我刚从ICIAM2019会议在西班牙的巴伦西亚。这是一个巨大的会议——4000多名与会者，数十个奖项和邀请的演讲，数百个平行的迷你会议。我在尼克·海厄姆和罗布·科利斯组织的两部分迷你研讨会上做过演讲。我概述了演讲的第一部分这个博客一个月前。这篇文章概述了第二部分，是关于阿达玛矩阵的。其中一些是从这个博客五年前。

内容

阿达玛矩阵

任何矩阵的行列式不能大于其行长度的乘积。这导致阿达玛的不平等，对于任何$n$ × $n$矩阵$A$，元素为+1或-1，

$|\mbox{det}(A)| \le n^{n/2}$

阿达玛矩阵是一个方阵$H$，其元素为+1或-1，其行(或列)相互正交

$H^T H = nI$

阿达玛矩阵在阿达玛不等式中实现相等。相反，任何实现相等的矩阵都必须是阿达玛矩阵。

2 × 2的阿达玛矩阵是

$ $ H = \离开(\开始{数组}{rr} 1 & 1 \ \ 1 & 1 \ \ \{数组}结束\右)$ $

请注意,

$|\mbox{det}(H)| = 2 = 2^{2/2}$

对所有3 × 3矩阵的直接搜索显示

开始左($ $ = \ \{数组}{存款准备金率}1 & 1 & 1 \ \ 1 & 1 & 1 \ \ 1 & 1 & 1 \结束数组{}\右)$ $

它的排列有最大的行列式。

但是$A$的行不是相互正交的

$|\mbox{det}(A)| = 4 < 3^{3/2} = 5.196$

我们得出结论，3 × 3阿达玛矩阵不存在。

一个4 × 4的阿达玛

$ $ H = \离开(\开始{数组}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \ \ 1 & 1 & 1 & 1 \ \ 1 & 1 & 1 & 1 \ \ 1 & 1 & 1 & 1 \结束数组{}\右)$ $

请注意

$|\mbox{det}(H)| = 16 = 4^{4/2}$

存在

这三个例子是这一重要事实的特殊情况:阿达玛矩阵的阶必须是1、2或4的倍数。那么反过来的问题呢，对于每个$k$，是否存在阶为n = 4k$的阿达玛矩阵呢?没有人确切知道。这是一个重要的开放性数学问题。

一代

创建一些大小的阿达玛矩阵很容易。如果$H$是任意的阿达玛矩阵，那么块矩阵也是

$ $ \离开(\{数组}{rr}开始H & H \ \ H & - H \ \ \{数组}结束\右)$ $

您可以用1 × 1矩阵$H = 1$开始递归，并生成顺序为2的幂的阿达玛矩阵。MATLAB函数阿达玛也可以从12 × 12或20 × 20的$H$开始。这就是你得到的。黄色是+1，蓝色是-1。

Baumert92

我见证了阿达玛矩阵历史上的一个里程碑。到1961年，人们已经知道如何构造所有阶为$n \ le100 $的4的倍数的阿达玛矩阵，除了$n = 92$。1961年，我在JPL(加州理工学院的喷气推进实验室)做暑期工。我的办公室在一个临时拖车里，我的拖车同伴是一个叫伦恩·鲍默特的代数家。莱恩自豪地向我展示了一张彩色图表这是他在喷气推进实验室的主机上用一个小时的时间计算出来的他打算把它作为杂志的封面科学美国人．它是一个92 × 92的矩阵，由23 × 23的块组成，分别代表+1和-1的明暗交替单元格。封面上没有这张图片科学美国人但是我的那本保存了很长时间。

Len填写了最后一个小于100的值$n$。他与同事Sol Golomb(南加州大学教授)和Marshall Hall, Jr.(加州理工学院教授)的论文发表在著名的《AMS公报》上。原来我上过一门关于差分集的课，这门课涉及到生成矩阵的数学，是加州理工学院霍尔教授的。

这里是MATLAB的图片和代码Baumert92．

参考文献

莱昂纳德·鲍默特、s·w·戈罗姆和小马歇尔·霍尔，《92阶阿达玛矩阵的发现》，< http://dx.doi.org/10.1090%2fs0002 - 9904 - 1962 - 10761 - 7>，美国数学学会公报68(1962)，237-238。

代码

类型Baumert92.m

函数H = Baumert92 % Baumert92 92阶的阿达玛矩阵。鲍默特、戈罗姆和霍尔，《医学通报》第68期，1962年第237-238页。第一行23 × 23循环。米  = [ '+ + - - - + - - - + - + + - + - - - + - - - +' '+ - + + - + + - - + + + + + + - - + + - + + -' '+ + + - - - + + - + - + + - + - + + - - - + +' '+ + + - + + + - + - - - - - - + - + + + - + +' ];M = 2*(M(:，1:2:end)=='+')-1;A = toeplitz([1 M(1,end:-1:2)]，M(1，:));B = toeplitz([1 M(2,end:-1:2)]，M(2，:));C = toeplitz([1 M(3,end:-1:2)]，M(3，:));D = toeplitz([1 M(4,end:-1:2)]，M(4，:));H = [a b c d; -B A -D C; -C D A -B; -D -C B A];

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发布与MATLAB®R2018b