大约12年前，我在实现一个算法roifill在图像处理工具箱中。在此算法中，将替换(或填充)指定的像素集，以便每个被替换的像素等于其北、东、南和西邻居的平均值。我执行了一个迭代算法，虽然有效，但速度很慢。当我问MATLAB的创造者和公司的联合创始人克斯如果他知道更好的方法，他会立即回答:“在我看来，它是一个稀疏线性系统。为什么不用反斜杠呢?”

头一巴掌!当然可以。

现在，我再次看到一个非常相似的方程组，并再次考虑使用稀疏反斜杠。

在Tarboton论文中，上坡面积的计算是递归的。也就是说，一个像素的上斜面积等于1加上它相邻像素上斜面积的一些分数。(具体分数是相邻流体流向的函数。)这是一个线性方程组。让我们看看如何在MATLAB中建立和求解这个系统。

我们将从创建一个测试“DEM”开始。我喜欢用峰．

E =山峰;imshow (E, [],“InitialMagnification”，“健康”）

接下来，使用该功能计算像素流量方向dem_flow.从我的上斜坡面积对MATLAB中央文件交换的贡献．

r = dem_flow（峰值）;

我们的稀疏系统的每一行和每一列将对应一个单独的像素。这样可以方便地制作一个与E大小相同的矩阵，对E的各个像素进行“数字”或标记。这些标记将被用作稀疏矩阵的行和列坐标。

PIXEL_LABELS = 1：NUMER（e）;Pixel_Labels = REPAPE（PIXEL_LABELS，大小（e））;Pixel_Labels（1：4,1：6）

ANS = 1 50 99 148 197 246 2 51 100 149 198 247 3 52 101 150 199 248 4 53 102 151 200 249 249

让我们考虑北邻邻居。这是北邻邻居的像素集：

Pixels_with_north_neighbors = Pixel_Labels（2：结束，:);

这是相应的北面邻居:

North_neighbors = pixel_labels(1:end-1，:);

从一个像素的北面邻居到它自身的角度是-pi/2:

inward_angle = -pi / 2;

一个像素的北邻有一个指向特定方向的流。这个方向包含在R．如果流动方向与向内角度相同，则来自该邻居的流量的分数是1.0。如果流动方向指向远离向内角度的PI / 4弧度的大于PI / 4弧度，则该邻居的流量的分数是0.0。对于角差的差异，级分从1.0到0.0线性变化。

我已经写了简单的功能来计算角度差异和相应的权重。角度差计算如下所示：

D = mod(1 - 2 +， 2*) -;

方向权重计算如下所示：

w = max（1  -  abs（d）* 4 / pi，0）;

通过这些功能，我们可以一次计算北邻邻居权重：

w = directional_weight（Angular_difference（r（north_neighbors），．..inward_angle));

忽略其他邻居，上升区域方程如下所示：

ap = 1 + wan

其中AP是像素的上升区域，是北邻邻居的上升区域，并且W是基于北邻邻居的流动方向的方向权重。通过这种方式重写方式，看看如何构建线性方程矩阵：

AP  -  WAN = 1

因此，我们的矩阵的每一行将在对角线上有一个1，并且它将具有每个邻居的定向流量的负面。如果我们只使用上面计算的北部重量，我们可以以这种方式构建稀疏矩阵：

i = pixels_with_north_neighbors（:);j = north_neighbors（:);w = w（:);％添加对角线术语II = [我;Pixel_Labels（:)];JJ = [J;Pixel_Labels（:)];ww = [w;（Numel（PIXEL_LABELS），1）];，并利用稀疏调用构造线性系统矩阵T =稀疏(ii, jj, ww);间谍(T)

我们必须放大以清楚地看到非对角线项:

XLIM（[020]）ylim（[020]）

我要打电话T的流动矩阵．完成计算T，我们必须对其他七个相邻方向重复上面的一些步骤，在这里重复太乏味了。我就用flow_matrix.函数在我MATLAB中央文件交换提交：

T = flow_matrix(E, R);

现在我们可以通过求解矩阵方程来计算每个像素的上斜面积:

Ta = B.

其中T是我们刚刚形成的稀疏矩阵，a是每个像素的上斜面积的向量，b是1的向量。

a = t \ \（numel（e），1）;a =重塑（a，尺寸（e））;imshow（a，[]，“InitialMagnification”，“健康”）

我发现使用log（a）工作很好，以便可视化上升载波区域矩阵：

imshow(日志(A)、[]“InitialMagnification”，“健康”）

更明亮的值具有最高的上升区域。

在本系列的下一篇文章中，我将重新讨论处理停滞期的问题。

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