罗兰关于MATLAB的艺术

将想法转化为MATLAB

一个更快更准确的总数

发布的罗兰美国舒尔，

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今天的客座博主是Christine Tobler，她是MathWorks的一名开发人员，从事核心数值函数的工作。
大家好!我想告诉你们一个关于四舍五入误差的故事 总和 ，以及兼容性问题。在过去的几年里，我的同事Bobby Cheng做了一些改变 总和 让它更准确、更快，我觉得这是一个很有趣的故事。

数字问题的总和

即使对于像这样的简单函数 总和 ，对于浮点数，我们求和的顺序是:
X = 1 + 1e-16 + 1e-16
x = 1
Y = 1 + (1e-16 + 1e-16)
y = 1.0000
x - y
ans = -2.2204 e-16
所以结果是 总和 命令取决于输入相加的顺序。的 总和 命令从最直接的实现开始:从第一个数字开始，然后逐个相加。我已经实现了 sumOriginal 在这篇文章的底部。
但我们遇到了一个问题:对于单一精度，结果有时是非常错误的:
sumOfOnes = sumOriginal(ones(1e8, 1, 1))“单一”)）
sumOfOnes =单身16777216
这是怎么回事?问题是，对于这个数字，舍入错误大于1，正如我们通过调用 每股收益
每股收益(sumOfOnes)
Ans = single 2
因此，再加一个1，然后四舍五入到单个精度返回相同的数字，因为精确的结果向下四舍五入以适应单个精度:
sumOfOnes + 1
Ans =单身
当 总和 用于计算一个大数组的平均值，因为计算的平均值可能比输入数组的所有元素都要小。

计算和的不同方法

现在我们已经在MATLAB中有了一个线程版本的和，我们可以并行地计算一个数组的几个块的和，然后最后把它们加起来。事实证明，这个版本没有同样的问题:
numBlocks = 8;
sumInBlocks(的(1 e8, 1“单一”), numBlocks)
Ans =单个100000000
我们在MATLAB中做了这个改变 总和 即使是非线程的情况，它也解决了这种情况和其他类似的情况。但请记住，尽管这在许多情况下是一个改进，但它不是一个完美的算法，仍然不能总是给出正确的答案。我们可以修改将输入分割成的块的数量，但并非所有的结果都很好:
sumInBlocks(的(1 e8, 1“单一”), 4)
Ans =单个67108864
sumInBlocks(的(1 e8, 1“单一”), 128年)
Ans = single 99999832
让我们看看另一种情况，在这种情况下，我们不只是对数字1求和(仍然每次都对相同的数字求和，因为这样更容易与精确的值进行比较)。我们将在这里查看结果的相对误差，这比我们得到准确的整数更相关:
X = repmat(single(3155)， 5419.4, 1); / /计算结果
exactSum = 3155 * 54194;
numBlocks = 2。^ (0:9)
numBlocks = 1×10
12 4 8 16 32 64 128 256 512
err = 0 (1, length(numBlocks));
为i = 1:长度(numBlocks)
err(i) = abs(sumInBlocks(x, numBlocks(i)) - exactSum) / exactSum;
结束
重对数(numBlocks犯错)
包含(块的数量）
ylabel (' sumInBlocks函数的相对错误'）
因此，在选择精确的区块数量时，肯定有一种平衡行为，上面的图仅代表一个数据集。
还有其他可能的算法来计算这个和，我在底部包含了一些链接。一些更复杂的情况将导致计算时间的减慢，这将给没有遇到上述精确度问题的情况带来负担。
我们之所以选择这种“按块计算”的算法，是因为这样做可以使求和变得更快。这是通过循环展开完成的:不是一次添加一个数字，而是同时添加几个数字到单独的运行总数中。我包含了一个实现 sumLoopUnrolled 在下面。
顺便说一下，我并没有明确给出选择 numBlocks 我们做了，因为我们不想让任何人依赖它——毕竟，未来它可能会再次改变。

更改总和

在R2017b中，我们首先发布了这个新版本的 总和 ，只适用于单精度数的情况。对于单个数据的大数组，所有的实际问题都被解决了，同时功能甚至变得更快了。然而，我们也从一些对行为改变不满意的人那里得到了一些反馈;虽然新的行为给出了好的或更好的结果，但他们的代码依赖于旧的行为，适应新的行为是痛苦的。
虽然我们不想因为害怕打破依赖而陷入永远无法改进功能的困境，但我们肯定希望更新过程尽可能地轻松。一般来说，我们的目标是运行到运行的再现性:如果一个函数以相同的输入被调用两次，输出将是相同的。然而，如果机器、操作系统或MATLAB版本(以及其他外部环境)发生变化，这也会在舍入误差范围内改变MATLAB返回的确切值。例如，为了提高性能，矩阵乘法的输出通常会发生变化。但随着 总和 因此，更多的人开始依赖它的确切行为，这超出了我们的预期。
所以在做了这个改变之后 总和 对于单个值，我们等待了几个版本来评估客户对更改的反馈。在R2020b中，我们为所有其他数据类型添加了相同的行为。这一次，我们加了 发行通知 它描述了性能的提高，并提到了“兼容性考虑”。虽然我们仍然有一些反馈认为这是一个不方便的改变，但它比第一个情况要少。
在新的MATLAB发行版中，你是否因为舍入错误的改变而破坏了一些代码?您觉得发布说明中的兼容性考虑有用吗?请让我们知道 在评论里 ．

关于准确计算和的参考文献

辅助函数

函数s = sumOriginal (x)
s = 0;
为2 = 1:长度(x)
S = S + x(ii);
结束
结束
函数s = sumInBlocks(x, numBlocks)
len =长度(x);
blockLength = cell (len / numBlocks); / /块长度
s = sumOriginal (x (1: blockLength));
iter = blockLength;
而iter <莱恩
s = s + sumOriginal(x(iter+1:min(iter+blockLength, len)));
iter = iter + blockLength;
结束
结束
函数s = sumLoopUnrolled (x)% #好< DEFNU >
% numBlocks == 4的循环展开示例。为了简单起见，我们假设
x的长度能被4整除。
％
%注意，使用内置的代码与右边的技术是更快的
%编译器标志。在这样的MATLAB代码中并不一定会更快。
s1 = 0;
s2 = 0;
s3 = 0;
s4 = 0;
为2 = 1:4:长度(x)
S1 = S1 + x(ii);
S2 = S2 + x(ii+1);
S3 = S3 + x(ii+2);
x = x + x(ii+3);
结束
S = s1 + s2 + s3 + s4;
结束
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类别:
处理数据,
数值精度
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