我刚从……回来ICIAM2019会议在瓦伦西亚,西班牙。这是一个巨大的会议——4000多名与会者，数十个奖品和邀请演讲，数百个类似的小型淋巴癌。我在一个由尼克·海厄姆和罗伯·科里斯组织的由两部分组成的小型研讨会上发表了演讲。我概括了演讲的第一部分这个博客一个月前。这篇文章概述了第二部分，是关于哈达玛矩阵的。有些是从一个柱子上取下来的这个博客五年前。

内容

阿达玛矩阵

任何矩阵的行列式不能大于其行列式长度的乘积。这将导致阿达玛的不平等，对于任何$n$ × $n$矩阵，$A$，元素为+1或-1，

$ | \ mbox{侦破}(A) | \ n ^ {n / 2} $

阿达玛矩阵是一个方阵$H$，其元素为+1或-1，其行(或列)相互正交

$H^T H = nI$

哈达玛矩阵在哈达玛不等式中实现相等。相反，任何达到相等的矩阵都必须是一个哈达玛矩阵。

2 × 2哈达玛矩阵是

$ $ H = \离开(\开始{数组}{rr} 1 & 1 \ \ 1 & 1 \ \ \{数组}结束\右)$ $

请注意,

$|\mbox{det}(H)| = 2 = 2^{2/2}$

对所有3 × 3矩阵的直接搜索表明

开始左($ $ = \ \{数组}{存款准备金率}1 & 1 & 1 \ \ 1 & 1 & 1 \ \ 1 & 1 & 1 \结束数组{}\右)$ $

它的排列有最大的行列式。

但是$A$的行不是相互正交的

$|\mbox{det}(A)| = 4 < 3^{3/2} = 5.196$

我们得出不存在3 × 3哈达玛矩阵。

4 × 4的哈达玛是

$ $ H = \离开(\开始{数组}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \ \ 1 & 1 & 1 & 1 \ \ 1 & 1 & 1 & 1 \ \ 1 & 1 & 1 & 1 \结束数组{}\右)$ $

请注意

$|\mbox{det}(H)| = 16 = 4^{4/2}$

存在

这三个例子是这个重要事实的特殊情况:一个阿达玛矩阵的顺序必须是1、2或4的倍数。但是反过来的问题呢，是否存在一个阶为$n = 4k$的哈达玛矩阵?没有人确切知道。这是一个重要的开放数学问题。

一代

创建一定大小的哈达玛矩阵是很容易的。如果$H$是任何Hadamard矩阵，那么块矩阵也是

$ $ \离开(\{数组}{rr}开始H & H \ \ H & - H \ \ \{数组}结束\右)$ $

您可以从1 × 1矩阵$H = 1$开始递归，并生成顺序为2的幂的哈达玛矩阵。MATLAB函数阿达玛也可以从12 × 12或20 × 20 $H$开始。这是你得到的。黄色是+1，蓝色是-1。

Baumert92

我在哈达玛矩阵的历史上有一个里程碑，到1961年，已经知道如何构造所有订单$n \le 100$ 4的倍数的哈达玛矩阵，除了$n = 92$。1961年，我在喷气推进实验室(JPL，加州理工学院的喷气推进实验室)做了一份暑期工作。我的办公室在一辆临时拖车里，我的拖车伙伴是个代数家，名叫伦·鲍默特。Len很自豪地给我看了一张彩色图片这是他刚刚在喷气推进实验室的主机上花了一个小时计算做出来的这是他提议的封面科学美国人．这是一个92乘92的矩阵，由23乘23的交替亮单元和暗单元组成，分别代表+1和-1。这张照片没有登上科学美国人但我把我的副本保存了很长时间。

Len填入了小于100的$n的最后一个值。他与南加州大学教授Sol Golomb和加州理工学院教授Marshall Hall Jr.的论文发表在享有盛誉的《医疗AMS公报》上。原来我上过一门关于差集的课程，也就是生成矩阵的数学，是由加州理工学院的霍尔教授教的。

这里是一个MATLAB的图片和代码Baumert92．

参考文献

伦纳德·鲍默特，s·w·戈罗姆和马歇尔·霍尔的《发现阿达玛矩阵的92阶》< http://dx.doi.org/10.1090%2fs0002 - 9904 - 1962 - 10761 - 7>，美国数学学会通报68(1962)，237-238。

代码

类型Baumert92.m

函数H = Baumert92 % Baumert92 Hadamard矩阵的92阶。% H =鲍默特92 %鲍默特，戈罗姆，和霍尔，通报68,1962,237-238。% http://dx.doi.org/10.1090%2FS0002-9904-1962-10761-7 % 23 × 23循环的第一行。米  = [ '+ + - - - + - - - + - + + - + - - - + - - - +' '+ - + + - + + - - + + + + + + - - + + - + + -' '+ + + - - - + + - + - + + - + - + + - - - + +' '+ + + - + + + - + - - - - - - + - + + + - + +' ];M = 2 * (M(结束):1:2:= = ' + ')1;A = toeplitz([1 M(1,end:-1:2)]，M(1，:));B = toeplitz([1 M(2,end:-1:2)]，M(2，:));C = toeplitz([1 M(3,end:-1:2)]，M(3，:));D = toeplitz([1 M(4,end:-1:2)]，M(4，:));a b c d; -B A -D C; -C D A -B; -D -C B A];

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发布与MATLAB®R2018b