什么\√6美元[12]{2}$和音乐吗?是什么平均律和只是语调吗?MATLAB函数如何老鼠帮助调钢琴吗?(这篇文章是建立在一定程度上音乐在我的在线图书,章MATLAB实验。)

内容

八度和半音来

在音乐的理论,一个倍频程是一个区间范围超过两倍的频率。在大多数西方音乐,一个八度分为12半音来几何级数。换句话说notes频率比例平等。自12个半音来占2的一个因素,一个半音是\√6美元的因素[12]{2}$。因为这个量通常发生在此讨论,让

$ $ \σ= \ sqrt [12] {2} $ $

我们的MATLAB程序使用

格式短σ= 2 ^ (1/12)

σ= 1.0595

认为\σ美元是一个重要的数学常数,像π\ \φ美元和美元。

键盘

这是我们的小钢琴键盘25键。

small_keyboard

这个键盘有两个八度,与白色键标记C D…G B,再加上另一个C关键。白人和黑人都包括在内,有twelves键在每一个八度。每个键是一种半音程的频率高于或低于其邻国。每一个黑键可以被视为锋利的下面的白色的或平白色的上面。所以黑键之间C和D既C\锋利和美元D\美元美元。没有E\夏普/美元F\平面或美元B\夏普/美元C\美元美元。

传统的完整的钢琴键盘有88的钥匙。7完成八度占7 \ * 12 = 84美元的钥匙。在左下方有三个额外的钥匙和一个额外的关键在上端。如果八度编号0到7,那么一个关键字母后跟一个八度数字指定一个唯一键。在这个符号,两个重要的键C4和A4。的C4关键是键盘的中心附近,所以也被称为中央C。一架钢琴通常是调谐的频率A4关键是440赫兹。C4左边的是9键A4所以它的频率是

$ $ \ mbox {C4} = 440 \σ^{9}\大约261.6256 \ mbox{赫兹}$ $

我们的迷你键盘的A4颜色绿色和关键C4关键的蓝色。

平均律

一架钢琴几乎总是调谐平均律与固定螺距,系统所使用的乐器。从A4在440赫兹的关键是调整在严格的几何级数\σ美元比例。一旦做出了选择,钢琴很少需要调整。

只是语调

另一种系统,只是语调被定义为一个向量涉及小整数的比率。

格式老鼠只是= [1 16/15 9/8 6/5 5/4 4/3 7/5 3/2 8/5 5/3 7/4 15/8 2]”

= 1 16/15 9/8 6/5 5/4 4/3 7/5 3/2 8/5 5/3 7/4 15/8 2

这些比率允许代色彩,和弦与和谐。更多关于这个。很多乐器都可以调到一个特定的关键成分在玩它。歌手,唱诗班,理发店四重奏自然可以用语调。

这是一个比较平等的气质,只是语调从严格的数值的观点。平均律被定义为重复\σ美元。而只有语调被定义为一个序列的比率。

σ= 2 ^ (1/12);k = (0:12)”;= =σ^ k;16 num = [1 9 6 5 4 7 3 8 5 7 15 2]”;15 8穴= [1 5 4 3 2 5 4 8 1]';只是= num. /穴;δ=(等于)。/平等;T = (k等于num窝δ);流(“k等于δ\ n”)流(' % 4 d % 12.6 f % 7 d / % d % 11.6 f % 10.4 f \ n 'T ')

k等于δ0 1.066667 1.000000 1.059463 1.000000 0.0000 1 16/15 1/1 9/8 1.125000 -0.0023 1.122462 -0.0068 - 2 3 1.189207 6/5 1.200000 - -0.0091 4 1.259921 5/4 1.250000 - 0.0079 5 1.334840 4/3 1.333333 - 0.0011 6 8 1.414214 1.498307 1.400000 0.0101 7 7/5 3/2 1.500000 - -0.0011 1.587401 1.681793 1.600000 -0.0079 9 8/5 5/3 1.666667 - 0.0090 10 1.781797 7/4 1.750000 - 0.0178 11 1.887749 15/8 12 2.000000 2/1 2.000000 - 0.0000 1.875000 - 0.0068

最后一列在表中,δ两者之间的相对差异。我们可以看到,δ小于百分之一,除了吗k = 10。

这就是为什么12个规模是如此受欢迎。权力\√6美元[12]{2}$变成非常接近重要的有理数,尤其是5/4,4/3,3/2。一对球3:2的比例被称为纯五度;4:3的比例完美的第四;彼前的比例是主要的第三。

