我希望通过我们的火焰例如运行ODE45，主MATLAB ODE求解，来说明刚性的重要概念。差分方程为y主要为y平方减Y立方，我要去选择一个fairly--极小的初始条件，10到负第六。T的最终值是2比Ÿ没出息，我要实行适度的精度要求，10的负第五。

现在让我们运行ODE45其默认输出。现在，看到它的taking--它的移动速度很慢这里。它采取很多步骤。所以我在这里take-按下停止按钮。它的工作很辛苦。让我们在和缩放看到它为什么在这里采取这么多措施，非常密集的步骤。

这是刚度。它满足我们规定的精度要求。所有这些步骤都在10至一负第六，但它采取非常小步骤来做到这一点。这些步骤是如此之小，图形甚至不能辨别步长。

这是刚度。这是一个效率的问题。它是做什么的，我们提出的要求。它满足精度要求，但它不得不采取非常小的步骤去做。

让我们尝试另一个ODE solver-- ODE23。只需将其更改为23，看看它做什么。它也采取小步出于同样的原因。如果我们在这里放大，我们将看到同样的这种行为。但它采取以达到所需的精度非常小的步骤。

现在，让我介绍一个新的求解器，ode23s。在S刚度。这是设计来解决刚性问题。只听轰的一声，这是不言而喻了，原来的角落，它只需几个步骤来获得最终结果。在那里，它原来的角落非常快。

我们将看到ode23s如何在一分钟，但首先让我们试着来定义的刚度。那就是没有一个精确的数学定义了质的概念。这取决于问题，而且对解算器和精度要求。

但它是一个重要的概念。我们说一个问题是僵硬如果解决方案正在寻求非常缓慢，但也有附近的解决方案非常迅速。金宝搏官方网站所以数值方法必须采取小步骤，以获得满意的效果。

常微分方程生硬的方法必须是隐含的。他们必须涉及到包括从向前时间步长向后看的公式。这些方法的原型是向后欧拉法，或隐式欧拉法。

这个公式，它involves--定义是否加1，但并没有告诉我们如何计算它。我们必须解决这个等式是否加1。而且我不打算详谈关于我们如何真正做到这一点。它涉及像牛顿方法would--需要知道的衍生物，或近似f的衍生物。但是，这给你的，你可以在僵硬的方法会发生什么的想法。

我喜欢做一个类比采取加息在我们这里有西南的狭缝型峡谷之一。显式方法，如ODE23和45采取步骤峡谷的墙壁上来回跨越峡谷的两侧，使下峡谷进展非常缓慢。而隐式的方法，如ode15s，向前看顺着峡谷和你想要去，使峡谷的快速进步向前看。

刚性求解器，ode23s，使用隐式的二阶公式和相关联的三阶误差估计。它计算f的偏导数相对于两者是叔和f在每一步骤，所以这是昂贵的。这是在原油误差容限高效率，像图形的精度。它具有相对低的开销。

通过比较的方式，刚性求解器ode15s，可以被配置为使用所述可变顺序数值微分公式，NDF，或相关的向后分化式BDF。无论情况下，它可节省超过前面的步骤功能的几个值。顺序变化之间自动一个和五个，则计算偏导数较不频繁，并没有看到在较高的公差然后23S高效。