许多数学模型都涉及高阶导数。但MATLAB ODE求解器仅适用于一阶常微分方程系统。所以我们必须重写模型只考虑一阶导数。我们来看看如何用一个非常简单的模型来做，谐振子。

x ' ' + x = 0。这涉及到二阶导数。为了把它写成一阶系统，我们引入了向量y，它有两个分量，x和x的导数。

我们只是改变了符号让y有两个分量，x和x 'y的导数是关于x和x ' '的向量。所以微分方程变成了y2 ' + y1 = 0。你们看到我们是怎么重写这个微分方程的了吗?y '等于x ' '吗?

一旦你做到了这一点，其他的事情就简单多了。向量系统现在是y1 y2 '是y2 - y1。第一个分量说y1 '是y2。这就是说第一项的导数是第二项。这是微分方程本身。Y2 '是- y1是谐振子微分方程。

当我们写这篇文章，作为MATLAB的自治功能，这里的自治功能。f是吨和y的自主功能，即不依赖于吨。首先，它现在是一个向量，列向量。f的第一组分是Y2。而第二部分是-Y。

这里的第一个分量只是一个符号问题。所有的内容都在表示微分方程的第二部分。

对于一些初始条件，假设初始条件是x (0) = 0, x '(0) = 1。对于向量y，这是y1 (0) y的第一个分量是0。第二个分量是1。

或者用向量来表示，初始向量是。这意味着它们的解是sint和cost，当我们在MATLAB中写出初始条件时，它是列向量。

让我们打开MATLAB命令窗口。这是微分方程。y1 '是y2。y2 '是-y1。这是谐振子。

我们将整合从0到2PI，因为他们是三角函数。我要去超过36索要输出2 pi的步骤，它相当于每10度像在机场跑道。

我将需要一个初始条件。Y0为0。我需要一个列向量，0，1，对于两个组件。我将使用ODE45，如果我不带输出参数，微分方程F，T跨越的时间间隔ODE45和Y0初始条件调用它。

如果我打电话ODE45没有输出参数，它只是自动绘制的解决方案。在这里，我们得到从1开始的余弦吨图表，从0开始正弦吨。

现在，如果我回到命令窗口，要求捕捉t和y表示的输出，我就会得到输出的向量。37步，向量t，和两个分量y，这两列包含sin和cos。现在我可以把它们画在相平面上。

密谋ya对抗y2。如果我将坐标轴规格化，我将得到一个每10度带有小圆圈的漂亮的圆的图形，正如我所说的，就像机场的跑道一样。

范德波尔振荡器是在1927年由一位荷兰电气工程师引入的，用于建立一个包含真空管的电路的振荡模型。它有一个非线性阻尼项。此后，它被用于建模各种领域的现象，包括地质学和神经学。

它表现出混乱的行为。我们对它感兴趣是为了进行数值分析，因为随着参数mu的增加，问题变得越来越棘手。为了把它写成一阶系统，用于MATLAB ODE求解器，我们引入了包含x和x '的向量y。

y '等于x '和x ' '然后把微分方程写成y '的第一个分量是y2。然后微分方程是y的第二个分量。

这是非线性阻尼项- y1。当为0时，它变成谐振子。这是匿名函数。

让我们运行一些实验用范德波尔振荡器。首先，我必须定义亩的价值。我来接亩的适度值。穆等于100现在与万亩设置，我可以定义匿名函数。

它包含一个值。这是f的第二个分量中的范德波尔方程，我将收集关于ODE求解器工作的统计数据。为此，我将使用ODE set，告诉它我要打开stats。

我需要一个初始条件。现在我要在这个问题上运行ODE45。我指定了t的起始值，和t的最终值ODE45会选择它自己的时间步长。我知道t的终值是460，它会对解的两个周期积分。

现在我们可以看一会儿。它采取了很多步骤。随着需要的步骤越来越多，速度开始放缓。现在它开始变得非常缓慢因为它开始变得僵硬。

我先把摄像机关掉一会儿，这样你就不用看这些步骤了。我们想要达到460。等快结束的时候我再把它打开。

好吧，摄像机已经关了三分钟了。你可以看到我们已经走了多远。我们离终点还远着呢。我要按下停止键。回到命令窗口。

呵呵，所以我们没有到达终点这里。让我背过的时间间隔，在这里试试这个值。请参阅如何工作的。因此，这将仍然需要很多步骤。

但是，我们将能够中场休息这将大大超过约一个周期。我们将真正得到这里结束。

我把摄影机开着，直到我们拍完。这花了不到一分钟的时间。它走了近15000步。让我们用一种强硬的解决方案来运行它。

在那里。所以只用了半秒，500步。这里有一个关于刚性的例子。让我们用stiff求解器来检验范德波尔方程。让我们捕获输出并绘制它。

因为情节不是很有趣。我想用几种不同的方法来画它。再一次，我想回到——捕捉几个周期。

我们把当前的一个分量作为时间的函数画出来。这就是。这是范德波尔方程。

你可以看到它有一个初始的暂态，然后它就变成了这个周期振荡带有这些非常陡峭的尖峰。即使是这个顽固的解决者也在这些快速变化中努力工作。我们已经得到了相当多的点，它选择了步长。

现在，让我们回到命令行，做一个相平面情节。因此，这里的这个振荡阻尼的相平面情节。而且它远不及一个圆，它是，如果亩为0。

这是范德波尔振荡器的特征行为。