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鲁洛三角形和宽度恒定的曲线

发布的克里夫硅藻土,2019年4月17日

31日(30天)|的看法0喜欢|0评论

为什么井盖是圆的?所以他们不会通过他们旨在覆盖的洞。它们有相同的直径,不管它在哪里。如果孔直径略小,不可能东方封面,这样它会失败。正方形或矩形覆盖可以略,它通过这个洞很容易适应。

圆不是唯一的平面曲线,这个常数宽度属性。鲁洛三角形是下一个最有名的曲线不变宽度。我想描述一个交互式MATLAB®程序生成鲁洛三角形的概括。

内容

弗朗茨鲁洛

图片来源:维基百科

弗朗茨鲁洛(1829 - 1905)是一位德国机械工程师,教授科技Hochschule Eidgenossische苏黎世,然后在柏林皇家技术学院讲师,最终学会主席。除了他的三角形和许多其他机械创作,他的理论而闻名运动对。

鲁洛三角形

这是鲁洛三角形在行动在一个gif动画展示一个完整的旋转。的“三角形”圆弧;每一个是一个圆的六分之一集中在对面的顶点。

三角形是旋转的,但不是关于起源的中心。这些情节是用MATLAB命令

轴的广场

所以这个边界框是一个广场和一条边的长度等于曲线的直径。的x和y标签显示直径。直径不会改变这一事实的图旋转定义属性不变宽度。

参数

这些动画改变两个参数,n和δ。在接下来的两个数据n蓝点在普通多边形的顶点。有n大弧;每一个是一个n圆的th集中在对面的蓝点。他们加入这个n小弧,每个是一个n半径的一个圆δ集中在附近的蓝点。由此产生的曲线是光滑的,除了当δ是零。

直径的距离总是一个大圆弧相反的小圆弧,无论如何旋转曲线。

在这里n是在3和保持不变吗δ各不相同。

在这里δ是在0.05和保持不变吗n在不同奇数。

不规则的间隔

蓝色的点不需要形成一个正多边形。他们在这里形成了一个3-4-5的三角形。

固定宽度应用

我将添加一个交互式应用程序,constant_width,克里夫的实验室。你可以选择常规的或不规则的间距,不同n和δ在任何速度,旋转产生的曲线。

金宝app支持功能

勾起了我的好奇心一篇论文斯坦利Rabinowitz。他描述了宽度恒定的曲线可以由所谓的“支持功能。”金宝appAn example is

$ $ p(\θ)= \ cos ^ 2{(\压裂{k \θ}{2})}+ b美元美元

曲线的参数方程

$ $ x = p(θ)\ \ cosθ}{\ - p”罪(θ)\ \{\θ}$ $

$ $ y = p(θ)\ \{\θ}+ p罪”(θ)\ \ cosθ}{\ $ $

并不是所有选择的参数产生凸曲线,但= 2美元,b = 40美元,$ k = 7美元产生满意的七边形的图。固定步长h = \π/美元(12 k)美元收益

Rabinowitz继续创建一个曲线实际上是一个恒定的宽度多项式度八的两个变量x和y美元美元。

硬币

几个国家造币厂硬币由曲线的宽度。他们难以伪造和完美工作在自动售货机。这里有一些。

图片来源:cp4space

Wankle旋转式引擎

汪克尔引擎,结合鲁洛三角形,被菲利克斯汪克尔发明于1950年代初,一位德国工程师。

图片来源:gizmodo

发表与MATLAB®R2018b

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类别:: 有趣,; 图形,; 人

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