当我在写关于贬义的集合管，我很高兴地发现了由舍入误差在三重克罗内克积的计算特征值中所产生的有趣的模式。下载188bet金宝搏

内容

克罗内克积

两个矩阵$A$和$B$的克罗内克积，用$A \ o* B$表示，用克隆亚麻(A, B)，是包含$B$的元素与$A$的元素的所有可能乘积的大矩阵。下载188bet金宝搏

$ $ \ otimes B = \离开(\{数组}{rrrr}开始现代{1 1}B &现代{1,2}B &……& a_{1,n}B \\ a_{2,1}B & a_{2,2}B &…& a_{2,n}B \\…\\ a_{m,1}B & a_{m,2}B &…& a_{m,n}B \end{array} \right) $$

两个矩阵$A \otimes B$和$B \otimes A$是不相等的，尽管它们有相同的元素，但顺序不同。

两个矩阵$A \otimes (B \otimes C)$和$(A \otimes B) \otimes C$是相等的。这是三重克罗内克积， A \有时B \有时加币。

$A * B$的特征值是$A$和$B$的特征值的所有可能的乘积。下载188bet金宝搏

例子

例如，假设$A$是魔方。

$$ A = \left(\begin{array}{rrr} 8 & 1 & 6 \\ 3 & 5 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \end{array} \right) $$

$I$是单位矩阵。

左($ $ I = \ \{数组}{rr}开始结束1 & 0 0 & 1 \ \ \{数组}\右)$ $

然后$I \otimes A$是块对角线，对角线上有$A$的副本。

$ $我左\ otimes A = \ \{数组}{rrrrrr}开始8 & 1 & 6 & 0 & 0 & 0 \ \ 3 & 5 & 7 & 0 & 0 & 0 \ \ 4 & 9 & 2 & 0 & 0 & 0 \ \ 0 8 & 0 & 0 & & 1 & 6 \ \ 0 & 0 & 0 & 3 & 5 & 7 \ \ 0 & 0 & 0 & 4 & 9 & 2 \结束数组{}\右)$ $

$A \otimes I$的元素沿多个对角线分布。

$ $我= \ \ otimes左(\{数组}{rrrrrr}开始8 & 0 & 1 & 0 & 6 & 0 \ \ 0 8 & 0 & & 1 & 0 & 6 \ \ 3 & 0 & 5 & 0 & 7 & 0 \ \ 0 & 3 & 0 & 5 & 0 & 7 \ \ 4 & 0 & 9 & 0 & 2 & 0 \ \ 0 & 4 & 0 & 9 & 0 & 2 \结束数组{}\右)$ $

$A\otimes I$和$I \otimes A$的特征值都是$A$特征值的多个副本。

A =魔术(3);I =眼睛(2);eig_A = eig(A) eig_IxA = eig(kron(I,A)) eig_AxI = eig(kron(A,I))

eig_A = 15.000000000000004 4.898979485566361 -4.898979485566358 eig_IxA = 15.000000000000004 4.898979485566361 -4.898979485566358 eig_AxI = 4.898979485566356 -4.898979485566355 15.000000000000004 eig_AxI = 4.898979485566356 -4.898979485566355 15.000000000000002 14.99999999999999998 4.898979485566359 -4.898979485566356

具有高多重性的特征值

我们的构建块是多项式的伴生矩阵

$$ (s^2-1)^p $$

展开涉及二项式系数。例如,p= 4,

$$ (s^2-1)^4 = s^8 - 4s ^6 + 6s ^4 - 4s ^2 + 1 $$

这是矩阵的特征多项式

A =同伴(4)

= 0 4 0 6 0 4 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

的特征值一个+1和-1都是重复的吗p次;这是他们的代数多重性．他们的几何重数只有一个;它们各自只有一个特征向量。

特征值对任何类型的误差都非常敏感，包括舍入误差。

格式长e = eig(A)

E = -1.000063312800363 + 0.000063312361825i -1.000063312800363 - 0.000063312361825i -0.999936687199636 + 0.000063313248591i -0.999936687199636 - 0.000063313248591i 1.000078270656946 + 0.000000000000000i 0.999999997960933 + 0.000078268622898i 0.999999997960933 - 0.000000000000000i 0.999921733421185 + 0.000000000000000000i

精确的特征值可以用

精确=圆(e)

精确= -1 -1 -1 1 1 1 1 1

计算出的特征值位于复平面的圆上，以精确的值为中心，半径大致为p-舍入错误的根。在本例中，以+1为中心的值恰好比以-1为中心的值稍微准确一些。

Half_fig (-1,e)

费德勒伴矩阵

与传统的伴随矩阵不同的另一种选择是费德勒伴矩阵。

A =同伴(4，菲德勒的）

A = 0 4 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -6 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

这一次，特征值以相反的顺序计算，在-1处的特征值更准确。

e = eig(A)

E = 1.000107000301506 + 0.000000000000000i 1.000000000805051 + 0.000107001107366i 1.000000000805051 - 0.000107001107366i 0.999892998088390 + 0.000000000000000i -1.000062156379228 + 0.000000000000000i - 0.99999999990704846 + 0.000000000000000i - 0.99999999990704846 - 0.000062147083463i -0.999937862211083 + 0.000000000000000000i

E = flipud(E);Half_fig (-1,e)

三重克罗内克产品

我们的图形TKP涉及到K$，即三克罗内克矩阵乘积

$$ K = A有时I有时B $$

其中$A$和$B$是多项式$(s^2-1)^p$和$(s^2-1)^r$的伴随矩阵$I$是$q$ -by- $q$单位矩阵。

p, q和r的值是由控件设置的。最初它们是4 3 2。$K$的大小是3个大小的乘积的4倍，n = 4pqr。计算时间为$O(n^3)$。n的值可能大于约4000，但速度较慢。

$K$的特征值的一半等于+1，另一半等于-1，所以这些特征值的多重性非常高，对舍入误差非常敏感。显示器显示了计算值和精确特征值之间的差异。$K$的结构使得这些错误在复平面的许多不同的圆上产生了挑衅的图案。

两种具有不同舍入行为的伴随矩阵是可能的。传统的伴随矩阵的所有多项式系数都在上赫森伯格矩阵的第一行。费德勒伴矩阵的系数排列在五对角矩阵的上对角和下对角上。

TKP

这是计算核心。带有控件的完整程序在这里:tkp.m．

函数tkp(p,q,r) A = companion(p);I =眼睛(q);B =同伴(r);K =克朗(A，克朗(I,B));e = eig(K);精确=圆(e);Err = e -精确;情节(呃,“。”）结束

函数X =伴(p) c = 1;为J = 1:p c = conv(c，[1 0 -1]);结束M = 2*p;X = [-c(2:m+1)];眼睛(m - 1 m));结束

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发布与MATLAB®R2019b