做咪

第一个你学会唱歌曲

Re Mi Fa So La Ti会怎么做

如果你开始在中央C,你会唱着主要的规模在c .这种规模的关键是在钢琴上只使用白色的钥匙。不等距的的步骤。大部分的步骤跳过错黑键,因此是两个半音。但是步骤之间心肌梗死和足总和“透明国际”和做的步骤是E来F和B来C。没有黑键,所以干预这些步骤只有一个半音程。\σ美元而言,c大调规模

$ $ \σ^ 0 \ \σ^ 2 \ \σ^ 4 \ \ 5 \ \σ^ 7σ^ \ \σ^ 9
\ \σ^{11}\ \σ^ {12}$ $

半音来的数量之间的notes是向量

格式短diff ([0 2 4 5 7 9 11 12])

ans = 2 2 1 2 2 2 1

这个序列的频率在我们最常见的规模令人吃惊。

振动和波

像其他一切事物一样,所有这一切都归结到特征值。乐器创造声音通过空气振动弦的动作或振动列,反过来,在体内产生振动的仪器和周围的空气。数学上,振动可以通过加权求和模型称为特征函数模式或特征函数。不同的模式在不同的特征频率或振动特征值。这些频率取决于物理参数(如长度、厚度和张力的一个字符串,或空气腔的几何形状。短,薄,拉扯字符串有很高的频率,而长,厚,松散拉伸弦频率较低。

最简单的模型是一个一维的弦振动,保持固定的目的。各种物理参数的单位可以选择,字符串的长度是2美元\π美元。然后,模式简单的功能

$ $ v_n (x) = {n x} \罪,\ \ n = 1, 2,…$ $

每一个函数满足固定端点条件

$ $ v_n (0) = v_n(2 \π)= 0美元美元

时间模态振动

$ $ u_n (x, t) =罪\罪{n x} \ t} {n, \ \ n = 1, 2,…$ $

和频率是整数n美元。(两个,三维模型要复杂得多。这一维模型是我们所需要的。)

我们的与MATLAB实验程序vibrating_string提供了一个动态视图。这里是一个快照显示前九模式和结果在字符串。

只是语调或平均律产生的比率与调优工具生成与这些期望的频率振动。

老鼠和老鼠

MATLAB表达式老鼠(X, tol)创建一个截断连分式近似的X的准确性托尔。默认的托尔是1. e-6 *规范(X, 1)。

老鼠(σ^ (0:12)”)

答1 = 1 + 1 / (17 + 1 / (5 + 1 / (2)))1 + 1 / (8 + 1 / (6))1 + 1 / (5 + 1 / (4 + 1 / (2)))1 + 1 / (4 + 1 / (7 + 1 / (2 + 1 / (5))))1 + 1 / (3 + 1 / (-74))1 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2))))))1 + 1 / (2 + 1 / (147))2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (3 + 1 / (4 + 1 / (2)))))2 + 1 / (3 + 1 / (7 + 1 / (-81)))2 + 1 / (5 + 1 / (2 + 1 / (3 + 1 / (2 + 1 / (-15)))))2 + 1 / (9 + 1 / (11))2

这些非传统的持续的分数,因为他们包含消极的方面。该算法用于格式的老鼠。默认的公差是太挑剔了。平均律比率不给小整数。

格式老鼠σ。^ (0:12)'

ans = 1 1657/1564 1769/1576 1785/1501 635/504 3544/2655 1393/985 2655/1772 1008/635 3002/1785 1527/857 2943/1559 2

这将不是一个令人满意的方式尝试优化乐器。但是如果我更宽容,允许2%的错误,我得到短持续分数。

老鼠(σ^(0:12)”,只有)

答1 = 1 + 1 / (17)1 + 1 / (8)1 + 1 / (5)1 + 1 / (4)1 + 1 / (3)1 + 1 / (2 + 1 / (2))1 + 1 / (2)2 + 1 / (2 + 1 / (2))2 + 1 / (3)2 + 1 / (5)2 + 1 / (9)2

我可以让格式的老鼠使用这些分数告诉老鼠它只有6列。现在我得到几乎相同的比率只是语调。

老鼠(σ^ (0:12)”,6)

答1 = 1 9/8 6/5 5/4 4/3 7/5 3/2 5/3 8/5 9/5 17/9 2

重写音乐历史

如果任何音乐理论家从古希腊和文艺复兴进入MATLAB,他们可以用我们的合理近似生成优化的策略。

得到了MATLAB代码

发表与MATLAB®R2016a