随着金融数据，往往是变量之间的超前或滞后关系。在这些情况下，是有用的检查的互相关序列，以确定是否滞后相对于另一个变量最大化他们的互相关。为了说明这一点，考虑GDP的两个组成部分之间的关​​系 - 个人消费支出和私人国内投资总额。

piwt = MODWT（privateinvest，“fk8”5）;PCWT = MODWT（PC，“fk8”5）;图;modwtcorr（piwt，PCWT，“fk8”）

个人支出和个人投资在2-4个季度内呈负相关。在较长尺度上，个人支出与个人投资之间存在较强的正相关关系。在代表2-4个季度周期的尺度上检查小波互相关序列。

(xcseq xcseqci,滞后)= modwtxcorr (piwt pcwt,“fk8”）;zerolag =地板（numel（xcseq {1}）/ 2）+1;情节（滞后{1}（zerolag：zerolag + 20），xcseq {1}（zerolag：zerolag + 20））;抓住在；情节（滞后{1}（zerolag：zerolag + 20），xcseqci {1}（zerolag：zerolag + 20，:)，'R--'）;Xlabel（“滞后（宿舍）”）;网格在；标题（'小波互相关序列 -  [2Q，4Q）'）;

最小尺度的小波互相关序列在滞后1个季度后出现峰值正相关。这表明个人投资落后个人支出四分之一。

美国通胀率连续小波分析

使用离散小波分析，您将限于Dyadic Sc​​ales。使用连续小波分析时，将消除这种限制。

加载美国1961年5月至2011年11月的通胀数据。

加载CPIInflation；图情节（YR，通货膨胀）AX = GCA;AX.XTick = 1962：10：2011;标题（“CPI通胀 -  2061至11年”）轴紧；网格在；Xlabel（'年'）

在时间数据中，一个缓慢的振荡出现在70年代初，似乎在80年代末消散。

为了表征稳定性增加的周期，获得的连续小波变换（CWT）使用解析Morlet小波数据。

类(通货膨胀,“阿穆尔”，年（1/12））;AX = GCA;AX.XTick = 8/12：10：12分之596;AX.XTickLabels =岁（圆（AX.XTick * 12））;

的CWT揭示了在4-6岁的大致范围内的膨胀速率数据最强振荡。这种波动由20世纪80年代中期开始消散，其特征是在膨胀二者的逐渐降低和波动朝向较长的偏移。在20世纪70年代到80年代初的强波动周期是这导致了主要工业经济滞胀（停滞的经济增长和通胀）20世纪70年代能源危机（石油危机）的结果。看［1］对这些和其他宏观经济数据进行基于cwt的深入分析。这个例子复制了那篇文章中更广泛和更详细的分析的一小部分。

结论

在这个例子中，你学会了如何使用MODWT来分析金融时间序列数据多尺度的波动性和相关性。本实施例还证明了小波可以如何被用于检测在一个进程随时间的波动的变化。最后，该示例显示了CWT如何被用于表征金融时间序列波动加剧的时期。该参考提供有关财务数据和时间序列分析的小波应用的更多细节。

附录

以下的辅助函数被用于本实施例。

*helperFinancialDataExample1

*helperFinancialDataExampleVariancePlot

*helperCWTTimeFreqPlot